《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題14 平面向量的數(shù)量積 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題14 平面向量的數(shù)量積 文（含解析）（21頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題14平面向量的數(shù)量積 一、本專題要特別小心： 1.平面向量數(shù)量積的模夾角公式的應(yīng)用 2. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式應(yīng)用問題 3. 向量垂直的應(yīng)用 4.向量的數(shù)量積問題等綜合問題 5. 向量夾角為銳角、鈍角時(shí)注意問題 6.向量數(shù)量積在解析幾何中應(yīng)用 7.向量數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用。 二．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角及判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 5．會(huì)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問題及力學(xué)問題．

2、 三．【方法總結(jié)】 1.要準(zhǔn)確理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的五個(gè)重要性質(zhì)及三個(gè)運(yùn)算規(guī)律.向量的數(shù)量積的運(yùn)算不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，數(shù)量積不滿足結(jié)合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·c b＝c；a·b＝0 a＝0或b＝0，但滿足交換律和分配律. 2.公式a·b＝|a||b|cos θ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的關(guān)系非常密切，必須能夠靈活綜合運(yùn)用. 3.通過向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度，平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，兩個(gè)向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩直線是否垂直. 4.a∥b?x1y2－x2y1＝0與a⊥b?x1x

3、2＋y1y2＝0要區(qū)分清楚. 四．【題型方法】 （一）向量的數(shù)量積 例1. 在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在，若，則的值（　?。? A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，，， ，， 解得， ，，. 故選A項(xiàng)． 練習(xí)1. 在中，，，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)， A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則，設(shè)，則 ， 所以當(dāng)x=2，y=1時(shí)取最小值，此時(shí). 故選：B. 練習(xí)2. 如圖所示，已知點(diǎn)為的重心，，，則的值為__________

4、_. 【答案】72 【解析】連接延長(zhǎng)交于， 因?yàn)闉橹匦模詾橹悬c(diǎn), 且, 因?yàn)? 所以， 則 ,故答案為72. （二）向量的投影 例2. 在同一平面內(nèi)，已知A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，且∠BAC=，，BC=1，P為BC中點(diǎn)．過點(diǎn)P作PQ⊥BC交AC所在直線于Q，則在方向上投影的最大值是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B（-，0），C（，0），P（0，0）， 由可知，ABC三點(diǎn)在一個(gè)定圓上，且弦BC所對(duì)的圓周角為，所以圓心角為.圓心在BC的中垂線即軸上，且圓心到直線BC的距離為，即圓心為，半徑為.

5、 所以點(diǎn)A的軌跡方程為：，則 ，則， 由在方向上投影的幾何意義可得：在方向上投影為|DP|=|x|， 則在方向上投影的最大值是，故選：C． 練習(xí)1. 已知||=||=，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則在方向上的投影的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知有=（）?（）=-+（μ-λ）=2λ-2μ， 又2=（）2=4（λ2+μ2+λμ），又2λ+μ=2，所以μ=2-2λ， 則在方向上的投影為==， 令t=3λ-2，則，則f（t）=， ①當(dāng)t＞0時(shí)，f（t）==≤2，即0＜f（t）≤2； ②當(dāng)t=0時(shí)，f（t）=0，③當(dāng)t＜0時(shí)，f（t）=-，即-＜f（

6、t）＜0， 綜合①②③得＜f（t）≤2，即∈（]， 故選A． 練習(xí)2. 已知，，且，共線，則向量在方向上的投影為__________． 【答案】 【解析】由與共線得：，解得： 向量在方向上的投影為： 本題正確結(jié)果： 練習(xí)3. 已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，若，，則在方向上的投影等于________． 【答案】 【解析】因?yàn)?，是夾角為的兩個(gè)單位向量 所以 因?yàn)?，所? 因?yàn)椋? 設(shè)與的夾角為， 則 所以在方向上的投影等于 練習(xí)4.定義兩個(gè)非零平面向量的一種新運(yùn)算，其中表示的夾角，則對(duì)于兩個(gè)非零平面向量，下列結(jié)論一定成立的有（ ） A．在方向上的投影為

7、 B． C． D．若，則與平行 【答案】BD 【解析】由向量投影的定義可知，A顯然不成立； ，故B成立； ，當(dāng)時(shí)不成立，故C不成立； 由，得，即兩向量平行，故D成立。 綜上所述，故選BD。 （三）數(shù)量積與最值 例3. 在直角三角形中，，，，點(diǎn)在斜邊的中線上，則的最大值為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)椋砸缘姆较驗(yàn)檩S的正方向，建立直角坐標(biāo)系，如下圖所示： 所以 設(shè)， 所以，， ，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，故本題選C. 練習(xí)1. 已知，是兩個(gè)單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（　　） A． B．2 C． D．1

8、【答案】C 【解析】由-（）?+=0得：（）?（-）=0，即（）⊥（-）， 設(shè)=，=，=，則=，-=， 則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng)， 由圖知：當(dāng)DC⊥AB時(shí)，|DC|≥|DC′|，設(shè)∠ADC=θ， 則|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），所以當(dāng)時(shí)，|DC|取最大值， 故選：C． 練習(xí)2. 在直角梯形中， ， ，， 分別為， 的中點(diǎn)，以為圓心， 為半徑的圓交于，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中， ，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則A（0，0），B（2，0）

9、，D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5）， P（cosα，sinα）（0≤α）， 由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，） ?cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ?λ， ∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（） ∵，∴sin（） ∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范圍是[2，2]． 故選：D． 練習(xí)3．如圖，已知點(diǎn)為等邊三角形的外接圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是該三角形內(nèi)切圓上一點(diǎn)，若，，則的最大值為（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】如圖，取中點(diǎn)，交外接圓于，交內(nèi)切圓于，

10、此時(shí)為外接圓劣弧的中點(diǎn)，取得最大；為內(nèi)切圓劣弧的中點(diǎn)，取得最小， 記的最大值為，的最小值為，而，， 故的最大值為， 故選C. 練習(xí)4. 已知平面向量，，當(dāng)時(shí)，的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖，在中，已知，， 在OB上取點(diǎn)D，使得， 在AB上有動(dòng)點(diǎn)C，使（）， 則， . 故選：C. （四）由數(shù)量積求參數(shù) 例4. 在中，，，，設(shè)點(diǎn)、滿足， ，若，則（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】因?yàn)?，則，所以 . 由已知，，則. 選. 練習(xí)1. 向量，，若，則______

11、___. 【答案】 【解析】向量，， 所以，又因?yàn)椋? 所以，即，解得，故答案為. 練習(xí)2。設(shè)向量，，，若，則實(shí)數(shù)__________ 【答案】1. 【解析】因?yàn)?，? 所以，得。 （五）由向量數(shù)量積求范圍 例5. 三角形中，,，為線段上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，， 結(jié)合題目中的條件得到原式等于：, 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到范圍是：. 故答案為：B. 練習(xí)1. 在平面上，，，.若，則 的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴ ＝＝0， ∴.

12、∵，∴， ∴. ∴， ∵， ∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－， ∵，∴0≤，∴0≤，∴ ，即||∈. 故答案為：D 練習(xí)2. 如圖，在直角梯形中， ， ∥， ， ，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 方向?yàn)?軸， 軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0，0),B(2，0),D(0，1),C(1，1),∴ =(2，0),=(-1,1)， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由意可知： ， 據(jù)此可得： ，則： ，目標(biāo)函數(shù)： ， 其中

13、 為直線系 在y軸的截距， 當(dāng)直線與圓相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值 . 當(dāng)直線過點(diǎn) 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值 ，則的取值范圍是 . 故選：B. 練習(xí)3. 已知向量，，若向量、的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________。 【答案】 【解析】由題意可知： 且 解得：且，即 本題正確結(jié)果： 練習(xí)4.已知 （1）求與的夾角； （2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）； ；; ;，. （2），兩邊平方可得， 即，解得，或； 的取值范圍為 （六）數(shù)量積的綜合應(yīng)用 例6. 在中，邊上的中線，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是____.

14、【答案】 【解析】令，，則， 故可化為， ，代入得 化簡(jiǎn)得 則 故當(dāng)時(shí)，取得最小值 故答案為 練習(xí)1. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，滿足. （1）求的值； （2）已知，，，若函數(shù)的最大值為3，求實(shí)數(shù)的值. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】（1）由題意知，，即， 所以，即. （2）易知，，， 則，， 所以， 令， 則，，其對(duì)稱軸方程是. 當(dāng)時(shí)，的最大值為，解得； 當(dāng)時(shí)，的最大值為，解得（舍去）. 綜上可知，實(shí)數(shù)的值為. 練習(xí)2. 如圖，以為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為. （1）求的值； （2）若

15、，求的值. 【答案】（1）；（2）0. 【解析】（1）由題意知，，， ∴. （2）由題意知，，則. ∵，∴， ∴，即. 練習(xí)3. 已知向量，，，其中，分別為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸與軸正方向上的單位向量. （1）若,,三點(diǎn)共線時(shí)，求實(shí)數(shù)的值; （2）若是直角三角形，且為直角，求實(shí)數(shù)的值與向量在方向上的投影. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由題知,, ， ,,共線即為,共線 解得（或由求解） （2）由題知 解得 向量在方向上的投影為 練習(xí)4. ．已知中，，，邊上一點(diǎn)滿足，. (I)證明：為的內(nèi)角平分線； (Ⅱ)若，求. 【答案】(Ⅰ)見解析.（Ⅱ

16、）. 【解析】（I）因?yàn)? 所以， 又因?yàn)椋?，所以? 所以為的內(nèi)角平分線. （方法二：提示：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合菱形對(duì)角線平分內(nèi)角可以證得） （Ⅱ）中，，中，， ∵，，， ∴， 中，， 中，， ∴，. （七）向量數(shù)量積在三角和幾何上應(yīng)用 例7. 如圖所示，在平面上，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上且 . （1）若點(diǎn)，求的值： （2）若，四邊形的面積用表示，求的取值范圍. 【答案】（1）﹣，（2）． 【解析】（1）由條件得B（﹣，），∠AOB=θ， ∴ tanθ==﹣， ∴ tan2θ = = = ， ∴tan（2θ+）= = =﹣．

17、 （2）由題意得=||||sin（π﹣θ）=sinθ． ∵=（1，0），=（cosθ，sinθ）， ∴ =+=（1+cosθ，sinθ）， ∴ ?=1+cosθ， ∴ +?=sinθ+cosθ+1=sin（θ+）+1（0＜θ＜π）， ∵ ＜＜， ∴﹣＜sin（）≤1， ∴ ?． ∴+?的取值范圍為． 練習(xí)1.根據(jù)平面向量基本定理，若為一組基底，同一平面的向量可以被唯一確定地表示為 =，則向量與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，稱為向量的基底下的坐標(biāo)；特別地，若分別為軸正方向的單位向量，則稱為向量的直角坐標(biāo). （I）據(jù)此證明向量加法的直角坐標(biāo)公式：若，則； （II）如圖，直角中，，點(diǎn)在上

18、，且，求向量在基底下的坐標(biāo). 【答案】（I）見解析.（II）. 【解析】（I）證明：根據(jù)題意： ? ∴，（4分）∴. （II）解：法一（向量法）：根據(jù)幾何性質(zhì)，易知， 從而，所以， 化簡(jiǎn)得：，所以在基底下的坐標(biāo)為. 法二（向量法）：同上可得：，所以. 上法也可直接從開始∴. 法三（向量法）：設(shè)，則利用共線可解得. 法四（坐標(biāo)法）：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向建立直角坐標(biāo)系（以下坐標(biāo)法建系同），則，由幾何意義易得的直角坐標(biāo)為. 設(shè)，則=，又知，則由三點(diǎn)共線易得. 法六（坐標(biāo)法）：完全參照《必修4》P99例8（2）的模型和其解答過程，此處略. 法七（幾何圖形法

19、）：將分解在方向，利用平幾知識(shí)算出邊的關(guān)系亦可. 法八（向量法）：設(shè)，則①； 由②，由①，②解得. 所以在基底下的坐標(biāo)為. 練習(xí)2.．如圖，在中，， ，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且存在非零實(shí)數(shù)，使. （Ⅰ）求與的數(shù)量積； （Ⅱ）求與的數(shù)量積. 【答案】(Ⅰ)-18；(Ⅱ) . 【解析】（Ⅰ）在中， 由余弦定理得， 所以， 所以是等腰三角形，且， 所以, 所以 （Ⅱ）由, 得， 所以點(diǎn)在的角平分線上， 又因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的一點(diǎn)， 所以由角平分線性質(zhì)定理得， 所以. 因?yàn)椋? 所以. 設(shè)， 則，． 由，得， 所以， 又， 所以 21