《2020屆高考數(shù)學大二輪復習 刷題首選卷 第一部分 刷考點 考點十一 等差數(shù)列與等比數(shù)列 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020屆高考數(shù)學大二輪復習 刷題首選卷 第一部分 刷考點 考點十一 等差數(shù)列與等比數(shù)列 理(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點十一 等差數(shù)列與等比數(shù)列
一、選擇題
1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a3=-4,a7=-16,則a5=( )
A.-8 B.8
C.±8 D.±4
答案 A
解析 由=q4得q4=4,則q2=2,所以a5=a3·q2=-4×2=-8,故選A.
2.已知正項數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,2a=a+a,則a6=( )
A.16 B.8
C.4 D.2
答案 C
解析 由2a=a+a知,數(shù)列{a}是等差數(shù)列,前兩項為1,4,所以公差d=3,故a=1+5×3=16,所以a6=4,故選C.
3.在數(shù)列{an}中,“an=2an-1,n=2,3,4,…”是
2、“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 B
解析 若an=2an-1,n=2,3,4,…,則此數(shù)列可以為0,0,0,0,0,…,此時{an}不是等比數(shù)列;若{an}是公比為2的等比數(shù)列,則由等比數(shù)列的定義可知an=2an-1,n=2,3,4,….故選B.
4.(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則( )
A.a(chǎn)n=2n-5 B.a(chǎn)n=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
答案 A
解析 設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公
3、差為d.由S4=0,a5=5可得解得所以an=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=n×(-3)+×2=n2-4n.故選A.
5.(2019·湖南六校聯(lián)考)已知公差d≠0的等差數(shù)列{an}滿足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比數(shù)列,若正整數(shù)m,n滿足m-n=10,則am-an=( )
A.10 B.20
C.30 D.5或40
答案 C
解析 由題知(a4-2)2=a2a6,因為{an}為等差數(shù)列,所以(3d-1)2=(1+d)(1+5d),因為d≠0,解得d=3,從而am-an=(m-n)d=30,故選C.
6.(2019·河南百校聯(lián)盟仿真試卷)已知等差數(shù)列{an}滿足a1=
4、32,a2+a3=40,則{|an|}的前12項和為( )
A.-144 B.80
C.144 D.304
答案 D
解析 a2+a3=2a1+3d=64+3d=40?d=-8,所以an=40-8n.所以|an|=|40-8n|=所以前12項和為+=80+224=304.
7.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn(a,b∈R)且a2=3,a6=11,則S7等于( )
A.13 B.49
C.35 D.63
答案 B
解析 由Sn=an2+bn(a,b∈R)可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以S7====49.選B.
8.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=
5、-11,a4+a6=-6,則當Sn取最小值時,n等于( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案 A
解析 由a4+a6=2a5=-6得a5=-3,則公差為=2,所以由an=-11+(n-1)×2=2n-13≤0得n≤,所以前6項和最小,選A.
二、填空題
9.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=2,則=________.
答案
解析 設等差數(shù)列{an}的公差為d,=2,即a3+3d=2a3,a3=3d,====.
10.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=,S3=,則公比q=________.
答案 1或-
解析 因為所以即即=2,所以2q2-q-1=0
6、,解得q=1或q=-.
11.(2019·廣東廣州天河區(qū)綜合測試一)在等差數(shù)列{an}中,首項a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+a3+…+a20,則m=________.
答案 191
解析 等差數(shù)列{an}中,首項a1=0,公差d≠0,am=a1+a2+a3+…+a20,則am=d+2d+…+19d=d=190d=a191,m=191.
12.(2019·河南新鄉(xiāng)第一次模擬)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=1,(n+1)an+1=(n-1)Sn,則Sn=________.
答案
解析 ∵(n+1)an+1=(n-1)Sn,∴nan+1+Sn+1=nSn,∴n(S
7、n+1-Sn)+Sn+1=nSn,∴=2,∴{nSn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,則nSn=2n-1,∴Sn=.
三、解答題
13.(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通項公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍.
解 (1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,
根據(jù)題意有
解得
所以an=8+(n-1)×(-2)=-2n+10.
(2)由(1)知a5=0,即a5=a1+4d=0,即a1=-4d,
又a1>0,所以d<0,
由Sn≥an得na1+d≥a1+(n-1)d,
整
8、理得(n2-9n)d≥(2n-10)d,
因為d<0,所以n2-9n≤2n-10,
即n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10,
所以n的取值范圍是1≤n≤10(n∈N*).
14.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,前n項和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,b2=2,a1b3=12,S3+b1=19.
(1)求{an},{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bncos(anπ)}的前n項和Tn.
解 (1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,
∴S3+b1=3a2+b1=18+b1=19,∴b1=1,
∵b2=2,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,∴bn=2n-1.
∴b3=4,∵a1b
9、3=12,∴a1=3,
∵a2=6,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
∴an=3n.
(2)由(1)得,令Cn=bncos(anπ)=(-1)n2n-1,
∴Cn+1=(-1)n+12n,
∴=-2,又C1=-1,
∴數(shù)列{bncos(anπ)}是以-1為首項、-2為公比的等比數(shù)列,
∴Tn==-[1-(-2)n]=.
一、選擇題
1.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2n+1+λ,則λ=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案 A
解析 解法一:a2=S2-S1=23-22=4,a3=S3-S2=24-23=8,
所以a1==2,所以S1=22+λ
10、=2,故λ=-2.
解法二:Sn=2n+1+λ=2·2n+λ,根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式的結構知λ=-2.
2.《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾.初日織五尺,今一月日織九匹三丈.”其意思為今有女子善織布,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第一天織5尺布,現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布.則該女最后一天織多少尺布?( )
A.18 B.20
C.21 D.25
答案 C
解析 依題意得,織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個等差數(shù)列,設為{an},其中a1=5,前30項和為390,于是有=390,解得a30=21,即該織女最后一天織21尺布,選C.
11、
3.若等比數(shù)列的前n項和,前2n項和,前3n項和分別為A,B,C,則( )
A.A+B=C B.B2=AC
C.A+B-C=B3 D.A2+B2=A(B+C)
答案 D
解析 由等比數(shù)列的性質可知,當公比q≠-1時,A,B-A,C-B成等比數(shù)列,所以(B-A)2=A(C-B),所以A2+B2=AC+AB=A(B+C),當q=-1時,易驗證此等式成立,故選D.
4.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=4,S5≥S4≥S6,則公差d的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因為S5≥S4≥S6,所以S4+a5≥S4≥S4+a5+a6,所以a5≥0≥
12、a5+a6,又a1=4,所以解得-1≤d≤-.
5.數(shù)列{an}中,已知對任意自然數(shù)n,a1+a2+…+an=2n-1,則a+a+…+a等于( )
A.(2n-1)2 B.(2n-1)
C.4n-1 D.(4n-1)
答案 D
解析 當n=1時,a1=2-1=1;當n≥2,n∈N*時,an=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,n=1時也符合,所以an=2n-1(n∈N*).所以a=4n-1(n∈N*)也是等比數(shù)列,所以a+a+…+a=1+4+42+…+4n-1==,故選D.
6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,r,s,t為正整數(shù),則“r+t=2s”是“ar+at=2as”的(
13、 )
A.充要條件 B.必要不充分條件
C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 C
解析 設{an}的公差為d,由ar+at=2as得(r+t-2)d=(2s-2)d,即r+t=2s或d=0,則“r+t=2s”是“r+t=2s或d=0”的充分不必要條件.故選C.
7.已知在公比不為1的等比數(shù)列{an}中,a2a4=9,且2a3為3a2和a4的等差中項,設數(shù)列{an}的前n項積為Tn,則T8=( )
A.×37- B.310
C.318 D.320
答案 D
解析 由題意,得a=9,設等比數(shù)列的公比為q,由2a3為3a2和a4的等差中項,得3·+a3q=4·a3,
14、由公比不為1,解得q=3,所以T8=a1·a2·…·a8=aq28=aq16·q12=(a1q2)8·q12=(a)4q12=94×312=320.
8.已知正項數(shù)列{an}滿足a-2a-an+1an=0,設bn=log2,則數(shù)列{bn}的前n項和為( )
A.n B.
C. D.
答案 C
解析 因為a-2a-an+1an=0,所以(an+1+an)·(2an-an+1)=0,又因為an>0,所以2an-an+1=0,即=2,所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,==2n,所以bn=log2=log22n=n,所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn=1+2+3+…+n=.
二、填空題
15、
9.(2019·江西撫州七校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S10=10,S30=30,則S20=________.
答案 20
解析 因為等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,所以S10,S20-S10,S30-S20成等比數(shù)列,因為S10=10,S30=30,所以(S20-10)2=10×(30-S20),解得S20=20或S20=-10,因為S20-S10=q10S10>0,所以S20>0,則S20=20.
10.(2019·廣東深圳適應性考試)等差數(shù)列{an}中,a4=10且a3,a6,a10成等比數(shù)列,數(shù)列{an}的前20項和S20=________.
答案 200或
16、330
解析 設數(shù)列{an}的公差為d,則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d,又a3a10=a,即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.當d=0時,S20=20a4=200;當d=1時,a1=a4-3d=10-3×1=7,于是,S20=20a1+d=20×7+190=330.
11.(2019·河北唐山質檢)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________.
答案?。?
解析 由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,兩邊同時除以
17、Sn+1Sn,得-=-1,故數(shù)列是以-1為首項,-1為公差的等差數(shù)列,則=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.
12.(2019·山東德州第一次考試)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,an≠0,3Sn=anan+1+1,則a2019=________.
答案 3028
解析 數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,3Sn=anan+1+1 ①,當n=1時,整理得3S1=3a1=a1·a2+1,解得a2=2,當n≥2時,3Sn-1=an-1·an+1 ②,①-②得,3an=an(an+1-an-1),由于an≠0,故an+1-an-1=3(常數(shù)),故數(shù)列{an}的奇數(shù)項為首項為
18、1,公差為3的等差數(shù)列,則an=1+3.數(shù)列{an}的偶數(shù)項為首項為2,公差為3的等差數(shù)列,an=2+3,所以a2019=1+3=3028.
三、解答題
13.(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記Sn為{an}的前n項和,若Sm=63,求m.
解 (1)設{an}的公比為q,由題設得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,則Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.
若a
19、n=2n-1,則Sn=2n-1.
由Sm=63得2m=64,解得m=6.
綜上,m=6.
14.(2019·全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}和{bn}的通項公式.
解 (1)證明:由題設得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),
即an+1+bn+1=(an+bn).又因為a1+b1=1,
所以{an+bn}是首項為1,公比為的等比數(shù)列.
由題設得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,
即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因為a1-b1=1,所以{an-bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.
(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1,
所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,
bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.
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