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1、談小學(xué)幾何概念教學(xué)中探究材料設(shè)計與運用的現(xiàn)狀及策略【摘要】在教學(xué)中，組織不同的學(xué)習(xí)材料或?qū)ο嗤牧系牟煌M織，學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程將截然不同。學(xué)習(xí)材料的選擇和運用決定著學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、對數(shù)學(xué)知識的理解以及學(xué)習(xí)過程的生動性。通過課堂教學(xué)觀察分析、與教師的訪談，發(fā)現(xiàn)當前空間幾何概念教學(xué)的學(xué)習(xí)材料設(shè)計中，老師們習(xí)慣了拿來主義，以書本的標準例題為主，自主選擇或開發(fā)學(xué)習(xí)材料的意識十分欠缺；在學(xué)習(xí)材料的運用上，關(guān)注學(xué)生的感知活動，忽視認知概括過程。針對這一現(xiàn)象，對于學(xué)習(xí)材料設(shè)計與運用，本文提出以下幾點思考：在學(xué)習(xí)材料的設(shè)計中：要關(guān)注學(xué)習(xí)材料的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；強化學(xué)習(xí)材料的可操作性，積累學(xué)生的數(shù)學(xué)

2、活動經(jīng)驗；提升學(xué)習(xí)材料的思考性，引發(fā)學(xué)生的認知沖突；改善學(xué)習(xí)材料的適用性，悅納學(xué)生的差異發(fā)展；挖掘?qū)W習(xí)材料的結(jié)構(gòu)性，體現(xiàn)知識的邏輯關(guān)系。在學(xué)習(xí)材料的操作中：引導(dǎo)學(xué)生深度感知，豐富概念表象；關(guān)注交流，促進概念內(nèi)化；加強想象，建立空間觀念；注重比較，溝通概念聯(lián)系，善用變式，深化概念意義。【關(guān)鍵詞】小學(xué) 空間幾何教學(xué) 材料 現(xiàn)狀 策略新課程的實施，帶來的一大變化是教材的多樣性和對教師自主開發(fā)教材的鼓勵。在公開課中，我們總是很少見到教師教教材，更多的是用教材教。當然，在用教材教的同時，并不意味著老師對教材的否定，而是老師們必須在準確理解教材意圖的基礎(chǔ)上，對各教材、自主開發(fā)的材料進行比較，在比較的過程中

3、理解教材、優(yōu)化教材?？墒窃诂F(xiàn)實運用當中,對于許多概念的理解沒有深入，只是流于形式的進行探究體驗。有些探究活動在材料選擇時也就存在了太抽象，不具體化等一些問題。在我們家常的概念課教學(xué)中，老師們還是以書本的例題為主，自主選擇或開發(fā)材料的意識十分欠缺，簡單呈現(xiàn)探究材料設(shè)計中的問題。一、小學(xué)空間幾何概念教學(xué)中探究材料設(shè)計與運用現(xiàn)狀（一）關(guān)于材料設(shè)計中的問題分析新課程的實施，帶來的一大變化是教材的多樣性和對教師自主開發(fā)教材的鼓勵。在公開課中，我們總是很少見到教師教教材，更多的是用教材教。當然，在用教材教的同時，并不意味著老師對教材的否定，而是老師們必須在準確理解教材意圖的基礎(chǔ)上，對各教材、自主開發(fā)的材料

4、進行比較，在比較的過程中理解教材、優(yōu)化教材。而在我們家常的概念課教學(xué)中，老師們還是以書本的例題為主，自主選擇或開發(fā)材料的意識十分欠缺，簡單呈現(xiàn)探究材料設(shè)計中的問題：1.探究材料固定化、模式化在概念教學(xué)的過程中，老師們常常怕準備材料，實在太麻煩，常常一切操作從簡。如在長方體和正方體認識的教學(xué)中，老師們上課總是布置讓學(xué)生準備一個長方體和一個正方體的學(xué)具，通過摸一摸，看一看，說一說，想一想等幾個環(huán)節(jié)來概括總結(jié)長方體和正方體的特征。探究材料之固定化，學(xué)習(xí)方式之模式化，使得學(xué)生對長方體和正方體的本質(zhì)屬性還欠理解。 2.探究材料的多元性不夠縱觀我們的數(shù)學(xué)課本上的教學(xué)內(nèi)容與老師的課堂教學(xué)設(shè)計的材料中，提供的

5、材料比較單一：如關(guān)于梯形的教學(xué)中，書本例題和練習(xí)中，共出現(xiàn)梯形圖形14個，類似 形狀的10個， 類似 形狀的4個，類似 形狀的0個。在老師教學(xué)的整個過程中，也無不引用 形狀的梯形居多，這樣的材料對于學(xué)生完整的建構(gòu)梯形的概念是不夠的。 3.探究材料數(shù)量不適度概念學(xué)習(xí)中，所提供的探究材料的數(shù)量要適度，太多或太少都會影響學(xué)生形成表象的過程。若開始呈現(xiàn)的材料數(shù)量太多，清晰度降低，會給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來干擾。學(xué)生雖然說了很多結(jié)果，但是由于紛繁復(fù)雜的材料吸引了學(xué)生的無意注意，影響了學(xué)習(xí)效果。 4.探究材料缺乏層次性每個學(xué)生都是一個獨特的個體，這些個體之間難免會存在這樣那樣的差異，探究材料的設(shè)計中要考慮允許學(xué)生

6、以適合自己的方式、速度去學(xué)習(xí)、探索。然而在探究材料的設(shè)計中往往一刀切的比較多，所有的學(xué)生都研究同一個材料，不能讓每個學(xué)生在現(xiàn)有的水平上提升。5.探究材料缺乏靈活性 在探究材料的設(shè)計上缺乏與學(xué)生的互動，操作性不夠，無法引起學(xué)生的興趣。如在五下旋轉(zhuǎn)一課的教學(xué)中，老師們常利用教材中例1鐘表圖指針的動態(tài)旋轉(zhuǎn)過程，讓學(xué)生來感悟旋轉(zhuǎn)的三要素，在這樣的教學(xué)中，學(xué)生確實能完整說清楚具體物體的旋轉(zhuǎn)過程?？墒沁@樣的學(xué)習(xí)材料缺乏靈活性，學(xué)生只是靠視覺對旋轉(zhuǎn)本質(zhì)屬性形成的一種表象認識，勢必會影響此概念在后續(xù)中的運用。 （二）關(guān)于材料運用中的問題分析 我們在對各年級數(shù)學(xué)期末測試卷進行分析時，發(fā)現(xiàn)了各冊的概念上都出現(xiàn)不同

7、程度的錯誤。從抽樣調(diào)查的結(jié)果上可以看出學(xué)生有相當一部分錯誤落在數(shù)學(xué)概念上，隨著年級的升高，所學(xué)“概念”的增多，在“概念”處的錯誤比例也逐漸遞增，可見各冊的數(shù)學(xué)概念并非被我們及時有效地解決，由此產(chǎn)生的知識、技能漏洞也在不斷的被擴張。2012學(xué)年第一學(xué)期小學(xué)四年級數(shù)學(xué)質(zhì)量抽測中，有這樣一道題。如下：第2小題本校學(xué)生的得分率才13.3%，對此筆者對一個班的學(xué)生（30人）進行了調(diào)查，孩子們畫出來的結(jié)果：方法只畫出一種畫出兩種 畫出兩種 三種都畫出來的 人數(shù)16人8人3人3人從本題的解答情況來回憶我們關(guān)于“梯形”一課的教學(xué)：從生活引入梯形抽象出梯形的概念（只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形）（10分鐘）動

8、手操作（5分鐘）從平行四邊形和三角形中剪一刀，變出梯形鞏固應(yīng)用（25分鐘）：各種變式練習(xí)?？此品浅８咝У囊惶谜n，符合新理念，在操作中感悟新知，在練習(xí)中鞏固，學(xué)生對什么是梯形背得非常得熟練。然而從本道測試我們不難看出老師在概念教學(xué)中還存在一些問題： 1.重感知，輕認知由于小學(xué)生的認知特點，學(xué)生能感知的概念是形象的、具體的。而感知所提供的對事物的認識是簡單的、表面的、零散的。感知并不等于認知。在概念教學(xué)中，重感知、輕認知的現(xiàn)象不在少數(shù)。 如上述梯形的教學(xué)中，教師選取了很多生活中有關(guān)于梯形的物體或模型（以 形狀為主），讓學(xué)生看一看，感知梯形的形狀，抽象出數(shù)學(xué)圖形后就快速抽象出了梯形的概念（只有一組對

9、邊平行的四邊形叫做梯形），而忽視了任意大小和形狀的梯形的認知。再如在“三角形的穩(wěn)定性”教學(xué)中，很多教師演示或讓學(xué)生用手拉三角形木架感知是否堅固，不變形，以此來解釋三角形的“穩(wěn)定性”，而忽視了“三角形三條邊的長度一定時，三角形的形狀和大小不變”上引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的穩(wěn)定性。如果我們的概念教學(xué)僅側(cè)重于對事物的某一方面的感知，輕視了概念本質(zhì)特征的概括與抽象，那么我們的概念教學(xué)只能“形似”，不能讓學(xué)生理解概念本質(zhì)，把握概念的內(nèi)涵。我們只有讓學(xué)生充分多角度的感知中，引導(dǎo)和幫助孩子真實地經(jīng)歷概括的過程，這樣的概念學(xué)習(xí)才會是有效的。 2.重記憶，輕理解 在實際教學(xué)中，教師往往會忽視對學(xué)生從直觀感性認識到抽象

10、思維過渡的指導(dǎo)，從而導(dǎo)致學(xué)生被動的接受概念，死記硬背結(jié)論或定義。這樣不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，只能生搬硬套的運用概念解決數(shù)學(xué)問題。主要表現(xiàn)在偏重形式的記憶和概念的復(fù)述：如在負數(shù)的教學(xué)中：教師會特別強調(diào)負數(shù)是帶有“”號的數(shù)，造成相當多的學(xué)生在學(xué)了字母表示數(shù)以后，總認為a一定是正數(shù)，a才是負數(shù)。又如在“倒數(shù)”概念教學(xué)中，老師們都喜歡從倒數(shù)的外部特征（分子、分母上下顛倒位置）入手，引入“倒數(shù)”的概念，并且引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注作為倒數(shù)的分子、分母互相顛倒這一形式上的特點。這樣教學(xué)，效果似乎很好，學(xué)生也好記住，但卻淡忘了“倒數(shù)”概念的應(yīng)用意義與作用，是一種舍本求末的做法。 經(jīng)驗告訴我們，無論圖形還是概念、名

11、詞，不理解其意義，單純的、機械的形式記憶是靠不住的。形式記憶會影響學(xué)生后續(xù)知識的學(xué)習(xí)，是一種短視的教學(xué)行為。 3.重教學(xué)形式，輕操作過程有些教師能認識到概念教學(xué)時操作活動的重要性，但是多數(shù)教師認為課堂上讓學(xué)生實踐操作，時間上難以控制，為了省事，都簡化了教學(xué)過程，讓部分同學(xué)上臺操作；或教師操作，學(xué)生觀察。這樣操作的結(jié)果，學(xué)生是能掌握概念的定義，但是很難真正體會概念的本質(zhì)屬性，并對其知識進行舉一反三。 在五下旋轉(zhuǎn)教學(xué)中：筆者最初的教學(xué)設(shè)計就是采用了書本上的兩個例題：1.（師動畫演示鐘表指針的轉(zhuǎn)動過程）生觀察并描述鐘表指針旋轉(zhuǎn)。2.再描述風(fēng)車的旋轉(zhuǎn)，后畫圖操作。可是在多次的試教中，都出現(xiàn)了一些共性的

12、問題：在鐘表指針旋轉(zhuǎn)的教學(xué)中，顯得異常順利，學(xué)生能用一句完整的話來描述指針的旋轉(zhuǎn)過程，也能清楚得知道旋轉(zhuǎn)的三要素：點、方向和角度。可是在后面風(fēng)車旋轉(zhuǎn)的教學(xué)中，學(xué)生確無法用比較準確、清晰的語言來表述圖形的旋轉(zhuǎn)，在這一環(huán)節(jié)中學(xué)生始終糾纏不清兩次風(fēng)車到底旋轉(zhuǎn)了幾度。究其原因，我們認為：1.學(xué)生對“旋轉(zhuǎn)”的本質(zhì)的感知和體驗不充分，不深刻。2.圖形“對應(yīng)邊”旋轉(zhuǎn)的概念沒有很好的建立起來，學(xué)生不清楚“圖形的旋轉(zhuǎn)只要找其對應(yīng)邊的旋轉(zhuǎn)即可”。于是我們思量著這樣的兩個問題：1、可以從哪里入手研究“旋轉(zhuǎn)”的本質(zhì)屬性？根據(jù)點、線、面的邏輯順序，我們認為，旋轉(zhuǎn)首先應(yīng)該從線，即線段的旋轉(zhuǎn)開始，然后再是面，即圖形的旋轉(zhuǎn)。

13、2、怎樣讓學(xué)生有充分的體驗？聽過不如看過，看過不如說過，說過不如做過。教材強調(diào)的是觀察，先會說，再來畫，為什么要“先說后畫”呢？如果“先畫后說”，行不行得通呢？因此，我們調(diào)整了原有的教學(xué)方案：把原先“觀察現(xiàn)象，描述旋轉(zhuǎn)”這一環(huán)節(jié)處理為“繪制圖形，體驗旋轉(zhuǎn)”，從“看圖”到“畫圖”，不僅僅是一個字的變化，更是一種理念的變化。在研究線段的旋轉(zhuǎn)后，出示三角形的旋轉(zhuǎn)，利于學(xué)生尋找對應(yīng)邊之間的關(guān)系，再遷移至風(fēng)車這圖案的旋轉(zhuǎn)。讓學(xué)生在畫圖的體驗中充分感知并悟出“旋轉(zhuǎn)”的三要素，真正讓學(xué)生經(jīng)歷一段做數(shù)學(xué)的經(jīng)歷。二、小學(xué)空間幾何概念教學(xué)中探究材料設(shè)計與運用的探索小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是小學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的一塊重頭戲，對學(xué)

14、生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)組織不同的材料，或?qū)ο嗤牧系牟煌M織，學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程就截然不同，教學(xué)效果也截然不同。所以說教師若能有效地進行概念教學(xué)中探究材料的設(shè)計與運用，那么對于大面積提高課堂教學(xué)的有效性是起著十分重要作用的。（一）材料的設(shè)計：在階段性中體現(xiàn)概念的結(jié)構(gòu)性1關(guān)注學(xué)習(xí)材料的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣數(shù)學(xué)課程標準重視對學(xué)生情感、態(tài)度的培養(yǎng)，提倡學(xué)生能積極地參與數(shù)學(xué)活動。這就要求提供的學(xué)習(xí)材料必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平之上，必須具有一定的趣味性和挑戰(zhàn)性， 以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，進而建立其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。2強化學(xué)習(xí)材料的可操作性，積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗考慮到小學(xué)生正處在由形象思維向抽象思維過渡的

15、階段，因此教材在空間幾何概念教學(xué)中，常常提供一些看得見、摸得著的直觀學(xué)習(xí)材料。在研究這些直觀材料時，不僅要把握它們的可觀察性，有時還需通過適當?shù)募庸ぬ幚恚瑥娀淇刹僮餍?。給學(xué)生提供“體驗”的機會，不惜多用時間讓學(xué)生感受概念形成的探索過程。如在確定位置的傳統(tǒng)的教學(xué)，一般都是教師給出一幅情境圖，讓學(xué)生觀察，結(jié)合語言表述和直觀感知，說清楚各個同學(xué)的位置。讓學(xué)生找張亮的位置，學(xué)生就可以經(jīng)歷形象而生動的數(shù)學(xué)化過程，親身體驗規(guī)則對確定位置的影響，并從中感受到數(shù)學(xué)的力量，促進數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。3提升學(xué)習(xí)材料的思考性，引發(fā)學(xué)生的認知沖突學(xué)生總愛將自己當成研究者、探索者、發(fā)現(xiàn)者。挑戰(zhàn)性任務(wù)的需要、實踐的需要往往能驅(qū)動

16、學(xué)生的學(xué)習(xí)，促進學(xué)生的發(fā)展。在學(xué)生探索活動的過程中，很多時候都需要學(xué)生去進行有機的合作、協(xié)調(diào)的操作，將一個學(xué)習(xí)群體作為一個機構(gòu)、一個組織、一個具有凝聚力的團隊來加以呈現(xiàn)和解釋，這無疑會對學(xué)生產(chǎn)生積極的、深遠的影響。所以在學(xué)習(xí)材料的設(shè)計、準備和選擇上，要注意，所選的學(xué)習(xí)材料要有一定的數(shù)學(xué)信息，具有一定的思維價值。倘若提供的學(xué)習(xí)材料思維含量過低，缺少挑戰(zhàn)性，學(xué)生就體會不到思考的樂趣，思維得不到發(fā)展，從根本上失去數(shù)學(xué)課應(yīng)有的“思考味”。 4改善學(xué)習(xí)材料的適用性，悅納學(xué)生的差異發(fā)展 “學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！苯處焸?yōu)榱隧樌赝瓿勺约旱摹敖虒W(xué)任務(wù)”，尤其在空間概念

17、教學(xué)中，教師常怕準備學(xué)習(xí)材料，太麻煩，常常一切操作從簡；或是提供唯一的學(xué)習(xí)材料給學(xué)生，學(xué)生別無他選，只能沿著教師框定的路子前進，直至達到“勝利”的彼岸。殊不知，正是如此，學(xué)生的主體性被埋沒，創(chuàng)造性被扼殺。因此，我們提供給學(xué)生的學(xué)習(xí)材料種類要比較齊全，難易適中，讓學(xué)生有選擇的余地，這樣才能為學(xué)生積極開展探索、研究活動賦予必要的條件。5挖掘?qū)W習(xí)材料的結(jié)構(gòu)性，體現(xiàn)知識的邏輯關(guān)系在空間幾何概念教學(xué)時，不應(yīng)該孤立地教各個空間圖形的概念。在準備教學(xué)生一個新概念之前，要為學(xué)生提供一個可把這個概念置于其中的框架，如果孤立地學(xué)習(xí)概念，將會限制學(xué)習(xí)的水平。因而在教學(xué)中，教師應(yīng)當采取一些恰當?shù)姆绞搅私鈱W(xué)生，找到新舊

18、知識之間、文本知識和生活之間的聯(lián)結(jié)點展開教學(xué)，讓學(xué)生以聯(lián)系的觀點學(xué)習(xí)新的概念，促進主動建構(gòu)，形成概念的網(wǎng)絡(luò)體系。（二）材料的操作：在主導(dǎo)性中體現(xiàn)學(xué)生的主體性1深度感知材料，豐富概念表象數(shù)學(xué)課程標準指出：動手操作、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式?，F(xiàn)代教育理論認為，最有效的學(xué)習(xí)是學(xué)生對學(xué)習(xí)過程的體驗，它能給予學(xué)生自主建構(gòu)知識和情感體驗的時空，激發(fā)學(xué)生的思維?？臻g幾何概念需要理解它的本質(zhì)，只借助看、聽、練等方法是不夠的，在教學(xué)時，應(yīng)當遵循學(xué)生的認知規(guī)律，結(jié)合實例，聯(lián)系學(xué)生已有知識經(jīng)驗，采用直觀操作等實踐活動的形式，讓學(xué)生在操作活動中感知概念。2 關(guān)注學(xué)生交流，促進概念內(nèi)化愛因斯坦曾經(jīng)指出：“

19、一個人的智力活動和他形成概念的方法，在很大程度上取決于語言的?！睂蚀_簡練的語言與直觀形象的形體有機結(jié)合起來，是促進學(xué)生空間觀念形成的重要途徑。教學(xué)中，教師要充分利用“語言”這一工具，讓學(xué)生從“識別”的狀態(tài)調(diào)整到“思考”的狀態(tài)。在反饋學(xué)生的不同作品時，老師要注重學(xué)生動口表達的機會。在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生聽了、看了或許能明白，但是不一定能正確的表達。從平時的教學(xué)中，我們深刻感悟到：“學(xué)生說著說著就會了，不說不說就不會說了”。因此，在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生對直觀操作的過程進行辨析思考，通過口頭語言的訓(xùn)練進行表象加工，這樣概念就會在學(xué)生頭腦中沿著“具體表象抽象”的認識過程逐步建立起來。3加強空間想象，建

20、立空間觀念空間想象依賴于空間感知，只有充分發(fā)揮學(xué)生的空間想象能力，學(xué)生的空間觀念才會得到升華。在空間幾何概念的教學(xué)中，要克服重抽象，輕表象的傾向，要充分認識到從直觀感知到抽象出概念離不開建立表象這一中間環(huán)節(jié)。要幫助學(xué)生建立表象，不僅要直觀的感知材料，更要引導(dǎo)學(xué)生進行整理，概括和提升。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常運用概念的特征去想象，實則是對直觀材料的特征進行的復(fù)數(shù)與描寫，這樣不僅能發(fā)揮學(xué)生的空間想象力，更是大大提高表象作為抽象基礎(chǔ)的橋梁作用。若在空間幾何概念的教學(xué)中，缺少了想象的環(huán)節(jié)，學(xué)生沒有自由想象的空間，那么概念的學(xué)習(xí)也就缺乏了想象的體驗。4 注重材料比較，溝通概念聯(lián)系有比較才有鑒別，有比較才有學(xué)

21、生的頓悟。如果在教學(xué)中，教師能經(jīng)常性、有意識地把內(nèi)容或形式上有一定聯(lián)系的學(xué)習(xí)材料進行比較，可以幫助學(xué)生更透徹地認清知識的本質(zhì)，構(gòu)建知識形成概念，更能幫助學(xué)生發(fā)展思維，提高能力?？臻g幾何概念前后聯(lián)系密切系統(tǒng)性強，在概念形成的過程中，教師可及時引導(dǎo)學(xué)生對一些相關(guān)概念進行對比或類比。對比概念，可以找出概念間的相似和差異之處，當然在探尋一個具體的概念時，在教學(xué)中，教師要有意將學(xué)生在學(xué)習(xí)中生成的不同素材或不同的想法放在一起，讓學(xué)生加以比較。學(xué)生總會有所發(fā)現(xiàn)，從而產(chǎn)生一些新的想法，經(jīng)過辨析、歸納、概括，在原有基礎(chǔ)之上就會逐步完善，構(gòu)建新的概念。比較，作為一種優(yōu)化課堂教學(xué)和提高教學(xué)效率的有效方法，教師必須會

22、在課堂教學(xué)中合理靈活地加以運用。5善用材料變式，深化概念意義在空間幾何概念中，概念的表述是嚴格和確定的，而相關(guān)的圖形、規(guī)則往往可以有多種位置與形狀。變式是指概念的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化。變式也是一個概念的本質(zhì)特征相同，而非本質(zhì)特征不同的一些實例。這些實例都是概念的正例，但是它們表現(xiàn)出的非本質(zhì)特征卻略有不同。正因為概念所指的對象除了具有相同的本質(zhì)屬性以外，還常常會表現(xiàn)出不同的非本質(zhì)屬性，所以空間幾何概念的教學(xué)中，我們可以充分發(fā)揮變式的作用讓學(xué)生獲得更精確、更穩(wěn)定的概念。參考文獻：1 胡松林.中國兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的系列實證研究M.北京師范大學(xué)出版社.2013.92 史寧中.基本概念與運算法則M.高等教育出版社.2013.53 張丹.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略M.北京師范大學(xué)出版社.2010.84 曹培英.小學(xué)數(shù)學(xué)空間與圖形的教學(xué)研究M.上海：東華大學(xué)出版社 20045 曹培英.怎樣幫助學(xué)生建立幾何形體概念J. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育 2010年第6期