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1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2015屆畢業(yè)論文近似計(jì)算在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用作者：石結(jié)軍 指導(dǎo)老師：張瑋瑋摘要 近似計(jì)算是一個(gè)比較特殊的解決問題的方法，它是解決數(shù)學(xué)中復(fù)雜繁瑣問題的重要工具，是獲得結(jié)果且影響極小的有力工具.在數(shù)學(xué)分析中，這種方法的運(yùn)用尤為突出，如在定積分中的應(yīng)用、微分中的應(yīng)用、函數(shù)冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用等，其中函數(shù)冪級(jí)數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在泰勒展開式中的應(yīng)用.本文主要研究在數(shù)學(xué)分析中用具體實(shí)例來說明對(duì)這種方法的運(yùn)用.關(guān)鍵詞 近似計(jì)算 數(shù)學(xué)分析 微分 函數(shù)冪級(jí)數(shù) 定積分1 引言 近似計(jì)算是一種對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大,但能大大簡(jiǎn)化計(jì)算的過程,被廣泛用于各個(gè)領(lǐng)域.在數(shù)學(xué)分析中,本文從在微分中、在定積分

2、中、在求方程的解以及函數(shù)冪級(jí)數(shù)中的應(yīng)用出發(fā),然后分別簡(jiǎn)單介紹這幾方面的一些有關(guān)內(nèi)容及有關(guān)概念,并且針對(duì)近似計(jì)算在這些方面的應(yīng)用列舉出實(shí)例來加以解釋說明這種方法的實(shí)用性,并且說明其與精確結(jié)果之間產(chǎn)生的誤差.2 近似計(jì)算在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用1.1 在微分中的應(yīng)用在科學(xué)和工程問題中遇到的數(shù)值問題往往很復(fù)雜,在許多情況下都不可能求出數(shù)值解的精確值,另一方面，在許多實(shí)際問題中,并不需要解的精確值,而僅僅需要獲得解在若干點(diǎn)上的近似值即可.微分在近似計(jì)算中有很多應(yīng)用,這里介紹微分在近似計(jì)算方面的一些應(yīng)用.1.2.1 函數(shù)的近似計(jì)算由增量與微分關(guān)系當(dāng)很小時(shí)，有，由此即得 （8）或當(dāng)時(shí)有. （9）注意到在點(diǎn)的切線

3、方程即為（9）式的幾何意義就是當(dāng)充分接近時(shí),可用切線近似替代曲線（“以直代曲”）.常用這種線性近似的思想來對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理. 設(shè)分別是，和，令，則由（9）式可得這些函數(shù)在原點(diǎn)附近的近似公式：； ； .一般地，為求得的近似值,可找一鄰近于的點(diǎn),只要和易于計(jì)算,由（9）式可求得的近似值.例1 求的近似值.解 由于 ，因此取，由（9）式得到（的真值為0.544639.）.例2 設(shè)擺鐘的周期為1秒,在冬季擺長(zhǎng)至多縮短0.01cm,試問此鐘每天至少快幾秒?解 設(shè)擺鐘的周期T與擺長(zhǎng)L的關(guān)系為其中g(shù)式重力加速度.已知鐘擺周期為1秒,故此擺原長(zhǎng)為當(dāng)擺長(zhǎng)最多縮短0.01cm時(shí),擺長(zhǎng)增量,它引起單擺周期的增

4、量這就是,加快約0.0002秒,因此每天大約加快.1.2.2 誤差估計(jì)由于測(cè)量?jī)x器的精度,測(cè)量的條件和測(cè)量的方法等各種因素的影響,測(cè)得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差,而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會(huì)有誤差,我們把它叫做間接測(cè)量誤差.定義 如果某個(gè)量的精確值為,它的近似值為,則叫做的絕對(duì)誤差.而絕對(duì)誤差與的比值叫做的相對(duì)誤差.問題 在實(shí)際工作中,絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差如何求得？設(shè)量是由測(cè)量得到,量由函數(shù)經(jīng)過計(jì)算得到.在測(cè)量時(shí),由于存在測(cè)量誤差，實(shí)際測(cè)量得到的知識(shí)的某一個(gè)近似值,因此由算得的也只是的一個(gè)近似值.若已知測(cè)量值的誤差限為（它與測(cè)量工具的精度有關(guān)）,通常把絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限簡(jiǎn)稱為絕對(duì)誤差與相對(duì)

5、誤差.即則當(dāng)很小時(shí)， 而相對(duì)誤差限制為 例3 設(shè)測(cè)得一球體的直徑為測(cè)量工具的精度為.試求以此直徑計(jì)算球體體積時(shí)所引起的誤差.解 由直徑計(jì)算球體體積的函數(shù)式為取，求得，并由兩式得體積的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限分別為例4 設(shè)測(cè)得圓鋼截面直徑,測(cè)量的絕對(duì)誤差限.利用公式,計(jì)算圓鋼的截面面積時(shí),試估計(jì)面積誤差.解 我們把測(cè)量時(shí)所產(chǎn)生的誤差當(dāng)做的增量,則利用公式計(jì)算時(shí)所產(chǎn)生的誤差就是函數(shù)的對(duì)應(yīng)增量,當(dāng)很小時(shí),可以利用近似的代替增量,即.由于的絕對(duì)誤差限.，因此得出的絕對(duì)誤差限為;的相對(duì)誤差限約為.綜合所述,通過用絕對(duì)誤差來刻畫一個(gè)近似值的精確程度是有局限性的,在很多場(chǎng)合中它是無法顯示出近似值的精確程度.如

6、測(cè)量和兩個(gè)長(zhǎng)度,若它們的絕對(duì)誤差都是,顯然前者測(cè)量結(jié)果比后者的精確.由此可見，決定一個(gè)量的近似值的精確度，除了要看絕對(duì)誤差的大小外,還要考慮該量本身的大小,即相對(duì)誤差.在微分中，許多解決實(shí)際問題時(shí)需要用到近似計(jì)算來替代那些較為復(fù)雜繁瑣的過程，以至于更好的解決問題.1.2 定積分的近似計(jì)算利用牛頓-萊布尼茨公式雖然可以精確地計(jì)算定積分的值,但它僅適用于被積函數(shù)的原函數(shù)能夠求得的情形.如果這點(diǎn)辦不到或者不容易辦到，這就要考慮近似計(jì)算的方法。在定積分的很多應(yīng)用問題中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式（只是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或者是一組離散的采樣值），這時(shí)只能采用近似方法去計(jì)算相應(yīng)的定積分.其實(shí)，根據(jù)定積分的

7、定義,每一個(gè)積分和都可看做是定積分的一個(gè)近似值,例如在幾何意義上,這時(shí)用一系列小矩形面積來近似小曲邊梯形面積的結(jié)果.所以把這個(gè)近似算法稱為矩形法.不過，只有當(dāng)積分區(qū)間被分割的很細(xì)很細(xì)時(shí)，矩形法才有一定的精確度.如果在分割的每個(gè)小區(qū)間上采用一次或二次多項(xiàng)式來近似替代被積函數(shù),那么可以在期望獲得比矩形法效果好得多的近似計(jì)算公式.下面的梯形法和拋物線法就是這一想法的產(chǎn)物.1.3.1 梯形法將積分區(qū)間作等分，分點(diǎn)依次為，相應(yīng)的被積函數(shù)值記為并記曲線上相應(yīng)的點(diǎn)為將曲線上每一段弧用弦來替代，這使得每個(gè)小區(qū)間上的曲邊梯形換成了真正的梯形，其面積為于是，各個(gè)小梯形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值,即亦即稱此近

8、似式為定積分的梯形法公式.例5 用梯形法近似計(jì)算（將積分區(qū)間十等分）.解 將區(qū)間等分,則則由公式有例6 用梯形法計(jì)算下面定積分（取）,并計(jì)算相對(duì)誤差解 相對(duì)誤差：1.3.2 拋物線法將積分區(qū)間作等分，分點(diǎn)依次為對(duì)應(yīng)函數(shù)值為曲線上相應(yīng)點(diǎn)為現(xiàn)把區(qū)間上的曲線段用通過三點(diǎn)的拋物線來近似代替,然后求函數(shù)從到的定積分 由于，代入上式整理后得 同樣也有 將這個(gè)積分相加即得原來所要計(jì)算的定積分的近似值:即這就是拋物線法公式,也稱為辛卜生（Simpson）公式對(duì)于例6用拋物線法解有用準(zhǔn)確值與上述近似值比較,梯形法的結(jié)果有三位有效數(shù)字是準(zhǔn)確的,拋物線法的結(jié)果則有六位有效數(shù)字是準(zhǔn)確的,由此可見,在解決定積分中一些相

9、對(duì)復(fù)雜的問題時(shí)可采用近似計(jì)算這種方法來求解問題,能大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程并且誤差較小.而近似計(jì)算這種方法,拋物線法明顯優(yōu)于梯形法.1.3 方程的近似解在實(shí)際應(yīng)用中，常常求方程的解,而方程求解的方法主要有兩種:解析法和數(shù)值法.解析法得到結(jié)果是精確的,然而并不是所有的方程的根都能通過這種方法而求得.形如的代數(shù)方程，當(dāng)時(shí),一般不存在求解公式.因此對(duì)于一般方程，我們需要尋求其他的解法.如牛頓切線法:設(shè)為上的二階可導(dǎo)函數(shù),滿足牛頓切線法的基本思想是構(gòu)造一收斂點(diǎn)列,使其極限恰好是方程的解.因此當(dāng)充分大時(shí)，可作為的近似值.下面分四種情形進(jìn)行討論. 設(shè)從而有并設(shè). 因?yàn)?，所以為上的?yán)格凸函數(shù)，由定理有 設(shè)則在點(diǎn)的切

10、線與軸的交點(diǎn)為由式可知.以代替重復(fù)上述步驟可將在點(diǎn)的切線與軸交點(diǎn)為其中如此繼續(xù)上述過程可得如式確定的點(diǎn)列,顯然嚴(yán)格遞增且有上界，故可設(shè)由于和連續(xù)，對(duì)式取極限,得因而有由嚴(yán)格單調(diào)，可知方程的解唯一，從而.最后估計(jì)以作為的近似值的誤差,由中值定理因而記則同樣地有 ,這時(shí)又有; 這時(shí)又有; 這時(shí)又有. 例5 用牛頓切線法求方程的近似解,使誤差不超過. 解 設(shè)求得導(dǎo)數(shù)容易檢驗(yàn)為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn)，并且.又因?yàn)樗苑匠逃星抑挥幸粋€(gè)根.又因?yàn)椋?因而方程的根由于在上,則有.以代替的誤差：在上的最小值為，而，由誤差估計(jì)公式得而，因此尚不符合要求.再在點(diǎn)作切線，求得。由于，此時(shí)因此取已能達(dá)到所要求的精確度.

11、 由上述例題能充分說明在解決不能直接用公式求方程根的時(shí)候，可以用求其近似值的方法來處理此類問題.1.4 函數(shù)冪級(jí)數(shù)中近似計(jì)算的應(yīng)用冪級(jí)數(shù)是無窮級(jí)數(shù)的一種，是函數(shù)進(jìn)行數(shù)值近似計(jì)算的有力工具，由于這類級(jí)數(shù)各項(xiàng)都是簡(jiǎn)單的冪函數(shù)，因此，在工程技術(shù)中常用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行一些函數(shù)值的近似計(jì)算。在數(shù)學(xué)教學(xué)中如能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這方面的探索對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的研究能力和創(chuàng)新能力十分有利.我們知道，許多初等函數(shù)如，在一定區(qū)間上都可進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開，進(jìn)行近似計(jì)算，通過控制取冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的多少來達(dá)到我們需要的精確度.接下來，我們通過的近似計(jì)算來研究函數(shù)冪級(jí)數(shù)中進(jìn)行近似計(jì)算的方法.可用的冪級(jí)數(shù)展開式取近似計(jì)算，也可用的冪級(jí)數(shù)展開式取近似計(jì)

12、算,用前者來計(jì)算有,取得,上式兩邊同時(shí)乘以6可得括號(hào)內(nèi)是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),又由近似代替，則產(chǎn)生的誤差絕對(duì)值有:.易計(jì)算，就是說，用表示的近似值，其誤差小于,經(jīng)計(jì)算,這里.有些函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開限制了自變量的取值范圍,為了使其適用近似計(jì)算的范圍更廣，要進(jìn)行一些轉(zhuǎn)換.如利用冪級(jí)數(shù)近似計(jì)算，由于 只能算出0與2間（不含0）的對(duì)數(shù)，我們以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)一個(gè)較為適用的公式，用代替，則有 由得 設(shè)，這樣可以得到：等式變換有: 由公式知，只要知道的值或近似值就可以算出的近似值.若用作為的近似值，其誤差小于，經(jīng)計(jì)算得到，由和公式即可計(jì)算的值，以此下去則可得到,的值.1.5.2 復(fù)雜函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開方法在工程技術(shù)中，一些

13、復(fù)雜函數(shù)的近似計(jì)算無法通過查表得到，把這類函數(shù)轉(zhuǎn)換成冪級(jí)數(shù)展開往往使近似計(jì)算方便、精確.下面通過幾個(gè)實(shí)例來具體說明.例1 求的冪級(jí)數(shù)展開式.解 因?yàn)?將其中的換成后兩邊同時(shí)除以得由此可見，只要對(duì)所學(xué)的冪級(jí)數(shù)能靈活運(yùn)用，就會(huì)得到想要展開的冪級(jí)數(shù)形式，進(jìn)而就會(huì)算出其對(duì)應(yīng)的近似值.掌握這種方法會(huì)給解決問題帶來很大方便.1.5.3 泰勒展開在近似計(jì)算上的應(yīng)用定理6.8 若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有，即.此公式稱為在點(diǎn)處的泰勒公式，稱為泰勒公式得余項(xiàng)，形如的余項(xiàng)稱為佩亞諾型余項(xiàng).例1 （1）計(jì)算的值，使其誤差不超過；（2）證明數(shù)為無理數(shù).解 （1）當(dāng)時(shí)有故，當(dāng)時(shí)，便有從而略去而求得的近似值為（2）由得

14、倘若（p，q為整數(shù)）則當(dāng)時(shí),為整數(shù)，從而為整數(shù).因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)右邊為非整數(shù),矛盾!從而數(shù)為無理數(shù).例1 用泰勒多項(xiàng)式逼近正弦函數(shù),要求誤差不超過.試以和兩種情形分別討論的取消（i）時(shí)，使其誤差滿足只須,即大約在原點(diǎn)范圍以近似,其誤差不超過.（ii）時(shí)，使其誤差滿足只須，即大約在原點(diǎn)范圍內(nèi)，其誤差不超過.結(jié)束語 近似計(jì)算是在解決復(fù)雜問題中常見且適用的一種方法,本文以對(duì)近似計(jì)算的簡(jiǎn)介及其與數(shù)學(xué)分析的聯(lián)系為前提簡(jiǎn)要寫出近似計(jì)算方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用.然后再用具體實(shí)例來說明在數(shù)學(xué)分析中這種方法在某些方面的應(yīng)用.由于這種方法的簡(jiǎn)單、易懂,且能讓人更容易接受、理解,因此這種方法在數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域占

15、有了一個(gè)獨(dú)特的位置.參考文獻(xiàn) 1 陳紀(jì)修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析M，2版，北京：高等教育出版社，2004;2 裴禮文，數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M，高等教育出版社，2006;3 歐陽光中，姚允龍，周淵，數(shù)學(xué)分析（上，下）M，復(fù)旦大學(xué)出版社，2002;4 宋國(guó)柱，數(shù)學(xué)分析教程M，南京大學(xué)出版社，2000;5 李成章, 黃玉民. 數(shù)學(xué)分析（上，下）M, 科學(xué)出版社, 2004;6 常庚哲，史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程M.北京高等教育出版社,2003.Application of approximate calculation in mathematical analysisAuthor:Shi Jieju

16、n Instructor:Zhang WeiweiAbstract the approximate calculation is a special way to solve the problem,it its an important tool to solve complicated problems in mathematics,is to get a result and the effect of minimal.A powerful tool in mathematical analysis,the use of this method is particularly promi

17、nent,such as the application of definite integral,differential in the application,function of power series the application,wherein the application function of power sereis.In the application of the expansion series mainly embodied in Taylor.This paper mainly studies with specific examples in mathmatical analysis to illustrate the use of this method Keywords mathematical analysis of approximate calculation of definiteintegraldifferential function of power series17