《（全國通用）高考數(shù)學 考前三個月復習沖刺 專題7 第32練 與拋物線有關的熱點問題 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用）高考數(shù)學 考前三個月復習沖刺 專題7 第32練 與拋物線有關的熱點問題 理.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第32練與拋物線有關的熱點問題題型分析高考展望拋物線是三種圓錐曲線之一，應用廣泛，是高考的重點考查對象，拋物線方程、幾何性質、直線與拋物線結合的問題都是高考熱點.考查形式有選擇題、填空題也有解答題，小題難度一般為低中檔層次，解答題難度為中檔偏上.?？碱}型精析題型一拋物線的定義及其應用例1設P是拋物線y24x上的一動點，(1)求點P到A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，拋物線的焦點為F，求|PB|PF|的最小值.點評與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關.由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度.“看到準線想焦點，

2、看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑.變式訓練1已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0等于()A.1 B.2C.4 D.8題型二拋物線的標準方程及幾何性質例2拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，它與圓x2y29相交，公共弦MN的長為2，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點坐標與準線方程.點評(1)由拋物線的標準方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點的位置及p的值，再進一步確定拋物線的焦點坐標和準線方程.(2)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，

3、只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.變式訓練2(2015福建)如圖，已知點F為拋物線E：y22px(p0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點G(1,0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.題型三直線和拋物線的位置關系例3(2015課標全國)在直角坐標系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點，(1)當k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有OPMOPN？說明理由.點評(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系

4、類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.變式訓練3(2015長春模擬)已知拋物線C：ymx2(m0)，焦點為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q.(1)求拋物線C的焦點坐標；(2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3，求此時m的值；

5、(3)是否存在實數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.高考題型精練1.(2014遼寧)已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.2.(2015浙江)如圖，設拋物線y24x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A. B. C. D.3.已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩個點，若PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是()A.2 B.2C.

6、1 D.14.(2014課標全國)設F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為()A. B. C. D.5.已知拋物線y28x的準線為l，點Q在圓C：x2y22x8y130上，記拋物線上任意一點P到直線l的距離為d，則d|PQ|的最小值等于()A.3 B.2 C.4 D.56.已知拋物線y22px(p0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于()A.4 B.4 C.p2 D.p27.(2014湖南)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a0)經過C，F(xiàn)兩點，則_.8.已知拋物

7、線C：y22px(p0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若AM，則p_.9.過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|，|AF|0)和E2：y22p2x(p20)，過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.(1)證明：A1B1A2B2；(2)過O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點.記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.12.(2015湖南)已知拋物線C1 ：x24y的焦點F也是橢圓C2：1(ab0)的一個焦點.C1

8、與C2的公共弦的長為2.過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且與同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率.答案精析第32練與拋物線有關的熱點問題常考題型精析例1解(1)由于A(1,1)，F(xiàn)(1,0)，P是拋物線上的任意一點，則|AP|PF|AF|，從而知點P到A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點P到A(1,1)的距離與P到直線x1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示，自點B作BQ垂直于拋物線的準線于點Q，交拋物線于點P1，此時|P1Q|P1F|，那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值

9、為4.變式訓練1A解析由題意知拋物線的準線為x.因為|AF|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0，解得x01.例2解由題意，得拋物線方程為x22ay (a0).設公共弦MN交y軸于A，N在y軸右側，則|MA|AN|，而|AN|.|ON|3，|OA|2，N(，2).N點在拋物線上，52a(2)，即2a，故拋物線的方程為x2y或x2y.拋物線x2y的焦點坐標為，準線方程為y.拋物線x2y的焦點坐標為，準線方程為y.變式訓練2解方法一(1)由拋物線的定義得|AF|2.因為|AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.(2)因為點A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2，由拋物

10、線的對稱性，不妨設A(2,2).由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，從而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.方法二(1)同方法一.(2)設以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2，由拋物線的對稱性，不妨設A(2,2).由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1).由得2x25x20.解得x2或x，從而B.又G(1,0)，故直線GA的方程為

11、2x3y20.從而r.又直線GB的方程為2x3y20.所以點F到直線GB的距離dr.這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.例3解(1)由題設可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2處的導數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點，證明如下：設P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.

12、故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當ba時，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點P(0，a)符合題意.變式訓練3解(1)拋物線C：x2y，它的焦點F(0，).(2)|RF|yR，23，得m.(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20，依題意，有(2)24m(2)0m.設A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*)P是線段AB的中點，P(，)，即P(，yP)，Q(，).得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在實數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，結合(*)化簡得40，即2m23m20，m2或m

13、，而2(，)，(，).存在實數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形.高考題型精練1.D 拋物線y22px的準線為直線x，而點A(2,3)在準線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點為F(2,0).設切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因為切點在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點B的坐標為(8,8)，所以直線BF的斜率為.2.A 由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1，0)，作準線l，則l的方程為x1.點

14、A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.3.A 依題意得F，設P，Q(y1y2).由拋物線定義及|PF|QF|，得，yy，y1y2.又|PQ|2，因此|y1|y2|1，點P.又點P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得|PF|2，由此解得p2，故選A.4.D 由已知得焦點坐標為F(，0)，因此直線AB的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程化簡得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xAx

15、B.根據(jù)拋物線的定義有|AB|xAxBp12，同時原點到直線AB的距離為h，因此SOAB|AB|h.5.A 如圖所示，由題意，知拋物線y28x的焦點為F(2,0)，連接PF，則d|PF|.圓C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圓心為C(1,4)，半徑r2.d|PQ|PF|PQ|，顯然，|PF|PQ|FQ|(當且僅當F，P，Q三點共線時取等號).而|FQ|為圓C上的動點Q到定點F的距離，顯然當F，Q，C三點共線時取得最小值，最小值為|CF|r2523.6.A 若焦點弦ABx軸，則x1x2，則x1x2；若焦點弦AB不垂直于x軸，可設AB：yk(x)，聯(lián)立y22px得k2x2(k2p2p)x0，

16、則x1x2.則y1y2p2.故4.7.1解析正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b，O為AD的中點，C(，a)，F(xiàn)(b，b).又點C，F(xiàn)在拋物線y22px(p0)上，解得1.8.2解析如圖，由AB的斜率為，知60，又AM，M為AB的中點.過點B作BP垂直準線l于點P，則ABP60，BAP30.M為焦點，即1，p2.9.解析2，|AB|AF|BF|，|AF|0，再由y10，y20，則0，故1k0.又線段ST的中點坐標為，所以線段ST的垂直平分線方程為y.令y0，得Q點的橫坐標為xQ26，故Q點橫坐標的取值范圍為(，6).11.(1)證明設直線l1，l2的方程分別為yk1x，yk2x(k

17、1，k20)，由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.(，)2p2(，)故，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知，故.12.解(1)由C1：x24y知其焦點F的坐標為(0,1).因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2b21.又C1與C2的公共弦的長為2，C1與C2都關于y軸對稱，且C1的方程為x24y，由此易知C1與C2的公共點的坐標為，所以1.聯(lián)立，得a29，b28.故C2的方程為1.(2)如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因與同向，且|AC|BD|，所以，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.設直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是這個方程的兩根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是這個方程的兩根，所以x3x4，x3x4，將，代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直線l的斜率為.15