《數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用章末課 蘇教版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用章末課 蘇教版選修2-2（45頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、章末復習課第1章導數(shù)及其應用學習目標1.理解導數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問題.2.掌握初等函數(shù)的求導公式，并能夠綜合運用求導法則求函數(shù)的導數(shù).3.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值.4.會用導數(shù)解決一些簡單的實際應用問題.5.掌握定積分的基本性質(zhì)及應用.題型探究知識梳理內(nèi)容索引當堂訓練知識梳理1.導數(shù)的概念(1)定義：設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，若x無限趨近于0時，比值 無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f(x)在xx0處可導，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0處的導數(shù)，記作 .(2)幾何意義：導數(shù)f(x0)的幾何意義就是曲線yf

2、(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率.f(x0)2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1)(x)(為常數(shù)).(2)(ax)(a0，且a1).(3)(ex).(4)(logax)logae (a0，且a1).(5)(ln x).(6)(sin x).(7)(cos x).x1axln aexcos xsin x3.函數(shù)的求導法則(1)f(x)g(x).(2)Cf(x)Cf(x)(C為常數(shù)).(3)f(x)g(x).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(4)(g(x)0).4.復合函數(shù)的求導法則(1)復合函數(shù)記法：yf(g(x).(2)中間變量代換：yf(u)，ug(x).(3)逐層求導

3、法則：yxyuux.5.函數(shù)的單調(diào)性、極值與導數(shù)(1)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果在某區(qū)間上f(x)0，那么f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上f(x)0，那么f(x)為該區(qū)間上的減函數(shù).(2)函數(shù)的極值與導數(shù)極大值：在點xa附近，滿足f(a)f(x)，當xa時，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)的極大值；極小值：在點xa附近，滿足f(a)f(x)，當xa時，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值.(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟求函數(shù)yf(x)在(a，b)上的極值；將函數(shù)yf(x)的 與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間a，b上

4、的最大值與最小值.f(x)0f(x)0f(x)0極值6.微積分基本定理對于被積函數(shù)f(x)，如果F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b)F(a)，即 F(x)dxF(b)F(a).題型探究例例1設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1(a0)，直線l是曲線yf(x)的一條切線，當l的斜率最小時，直線l與直線10 xy6平行.(1)求a的值；解答類型一導數(shù)幾何意義的應用解解f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由題意知，a2910，a1或a1(舍去).故a1(2)求f(x)在x3處的切線方程.解答解解由(1)得a1，f(x)x22x9，則kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3

5、處的切線方程為y106(x3)，即6xy280.利用導數(shù)求切線方程時關(guān)鍵是找到切點，若切點未知需設(shè)出.常見的類型有兩種：一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1直線ykxb與曲線f(x)x3ax1相切于點(2,3)，則b_.解析解析由題意知f(2)3，則a3.f(x)x33x1.f(2)32239k，又點(2,3)在直線y9xb上，b39215.15答案解析例例2 設(shè)

6、a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；解答類型二函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題解解由f(x)ex2x2a，xR知，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.列表如下.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)極小值f(ln 2)故f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a).(2)求證：當aln 21且x0時，exx22ax1.證明證明證明設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知，當

7、aln 21時，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.于是當aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0).而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(shù)(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.本類題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和證明不等式，考查運算能力、分析問題、解決問題的能力.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)(4x24axa2)，其中a0.(1)當a4時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；解答(2)若f(x)在區(qū)間1,4上的最小值為8，求a的值.解答f(x)在1,4上的最

8、小值為f(1)，由f(1)44aa28，由f(4)2(6416aa2)8，得a10或a6(舍去)，當a10時，f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減，f(x)在1,4上的最小值為f(4)8，符合題意.綜上，a10.例例3 某公司為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為t25t(百萬元)(0t3).(1)若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應投入多少廣告費，才能使該公司獲得的收益最大？解答類型三生活中的實際問題解解設(shè)投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所

9、以當t2時，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費時，該公司獲得的收益最大.(2)現(xiàn)該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造.經(jīng)預測，每投入技術(shù)改造費x(百萬元)，可增加的銷售額為 x3x23x(百萬元).請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大.解答解解設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3x)(百萬元).由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又當0 x0；當2x3時，g(x)0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時h8.即當r5，h8時，該蓄水

10、池的體積最大.解答當堂訓練1.函數(shù)yxex在其極值點處的切線方程為_.答案23451解析解析依題意得yexxex，令y0，可得x1，解析2.函數(shù)f(x)xex的單調(diào)增區(qū)間是_.答案23451解析(，1)令f(x)0,得x1，故單調(diào)增區(qū)間為(，1).3.如圖，yf(x)是可導函數(shù)，直線l：ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導函數(shù)，則g(3)_.23451答案解析023451解析解析直線l：ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，f(3)1.又點(3,1)在直線l上，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，4.體積為16的圓柱，當它的半徑為_

11、時，圓柱的表面積最小.23451答案解析2解析解析設(shè)圓柱底面半徑為r，母線長為l.當r2時，圓柱的表面積最小.5.設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；23451解答解解f(x)的定義域為R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.解得a2，be.(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.23451解答23451解解由(1)知，f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號.令g(x)1xex1，則g(x)1ex1，所以，當x(，1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當x(1

12、，)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增.故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)0，x(，)，綜上可知，f(x)0，x(，).故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，).規(guī)律與方法1.利用導數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程yy0f(x0)(xx0).明確“過點P(x0，y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點.2.借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三次函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體.3.利用導數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問題.4.不規(guī)則圖形的面積可用定積分求解，關(guān)鍵是確定積分上、下限及被積函數(shù)，積分的上、下限一般是兩曲線交點的橫坐標.本課結(jié)束