《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題11 解三角形的技巧與解題規(guī)律（2） 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題11 解三角形的技巧與解題規(guī)律（2） 文（含解析）（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題11解三角形的技巧與解題規(guī)律(2) 一、本專題要特別小心： 1.解三角形時的分類討論（銳角鈍角之分） 2. 三角形與三角函數(shù)的綜合 3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的應用 4.三角形中的中線問題 5.三角形中的角平分性問題 6.多個三角形問題 7．三角形的綜合 二．【學習目標】 掌握三角形形狀的判斷方法；三角形有關(guān)三角函數(shù)求值，能證明與三角形內(nèi)角有關(guān)的三角恒等式 三．【方法總結(jié)】三角形中的三角函數(shù)主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化，三角形形狀判斷，三角形內(nèi)三角函數(shù)求值及三角恒等式證明等．以正弦、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實際問題考查應用．要注意根據(jù)條件的

2、特點靈活運用正弦定理或余弦定理．一般考慮從兩個方向進行變形，一個方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個方向是角，走三角變形之路，主要是利用正弦定理 四．【題型方法】 （一）四邊形中的三角形 例1. 如圖，在四邊形中，，．已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求的長． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得． 因為， 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 因為， 所以． 在中，由余弦定理， 得． 因為 所以， 即， 解得或． 又，則． 練習1. 在平面四邊形中，內(nèi)角B

3、與D互補.，.. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求四邊形的面積。 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）， 即 即， 故 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ， 四邊形的面積 （二）三角形與數(shù)列的綜合 例2.已知a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊.角A，B，C成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的周長. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）的周長為。 【解析】（Ⅰ）角A，B，C成等差數(shù)列 ，即 成等比數(shù)列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即 由余弦定理可得： 化簡得，即 因此的周長為。 練習1．已知中，角的對邊分別為． （1）若依次成等

4、差數(shù)列，且公差為2，求的值； （2）若的外接圓面積為，求周長的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）依次成等差數(shù)列，且公差為 ， ，由余弦定理得： 整理得：，解得：或 又，則 （2）設(shè)，外接圓的半徑為，則，解得： 由正弦定理可得： 可得：，， 的周長 又 當，即：時，取得最大值 （三）角的范圍問題陷阱 例3. 的內(nèi)角的對邊分別為，已知． （1）求； （2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍． 【答案】(1) ;(2). 【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得。 ，因為故或者，而根據(jù)題意，故不

5、成立，所以，又因為，代入得，所以. (2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到， 故，解得. 又應用正弦定理，， 由三角形面積公式有： . 又因,故， 故. 故的取值范圍是 練習1. 已知中，分別為角的邊，且，且 （1）求角的大??； （2）求的取值范圍. 【答案】（1）（2） 【解析】（1） 因此 （2） , 因為 因此 練習2.在中，角所對的邊分別是，且 （1）求證: 為直角三角形； （2），求的取值范圍. 【答案】(1)見詳解；(2). 【解析】（1）因為，所以， 即， 因為角為三角形內(nèi)角，所以角，故，即角，為直角， 所以為直角三角形；

6、 （2）因為， 所以，令， 由（1）可知，所以， 所以， 因此在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增； 故，，又， 所以. 故的取值范圍. （四）邊的范圍陷阱 例4. 已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，. （1）求內(nèi)角的大?。? （2）求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），， ， 即， 由余弦定理得，， 由正弦定理得，即 ， ，即， 變形得，解得， ，∴． （2），，∴由余弦定理得， 化簡得，， ， ， ， ，， ，當且僅當時等號成立， ∴的最大值為. 練習1. 已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足且． （1）求角

7、； （2）求周長L的最大值． 【答案】（1）（2）9 【解析】：（1），由正弦定理得 ， 即， 又， 所以，又，得 （2）在中，由余弦定理得， 所以， 即，所以， 當時，的周長L最大值為9． 練習2. 在中，、、分別是角、、的對邊，且. （1）求角的值； （2）若，且為銳角三角形，求的取值范圍. 【答案】(1) .(2) . 【解析】（1）由題意知，∴， 由余弦定理可知，， 又∵，∴. （2）由正弦定理可知，，即 ∴ ， 又∵為銳角三角形，∴，即， 則，所以， 綜上的取值范圍為. 練習3.在銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為，中線，滿足. （1）求

8、； （2）若，求周長的取值范圍. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）由余弦定理可得： ， 即： 由已知得： 即 又為銳角三角形 （2）由正弦定理得： ， 則的周長為： 為銳角三角形且 即的周長 練習4. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且． （1）求角的大??； （2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由題意及正弦定理得，， 所以， 因為，所以， 所以，故． （2）由正弦定理得，，所以，， 所以 ， 由得，

9、 所以，故， 所以的取值范圍為． （五）實際問題中解三角形 例5. 如圖，A，B兩點相距2千米，．甲從A點以v千米/小時的速度沿AC方向勻速直線行駛，同一時刻乙出發(fā)，經(jīng)過小時與甲相遇． （1）若v = 12千米/小時，乙從B處出發(fā)勻速直線追趕，為保證在15分鐘內(nèi)（含15分鐘）能與甲相遇，試求乙速度的最小值； （2）若乙先從A處沿射線AB方向以千米/小時勻速行進 (＜＜)小時后，再以8千米/小時的速度追趕甲，試求甲在能與乙相遇的條件下v的最大值． 【答案】(1)6.（2）。 【解析】（1）設(shè)乙速度為x千米/小時， 由題意可知， 整理得. 由于，所以 所

10、以，當即t＝時，x2取得最小值36， 即x最小值為6. 答：乙速度的最小值為6千米/小時. （2）由題意知[8(t－m)]2＝(16m)2＋(vt)2－2×16m ×vt cos30°， 兩邊同除以t2得： 設(shè), 則有192k2＋(128－16v)k＋v2－64＝0，其中k∈(0，1)， 即關(guān)于k的方程在(0，1)上有解， 則必有，解得, 當時，可得，因此v為最大值為. 答：甲的最大速度為千米/小時. 練習1. 國家邊防安全條例規(guī)定：當外輪與我國海岸線的距離小于或等于海里時，就會被警告.如圖，設(shè)，是海岸線上距離海里的兩個觀察站，滿足，一艘外輪在點滿足，.

11、（1），滿足什么關(guān)系時，就該向外輪發(fā)出警告令其退出我國海域？ （2）當時，間處于什么范圍內(nèi)可以避免使外輪進入被警告區(qū)域？ 【答案】（1）（2） 【解析】（1）設(shè)外輪到我國海岸線的距離為海里， 在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，， 當，即時，就該向外輪發(fā)出警告，令其退出我國海域. （2）當時， ， 要使不被警告，則，即， 解得，所以， 即，又因為，所以. 當時可以避免使外輪進入被警告區(qū)域. （六）三角形與向量數(shù)列的綜合問題 例6. 設(shè)的三內(nèi)角、、的對邊長分別為、、，已知、、成等比數(shù)列，且. （I）求角的大?。? （Ⅱ）設(shè)向量，，當取最小值時，判斷

12、的形狀. 【答案】（I）；（Ⅱ）為銳角三角形. 【解析】（I）因為、、成等比數(shù)列，則.由正弦定理得. 又，所以·因為，則. 因為，所以或. 又，則，當且僅當a=c等號成立，即故. （Ⅱ）因為， 所以.所以當時，取得最小值.此時，于是. 又，從而為銳角三角形. 練習1. ．已知，設(shè)． （1）求的最小正周期； （2）在△ABC中，已知A為銳角，，BC=4，AB=3，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 所以 ，的最小正周期為 （2）因為，所以，由正弦定理得： ， = 練習2. 已知在中，角，，成等差數(shù)列，且． （1）求角，，的大

13、??； （2）設(shè)數(shù)列滿足，前項和為，若，求的值． 【答案】(1)；； (2) 或． 【解析】（1）由已知角，，成等差數(shù)列，可得，又，所以，又由，所以，所以， 所以為直角三角形，； （2） 所以，由 ． 解得，所以，所以或． 練習3.已知中，，，邊上一點滿足，. (I)證明：為的內(nèi)角平分線； (Ⅱ)若，求. 【答案】(Ⅰ)見解析.（Ⅱ）. 【解析】（I）因為 所以， 又因為，，所以， 所以為的內(nèi)角平分線. （方法二：提示：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合菱形對角線平分內(nèi)角可以證得） （Ⅱ）中，，中，， ∵，，， ∴， 中，， 中，， ∴，. 16