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1、中考數(shù)學(xué)“新定義”試題淺析隨著新課改的深入，中考試題中考查學(xué)生的學(xué)習能力，促進學(xué)生發(fā)展的創(chuàng)新型試題不斷地涌現(xiàn)。而“新定義”試題是創(chuàng)新型試題的主要表現(xiàn)之一，也是2009年中考數(shù)學(xué)試題中的一個熱點。“新定義”試題具有新穎公平的問題背景，且與已學(xué)數(shù)學(xué)知識密切關(guān)聯(lián)的知識基礎(chǔ)，能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力和運用已學(xué)知識分析問題、解決問題的綜合能力，在中考試題中有較好地效度?，F(xiàn)舉例說明如下：考點一：利用“新定義”構(gòu)建數(shù)、式模型例1、（2009年紹興市）李老師從油條的制作受到啟發(fā)，設(shè)計了一個數(shù)學(xué)問題：如圖，在數(shù)軸上截取從原點到1的對應(yīng)點的線段，對折后（點與重合）再均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱

2、為一次操作（如在第一次操作后，原線段上的，均變成，變成1，等）那么在線段上（除，）的點中，在第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應(yīng)的數(shù)之和是_AB（例3圖）解：在第一次操作后，原線段上的，均變成，變成1， 在第二次操作后，原線段上的，均變成1，點所對應(yīng)的數(shù)之和是?！酒饰觥勘绢}是一道PISA型試題，以學(xué)生已學(xué)的數(shù)軸和已有的生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對某種操作進行了新的定義。解答本題，關(guān)鍵是要讀懂新定義中“一次操作”的真正含義：先對折再拉長到與原線段長度相等的線段即為1個單位長度。第一次操作后，在處為對折點，均勻拉長后變成1，原線段AB上的，均變成，這在題目中已有提示。第二次操作后，在線段處有兩個數(shù)和為

3、對折點，均勻拉長后這兩個數(shù)都江堰市變?yōu)?，根據(jù)題意，在第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點對應(yīng)的數(shù)為和，這樣馬上可以得出結(jié)論。解：。本題是對學(xué)生的抽象概括、空間想象能力要求較高。例2、（2009年臺州市）若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個代數(shù)式為完全對稱式，如就是完全對稱式.下列三個代數(shù)式：；其中是完全對稱式的是(A )A B C D解：由新定義“完全對稱式”知，所以是完全對稱式；若將、字母交換，則變?yōu)椋?，是完全對稱式；若將、字母交換，則變?yōu)?，不是完全對稱式。所以答案應(yīng)選擇為（A）【剖析】本題是以已學(xué)的整式的乘除、乘法公式為知識為基礎(chǔ)，對代數(shù)式的變換進行了新的定義。解答本題

4、，關(guān)鍵是要讀懂新定義中數(shù)學(xué)的本質(zhì)含義，在理解“新定義”的基礎(chǔ)上，再進行具體的代入、計算、判斷，就能把問題解決?？键c二：利用“新定義”構(gòu)建方程、函數(shù)模型例3、（2009年孝感）對于任意兩個實數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：當且僅當ac且bd時， （a，b）=（c，d）定義運算“”：（a，b）（c，d）=（acbd，adbc）若（1，2）（p，q）=（5，0），則p ，q 解：由新定義“”運算規(guī)定得：（a，b）（c，d）=（acbd，adbc），（1，2）（p，q）=， ， 解得：， 所以答案為：1，2; 【剖析】本題是以學(xué)生已學(xué)的實數(shù)運算和二元一次方程組為知識基礎(chǔ)，給出了一個新定義的運算法則，

5、學(xué)生在閱讀和理解新運算的基礎(chǔ)上，來解決與新運算有關(guān)的問題。這類試題考查了學(xué)生的邏輯推理能力，由一般到特殊地讀懂新運算的本質(zhì)，關(guān)鍵是要準確理解新符號的數(shù)學(xué)意義。例4、（2009年杭州市）某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點處，其中，當k2時，表示非負實數(shù)的整數(shù)部分，例如2.6=2，0.2=0。按此方案，第2009棵樹種植點的坐標為A.（5，2009） B.（6，2010） C.（3，401） D（4，402）解：從特殊點的坐標出發(fā)，來探求它的變化周期性，從而來得出一般性的結(jié)論。，同理可得：，得出五個數(shù)的循環(huán)。所以，所以，因此得結(jié)論?！酒饰觥勘绢}是一道探索

6、性試題，以學(xué)生已學(xué)的點的坐標和已有的探究經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對的數(shù)學(xué)符號進行了新的定義, 即：表示非負實數(shù)的整數(shù)部分。解答本題，關(guān)鍵是要讀懂新定義中“”的真正含義，先通過對特殊和簡單數(shù)的探索對折再拉長到與原線段長度相等的線段即為1個單位長度。第一次操作后，在處為對折點，均例5、（2009年義烏市）已知點A、B分別是軸、軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖像上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)圖像的其中一個伴侶正方形。（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)，求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，

7、他的圖像的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m 2）在反比例函數(shù)圖像上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)，它的圖像的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標為（3，4）.寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標 ，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式 ，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 。(本小題只需直接寫出答案)簡解：（1）如圖（1），正方形邊長為；（2）如圖（2），ADEBADCBF，解得反比例函數(shù)為；（3），對應(yīng)的函數(shù)為，?！酒饰觥勘绢}以正方形和一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)為知識基礎(chǔ)和問題背景，給出了“函數(shù)圖像的伴侶正方形”的新定義，解答本

8、題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”，看懂函數(shù)圖象。本題主要考查了全等三角形、點坐標、函數(shù)圖象等相關(guān)知識和數(shù)形結(jié)合思想的運用，考查學(xué)生綜合運用知識的能力。例6、（2009年益陽市）閱讀材料：如圖1，過ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.BC鉛垂高水平寬h a xCOyABD11解答下列問題：如圖2，拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0)，交y軸于點B.（1）求拋物線和直線AB的解析式；

9、（2）點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點，連結(jié)PA，PB，當P點運動到頂點C時，求CAB的鉛垂高CD及； （3）是否存在一點P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.簡解：解：(1) (2)CD4-22(平方單位)(3)假設(shè)存在符合條件的點P，設(shè)P點的橫坐標為x，PAB的鉛垂高為h，則鉛垂高由SPAB=SCAB，得：化簡得：，解得，將代入中，解得P點坐標為【剖析】本題以閱讀材料的形式提出了新定義：ABC的“水平寬”、“鉛垂高(h)”，從而得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.運用新定義中的新方法，可解答一類在以拋物線為背

10、景下的斜三角形的最大面積問題，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和理解運用新公式。本題主要考查學(xué)生閱讀理解能力和數(shù)形結(jié)合思想的運用。以考點三：利用“新定義”構(gòu)建四邊形、相似形模型（第23題）圖3圖2圖4FEDCBAPGHJI例7、（2009年臺州市）定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內(nèi)點如圖1，則點就是四邊形的準內(nèi)點BJIHGDCAP圖1（1）如圖2， 與的角平分線相交于點求證：點是四邊形的準內(nèi)點（2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內(nèi)點（作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明）（3）判斷下列命題的真假，在括號內(nèi)填“真”或“假” 任意凸四邊形一定存在準

11、內(nèi)點（ ）任意凸四邊形一定只有一個準內(nèi)點（ ）若是任意凸四邊形的準內(nèi)點，則或( ) 簡解：（1）如圖2，過點作， 平分， 同理 ，是四邊形的準內(nèi)點圖3（1）圖4圖3（2）（2） 平行四邊形對角線的交點就是準內(nèi)點，如圖3（1）.或者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點就是準內(nèi)點，如圖3（2）；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點就是準內(nèi)點如圖4.（3）真；真；假 【剖析】本題以四邊形、特殊四邊和角平分線的性質(zhì)為知識基礎(chǔ)，給出了“四邊形的準內(nèi)點”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和看懂幾何圖形，理解點到直線的距離和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力、邏輯推理能力和畫

12、圖操作能力。例8、（2009年紹興市）若從矩形一邊上的點到對邊的視角是直角，則稱該點為直角點例如，如圖的矩形中，點在邊上，連，則點為直角點DBCAM（例8圖）（1）若矩形一邊上的直角點為中點，問該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）若點分別為矩形邊，上的直角點，且，求的長解：（1）AB=2AD，如圖（1） 直角點M為CD邊的中點， MD=MC，AD=BC ，D=C=Rt, ADMADM，AMD=BMCAMB=Rt, AMD+BMC=90AMD=BMC=45， AD=DM，AB=2AD如圖（2），作MHAB于點H，連結(jié)MN，AMB=90，AMD+BMC=90，AMD+DAM=90，DA

13、M=BMC，又D=C，ADMMCB，既，或。當時，。當時，【剖析】本題以全等三角形、矩形和相似三角形為知識基礎(chǔ)，給出了“直角點”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和看懂幾何中的基本圖形。本題主要考查學(xué)生邏輯推理能力和分類討論思想的運用，以及解方程和計算能力。解答本題，可從不同角度和思路來解答，是一道解法多樣性的試題。例9、（2009年湖州市）若為所在平面上一點，且，則點叫做的費馬點.ACB第（25）題（1） 若點為銳角的費馬點，且，則的值為_；（2）如圖，在銳角外側(cè)作等邊連結(jié).求證：過的費馬點，且=.ACBPE例9題25（1）2.（2）證明：在上取點，使，連結(jié)，再在上截取，連結(jié)為正三角形

14、， =，為正三角形，=，=，為的費馬點，過的費馬點，且=+2分【剖析】本題有一定的難度和能力要求較高，它以特殊三角形和全等三角形為知識基礎(chǔ)，給出了“的費馬點”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和添加輔助線，并運用特殊三角形和全等三角形的有關(guān)知識來解決。本題主要考查學(xué)生邏輯推理能力和綜合運用知識的能力。新定義試題創(chuàng)設(shè)了一個全新的問題情景，通過以新帶舊的表現(xiàn)形式，來考查學(xué)生的知識和能力。在解決“新定義”中的問題時，學(xué)生不需要太多的數(shù)學(xué)知識，更多地是需要閱讀理解能力和分析綜合、推理論證能力，。因而，這類試題對學(xué)生靈活運用知識的考查可抽象到課程標準高層次水平，其命題方式也值得借鑒、研究和開發(fā)。7