《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題20 平面向量的解題技法 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題20 平面向量的解題技法 文（含解析）（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題16 平面向量的解題技法 一、本專題要特別小心： 1.平面向量的幾何意義應(yīng)用 2. 平面向量與三角形的心 3. 向量垂直的應(yīng)用 4.向量的數(shù)量積問題等綜合問題 5. 向量夾角為銳角、鈍角時(shí)注意問題 6.向量數(shù)量積在解析幾何中應(yīng)用 7.向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用。 二．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題． 2．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題 三．【方法總結(jié)】 1.用向量解決平面幾何問題的步驟 (1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； (2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之

2、間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； (3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系. 2.應(yīng)用向量解決問題的關(guān)鍵是要構(gòu)造合適的向量，觀察條件和結(jié)構(gòu)，選擇使用向量的某些性質(zhì)解決相應(yīng)的問題，如用數(shù)量積解決垂直、夾角問題，用三角形法則、模長(zhǎng)公式解決平面幾何線段長(zhǎng)度問題，用向量共線解決三點(diǎn)共線問題等，總之，要應(yīng)用向量，如果題設(shè)條件中有向量，則可以聯(lián)想性質(zhì)直接使用，如果沒有向量，則更需要有向量工具的應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)的聯(lián)系，善于構(gòu)造向量解決問題. 3.幾點(diǎn)注意事項(xiàng) (1)在處理三點(diǎn)共線問題時(shí)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量共線解決，需說明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)，兩直線不能平行，只能重合. (2)在解決夾角問題時(shí)，應(yīng)注意向量的方向，

3、向量的夾角與所求角可能相等，也可能互補(bǔ). (3)證明垂直問題一般要經(jīng)過向量的運(yùn)算得到數(shù)量積a·b＝0，盡量用坐標(biāo)運(yùn)算. 四．【題型方法】 （一）平面向量的幾何意義法 例1. 如圖，AB，CD是半徑為1的圓O的兩條直徑，，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ,選B. 練習(xí)1. 如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD相交于點(diǎn)若，，，則( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， ， 為直角三角形，且，， 平行行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)

4、， ，，∴ ，， ， 故選：D． 練習(xí)2.已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且，，則①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正確的等式的個(gè)數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 ①如圖可知＝＋＝＋＝－－＝－－，故①正確． ②＝＋＝＋＝＋，故②正確． ③＝＋＝＋＝＋(－－)＝－＋，故③正確． ④＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋ ＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正確． 故選：D. （二）平面向量坐標(biāo)法 例2. 如圖，圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)， ，則的最大值為（ ）

5、 A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系， 設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓； 根據(jù)三角形面積公式得到， 可得到內(nèi)切圓的半徑為 可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為： 故得到 故得到 ， 故最大值為：2. 故答案為：C. 練習(xí)1. 如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方

6、形ABCD的邊長(zhǎng)為1， 則C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）． E為AB的中點(diǎn)，得 設(shè) P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1）． 再由向量＝λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）＝（+μcosθ，﹣λ+μsinθ ）＝（1，1）， ∴， ∴．由題意得． ,得＝0，故λ+μ在[0，]上是增函數(shù)， 當(dāng)θ＝0時(shí)，即cosθ＝1，這時(shí)λ+μ取最小值為， 當(dāng)θ＝時(shí)，即cosθ＝0，這時(shí)λ+μ取最大值為， 故λ+μ的取值范圍為[，5] 故選：B． 練習(xí)2. 已知，，，，為外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解

7、析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則外接圓的方程為， 設(shè)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作垂直軸，∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，∴ ∴，， ∴，， ∴，其中，， 當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為， 故選：B． 練習(xí)3.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若，則的最大值為　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系： 則，，，，設(shè)， ,則由得，化簡(jiǎn)得：，又，，，，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離得平方，其最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加半徑的平方，即， 故選：C． 練習(xí)4.如圖,原點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),頂點(diǎn)在

8、上, , , , , ,若,則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（2，0），B（﹣，），C（﹣，﹣）， 因?yàn)椋上蛄肯嗟鹊淖鴺?biāo)表示可得：，得 ，即＝， 故選：D． 練習(xí)5.點(diǎn)是平行四邊形所在平面上一點(diǎn)，且，若，，，則__________． 【答案】 【解析】 方法一：如圖，以為軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可得各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以解得即，所以，，所? ． 方法二：因?yàn)?，所以，所以，所? ； ．所以 （三）平面向量基本定理綜合應(yīng)用 例3.已知A、B、P三點(diǎn)共線，O為任意一點(diǎn)，若求證；

9、如圖所示，已知中，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，D在線段OB上，且，DC和OA相交于點(diǎn)設(shè)，．若，求實(shí)數(shù)的值． 【答案】（1）見解析；（2）= 【解析】證明：、B、P三點(diǎn)共線，可設(shè)， ， 又，，； 解：由C、D、E三點(diǎn)共線，可設(shè)，， ，又， ， ， ，而， ， ，解得， 故實(shí)數(shù)=． 練習(xí)1. 如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，若，，試問：是否為定值？ 【答案】見解析. 【解析】設(shè)，， 則，，． 所以，. 因?yàn)榕c共線，且不共線，所以有 即，得，所以為定值． （四）向量綜合 例4.如圖所示，

10、在中，，點(diǎn)在線段上，設(shè)，，，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】．∵，，三點(diǎn)共線， ∴．即．由圖可知．∴． 令，得， 令得或（舍）． 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． ∴當(dāng)時(shí)，取得最小值. 故選：D． 練習(xí)1,。如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．以為圓心，為半徑，作弧交于點(diǎn)．若為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則： A（0，0），C（2，2），D（0，2），設(shè)P（cosθ，sinθ） ∴?（﹣cosθ，2﹣sinθ） ＝（2﹣co

11、sθ）（﹣cosθ）+（2﹣sinθ）2 ＝5﹣2（cosθ+2sinθ）sin（θ+φ），tanφ； ∴sin（θ+φ）＝1時(shí)，取最小值． 故答案為：5﹣2． 練習(xí)2.已知，，為平面上三個(gè)不共線的定點(diǎn)，平面上點(diǎn)滿足（是實(shí)數(shù)），且是單位向量，則這樣的點(diǎn)有（ ） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè) 【答案】C 【解析】以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)、， 則， 因?yàn)?，所以? 所以 所以 所以， 因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所? 因?yàn)闉槠矫嫔先齻€(gè)不共線的三點(diǎn)， 所以，顯然有兩解，故滿足條件的有兩個(gè)，故選C。 （五）向量與數(shù)學(xué)文化 例5.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大

12、約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)，因此，又由題意可得， 所以， 因此；延長(zhǎng)交于，記，， 則，所以； 又由題意易知，則， 在三角形中，由正弦定理可得， 即，因此， ，所以， 因?yàn)?，所以，即? 整理得，所以. 故選D （六）向量與解析幾何 例6. 已

13、知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為為拋物線上不同的三點(diǎn)，成等差數(shù)列，且點(diǎn)B在x軸下方，若,則直線AC的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線可知，故拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)，成等差數(shù)列，故，根據(jù)拋物線的定義有，即.將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，則，則，由，則.則中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，直線的斜率為.由點(diǎn)斜式得，化簡(jiǎn)得.故選D. 練習(xí)1. 如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以線段AB為腰作等腰直角△ABC（C、O兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)），當(dāng)∠AOB變化時(shí)，OC≤m恒成立，則m的最小值為______． 【答案】2+1

14、【解析】 解：根據(jù)題意，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸建立坐標(biāo)系，如圖： 則A（2，0），設(shè)∠AOB=θ，（0≤θ≤π），則B的坐標(biāo)為（cosθ，sinθ）， 則=（cosθ-2，sinθ）， △ABC為等腰直角三角形，則AC⊥AB且|AC|=|AB|， 又由C、O兩點(diǎn)在直線AB的兩側(cè)，則=（sinθ，2-cosθ）， 則=（2+sinθ，2-cosθ）， 則||2=（2+sinθ）2+（2-cosθ）2=9+4（sinθ-cosθ）=9+4sin（θ-）， 所以當(dāng)θ=時(shí)，||2取得最大值9+4， 則OC的最大值為2+1， 若OC≤m恒成立，則m≥2+1，即m的最小值為2+1； 故答案為：2+1． 15