《2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練49 拋物線(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練49 拋物線(含解析)(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課下層級(jí)訓(xùn)練(四十九) 拋物線
[A級(jí) 基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練]
1.點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=ax2(a≠0)的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的方程是( )
A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2 D.y=x2或y=-x2
【答案】D [分兩類a>0,a<0,可得y=x2或y=-x2.]
2.已知AB是拋物線y2=8x的一條焦點(diǎn)弦,|AB|=16,則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是( )
A.3 B.4
C.6 D.8
【答案】C [設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p=16,又p=4,所以x1+x2=12,所以點(diǎn)C的橫
2、坐標(biāo)是=6.]
3.(2019·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C:x2=2py(p>0),若直線y=2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4,則拋物線C的方程為( )
A.x2=8y B.x2=4y
C.x2=2y D.x2=y(tǒng)
【答案】C [由得或
即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p),則=4,得p=1(舍去負(fù)值),故拋物線C的方程為x2=2y.]
4.(2019·山東聊城模擬)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l交該拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,若|AF|=3,則直線l的斜率為( )
A.1 B.
C. D.2
【答案】D [根據(jù)|AF|=3可知A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,故A點(diǎn)的橫坐
3、標(biāo)為2,故縱坐標(biāo)為2,由AF的坐標(biāo)解出直線l的斜率k=2.]
5.直線l過(guò)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長(zhǎng)是6,AB的中點(diǎn)到x軸的距離是1,則此拋物線方程是____________.
【答案】x2=8y [設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=y(tǒng)1+y2+p=2+p=6,∴p=4.即拋物線方程為x2=8y.]
6.(2019·山東威海模擬)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為l,焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且|AF|>|BF|,若直線AO與l相交于D,則=____________.
【答案】 [過(guò)
4、F且斜率為的直線方程為y=(x-1),與拋物線C:y2=4x聯(lián)立解得A(3,2),B,則直線AO方程為y=x與準(zhǔn)線l:x=-1的交點(diǎn)D,因此==.]
7.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°,則k=____________.
【答案】2 [方法一 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則
∴y-y=4(x1-x2),∴k==
設(shè)AB中點(diǎn)M′(x0,y0),拋物線的焦點(diǎn)為F,分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足為A′,B′,
則|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)
=(|AA′
5、|+|BB′|).
∵M(jìn)′(x0,y0)為AB中點(diǎn),
∴M為A′B′的中點(diǎn),∴MM′平行于x軸,
∴y1+y2=2,∴k=2.
方法二 由題意知,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),設(shè)直線方程為y=k(x-1),直線方程與y2=4x聯(lián)立,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1,x1+x2=.
由M(-1,1),得=(-1-x1,1-y1),=(-1-x2,1-y2).
由∠AMB=90°,得·=0,
∴(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,
∴x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+
6、1=0.
又y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],
y1+y2=k(x1+x2-2),
∴1++1+k2-k+1=0,
整理得-+1=0,解得k=2.]
8.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過(guò)A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過(guò)M作MN⊥FA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】解 (1)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-,
于是4+=5,∴p=2,∴拋物線方程為y2=4x.
(2)由(1)知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4
7、,4),由題意得B(0,4),M(0,2).
又∵F(1,0),∴kFA=.
∵M(jìn)N⊥FA,∴kMN=-.
∴FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y=-x+2,
聯(lián)立解方程組得x=,y=,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為.
9.(2019·河南鄭州月考)已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
8、必有兩個(gè)不等實(shí)根.
所以x1+x2=,由拋物線定義得
|AB|=x1+x2+p=+p=9,
所以p=4,從而拋物線方程為y2=8x.
(2)由于p=4,則4x2-5px+p2=0,
即x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,
于是y1=-2,y2=4,
從而A(1,-2),B(4,4).設(shè)C(x3,y3),
則=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)
=(4λ+1,4λ-2).
又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
[B級(jí) 能力提升訓(xùn)練]
10.若動(dòng)圓的圓心在拋物線y=x2上,且與直線y+
9、3=0相切,則此圓恒過(guò)定點(diǎn)( )
A.(0,2) B.(0,-3)
C.(0,3) D.(0,6)
【答案】C [直線y+3=0是拋物線x2=12y的準(zhǔn)線,由拋物線的定義知拋物線上的點(diǎn)到直線y=-3的距離與到焦點(diǎn)(0,3)的距離相等,所以此圓恒過(guò)定點(diǎn)(0,3).]
11.(2019·山東濱州模擬)如圖,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為( )
A.y2=x B.y2=3x
C.y2=x D.y2=9x
【答案】B [如圖,分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,
10、
設(shè)|BF|=a,則|BC|=2a,由拋物線的定義得,|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,因?yàn)閨AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,2|AE|=|AC|,所以6=3+3a,從而得a=1,因?yàn)锽D∥FG,所以=.即=,解得p=,因此拋物線方程為y2=3x.]
12.已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得∠ACB為直角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________.
【答案】[1,+∞) [如圖,設(shè)C(x0,x)(x≠a),A(-,a),B(,a),
則=(--x0,a-x),=(-x0,a-x).
∵CA⊥CB,∴·=0,即
11、-(a-x)+(a-x)2=0,(a-x)(-1+a-x)=0.∴x=a-1≥0,∴a≥1.]
13.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=____________.
【答案】6 [如圖,不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)P,∴PM∥OF.
由題意知,F(xiàn)(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn),PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由拋物線
12、的定義知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.]
14.如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)G(p,0)作直線l交拋物線C于A,M兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),M(x2,y2).
(1)若y1y2=-8,求拋物線C的方程;
(2)若直線AF與x軸不垂直,直線AF交拋物線C于另一點(diǎn)B,直線BG交拋物線C于另一點(diǎn)N.求證:直線AB與直線MN斜率之比為定值.
【答案】(1)解 設(shè)直線AM的方程為x=my+p,
代入y2=2px得y2-2mpy-2p2=0,
則y1y2=-2p2=-8,得p=2.
∴拋物線C的方程為y2=4x.
(2)證明 設(shè)B(x
13、3,y3),N(x4,y4).
由(1)可知y3y4=-2p2,y1y3=-p2.
又直線AB的斜率kAB==,
直線MN的斜率kMN==,
∴====2.
故直線AB與直線MN斜率之比為定值.
15.(2018·浙江卷)如圖,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上.
(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸;
(2)若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動(dòng)點(diǎn),求△PAB面積的取值范圍.
【答案】(1)證明 設(shè)P(x0,y0),A,B.
因?yàn)镻A,PB的中點(diǎn)在拋物線上,
所以y1,y2為方程2=4·
即y2-2y0y+8x0-y=0的兩個(gè)不同的實(shí)根.
所以y1+y2=2y0,
因此,PM垂直于y軸.
(2)解 由(1)可知,,
所以|PM|=(y+y)-x0=y(tǒng)-3x0,
|y1-y2|=2.
因此,△PAB的面積
S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(y-4x0).
因?yàn)閤+=1(x0<0),
所以y-4x0=-4x-4x0+4∈[4,5],
因此,△PAB面積的取值范圍是.
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