《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八單元 立體幾何 第58講 立體幾何的綜合問題練習(xí) 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八單元 立體幾何 第58講 立體幾何的綜合問題練習(xí) 理(含解析)新人教A版(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第58講 立體幾何的綜合問題
1.(2017·全國卷Ⅰ)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
(1)證明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.
因?yàn)锳B∥CD,所以AB⊥PD.
又AP∩DP=P,所以AB⊥平面PAD.
因?yàn)锳B?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為點(diǎn)F.
由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,
可得PF⊥平面ABCD.
2、
以F為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,||為單位長度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.
由(1)及已知可得A(,0,0),P(0,0,),B(,1,0),C(-,1,0),
所以=(-,1,-),=(,0,0),
=(,0,-),=(0,1,0).
設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCB的一個(gè)法向量,則
即
所以可取n=(0,-1,-).
設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PAB的一個(gè)法向量,則
即
所以可取m=(1,0,1),
則cos〈n,m〉===-.
所以二面角A-PB-C的余弦值為-.
2.(2016·全國卷Ⅲ)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面A
3、BCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面PAB;
(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
(1)證明:由已知得AM=AD=2.
取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,
由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,AM=2,故TNAM,
所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT.
因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中點(diǎn)E,連接AE.
由AB=AC得AE⊥BC,從而AE⊥AD,
且AE== =.
以A為坐標(biāo)
4、原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
由題意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N(,1,2),
=(0,2,-4),=(,1,-2),=(,1,2).
設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,
則即可取n=(0,2,1).
于是|cos〈n,〉|==.
所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.
3.(2018·華南師大附中模擬)在五面體ABCDEF中,AB∥CD∥EF,AD⊥CD,∠DCF=60°,CD=EF=CF=2AB=2AD=2,平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)證明:直線CE⊥平面ADF;
(2)已知P為
5、棱BC上的點(diǎn),試確定P點(diǎn)位置,使二面角P-DF-A的大小為60°.
(1)證明:因?yàn)镃D∥EF,CD=EF=CF=2,
所以四邊形CDEF為菱形,所以CE⊥DF,
因?yàn)槠矫鍯DEF⊥平面ABCD,
平面CDEF∩平面ABCD=CD,
因?yàn)锳D⊥CD,所以AD⊥平面CDEF,
所以CE⊥AD.
又因?yàn)锳D∩DF=D,
所以直線CE⊥平面ADF.
(2)因?yàn)椤螪CF=60°,所以△DEF為正三角形,
取EF的中點(diǎn)G,連接GD,則GD⊥EF,
所以GD⊥CD,
因?yàn)槠矫鍯DEF⊥平面ABCD,GD?平面CDEF,平面CDEF∩平面ABCD=CD,
所以GD⊥平面ABCD,
6、
因?yàn)锳D⊥CD,所以DA,DC,DG兩兩垂直,
以D為原點(diǎn),DA,DC,DG所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖,
因?yàn)镃D=EF=CF=2,AB=AD=1,
所以E(0,-1,),F(xiàn)(0,1,).
由(1)知=(0,-3,)是平面ADF的一個(gè)法向量,
因?yàn)椋?0,1,),=(1,-1,0),
設(shè)=a=(a,-a,0)(0≤a≤1),
則=+=(a,2-a,0).
設(shè)平面PDF的法向量為n=(x,y,z),
因?yàn)樗?
令y=a,則x=(a-2),z=-a,
所以n=((a-2),a,-a),
因?yàn)槎娼荘-DF-A為60°,
所以|cos
7、n,|==
=,解得a=.
所以P點(diǎn)靠近B點(diǎn)的CB的三等分點(diǎn)處.
4.(2017·廣州市一模)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.
(1) 求證:AB⊥平面ADC;
(2) 若AD=1,二面角C-AB-D的平面角的正切值為,求二面角B-AD-E的余弦值.
(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD.
因?yàn)锳B?平面ABD,所以DC⊥AB.
又因?yàn)檎郫B前后均有AD
8、⊥AB,DC∩AD=D,
所以AB⊥平面ADC.
(2) 由(1)知AB⊥平面ADC,所以二面角C-AB-D的平面角為∠CAD.
又DC⊥平面ABD,AD?平面ABD,所以DC⊥AD.
依題意tan∠CAD==.
因?yàn)锳D=1,所以CD=.
設(shè)AB=x(x>0),則BD=.
依題意△ABD∽△DCB,所以=,即=.
解得x=,故AB=,BD=,BC==3.
(方法1)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則D(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),
E(,,0),A(,0,),
所以=(,,0),=(,0,).
由(1)知平面BAD的法向量n
9、=(0,1,0).
設(shè)平面ADE的法向量m=(x,y,z),
由得
令x=,得y=-,z=-,
所以m=(,-,-).
所以cosn,m==-.
由圖可知二面角B-AD-E的平面角為銳角,
所以二面角B-AD-E的余弦值為.
(方法2)因?yàn)镈C⊥平面ABD,
過點(diǎn)E作EF∥DC交BD于F,則EF⊥平面ABD.
因?yàn)锳D?平面ABD,所以EF⊥AD.
過點(diǎn)F作FG⊥AD于G,連接GE,
所以AD⊥平面EFG,因此AD⊥GE.
所以二面角B-AD-E的平面角為∠EGF.
由平面幾何知識求得EF=CD=,F(xiàn)G=AB=,
所以EG==. 所以cos ∠EGF==.
所以二面角B-AD-E的余弦值為.
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