《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)40 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)40 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 理（含解析）新人教A版（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、課后限時(shí)集訓(xùn)(四十)　直線、平面垂直的判定與性質(zhì) (建議用時(shí)：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則(　　) A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直 B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直 D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 C　[如圖，在平面β內(nèi)的直線若與α，β的交線a平行，則有m與之垂直．但卻不一定在β內(nèi)有與m平行的直線，只有當(dāng)α⊥β時(shí)才存在．故選C.] 2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的是(　　)

2、 A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β D　[若α⊥β，m?α，n?β，則m與n可能平行，故A錯(cuò)； 若α∥β，m?α，n?β，則m與n可能平行，也可能異面， 故B錯(cuò)；若m⊥n，m?α，n?β則α與β可能相交，也可能平行，故C錯(cuò)；對于D項(xiàng)，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D項(xiàng)正確．] 3．(2017·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(　　) A．A1E⊥DC1　　 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1

3、 D．A1E⊥AC C　[如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴選項(xiàng)B，D錯(cuò)誤； ∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故選項(xiàng)C正確； (證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1) ∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤． 故選C.] 4．(2019·長春質(zhì)檢)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為(　　)

4、 A．1 B. C. D. D　[如圖所示：連接A1D，AD1交于點(diǎn)O，連接OC1， 在正方體中，∵AB⊥平面AD1， ∴AB⊥A1D. 又A1D⊥AD1，且AD1∩AB＝A， ∴A1D⊥平面AD1C1B， 又OC1?平面AD1C1B， ∴A1D⊥OC1， 所以∠A1C1O即為所求角， 在Rt△A1C1O中，sin∠A1C1O＝， 所以A1C1與平面ABC1D1所成角的正弦值為，故選D.] 5.如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC

5、⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE C　[因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C.] 二、填空題 6．如圖所示，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線是________；與AP垂直的直線是________． AB，BC，AC　AB　[∵PC⊥平面ABC， ∴PC垂直于直線AB，BC，AC. ∵AB⊥AC，AB

6、⊥PC，AC∩PC＝C， ∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥AP，故與AP垂直的直線是AB.] 7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) DM⊥PC(或BM⊥PC)　[連接AC，BD，則AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD. 而PC?平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD.] 8．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐

7、的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________． 40π　[如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.△SAB的面積為·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，∴SA2＝80，SA＝4.∵SA與底面所成的角為45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝4×＝2.∴底面周長l＝2π·AS′＝4π， ∴圓錐的側(cè)面積為×4×4π＝40π.] 三、解答題 9．(2018·江蘇高考)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求證：(1)

8、AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. [證明]　(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因?yàn)锳B?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形． 又因?yàn)锳A1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B. 又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC. 又因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因?yàn)锳B1?平面ABB1A1， 所以平面ABB1A

9、1⊥平面A1BC. 10.(2019·遼寧五校聯(lián)考)如圖所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA＝90°，且ED＝AD＝2AB＝2AF. (1)證明：平面ABE⊥平面EBD； (2)若三棱錐A-BDE的外接球的體積為，求三棱錐A-BEF的體積． [解]　(1)證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD， 平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD， ∵AB?平面ABCD，∴AB⊥ED， 設(shè)AD＝2a，則AB＝a，又∠BAD＝60°，∴AB⊥BD. 又BD∩ED＝D，BD?平面EBD，

10、ED?平面EBD， ∴AB⊥平面EBD， 又AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面EBD. (2)由(1)得AD⊥DE，AB⊥BE， ∴三棱錐A-BDE的外接球的球心為線段AE的中點(diǎn)． ∴·π·3＝，解得AE＝2，則AD＝ED＝2，AB＝AF＝1， ∴VA-BEF＝VB-AEF＝××1×2×＝. B組　能力提升 1.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC的內(nèi)部 A　[連接AC1(圖略)，因?yàn)锳C⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，

11、所以AC⊥平面ABC1，又AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，故選A.] 2.如圖，四棱錐P-ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結(jié)論不一定成立的是(　　) A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD B　[如圖，對于選項(xiàng)A，取PB的中點(diǎn)O，連接AO，CO. ∵在四棱錐P-ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB， ∵AO∩CO＝O.∴PB⊥平面AOC， ∵AC?平面AO

12、C，∴PB⊥AC，故選項(xiàng)A正確； 對于選項(xiàng)B，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)M，易知M為AC的中點(diǎn)，若PD⊥平面ABCD，則PD⊥BD，由已知條件知點(diǎn)D滿足AC⊥BD且位于BM的延長線上，∴點(diǎn)D的位置不確定，∴PD與BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故選項(xiàng)B不正確； 對于選項(xiàng)C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD， ∵PD?平面PBD，∴AC⊥PD，故選項(xiàng)C正確； 對于選項(xiàng)D，∵AC⊥平面PBD，AC?平面ABCD， ∴平面PBD⊥平面ABCD，故選項(xiàng)D正確．故選B.] 3．如圖所示，在正方形ABCD中，AC為對角線，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是E

13、F的中點(diǎn)．現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H.下列說法錯(cuò)誤的是________(將符合題意的序號(hào)填到橫線上)． ①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面． ①③④　[根據(jù)折疊前AB⊥BE，AD⊥DF可得折疊后AH⊥HE，AH⊥HF，可得AH⊥平面EFH，即②正確；∵過點(diǎn)A只有一條直線與平面EFH垂直，∴①不正確；∵AG⊥EF，AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF，過H作直線垂直于平面AEF，該直線一定在平面HAG內(nèi)，∴③不正確；∵HG不垂直AG，∴H

14、G⊥平面AEF不正確，④不正確，綜上，說法錯(cuò)誤的是①③④.] 4.如圖，在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，點(diǎn)E在A1D上． (1)證明：AA1⊥平面ABCD； (2)當(dāng)為何值時(shí)，A1B∥平面EAC，并求出此時(shí)直線A1B與平面EAC之間的距離． [解]　(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠ABC＝60°， 所以AB＝AD＝AC＝2， 在△AA1B中， 由AA＋AB2＝A1B2，知AA1⊥AB， 同理AA1⊥AD，又AB∩AD＝A， 所以AA1⊥平面ABCD. (2)當(dāng)＝1時(shí)，A1B∥平面EAC.證明如

15、下： 如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，當(dāng)＝1，即點(diǎn)E為A1D的中點(diǎn)時(shí)，連接OE，則OE∥A1B，又A1B?平面EAC，所以A1B∥平面EAC. 直線A1B與平面EAC之間的距離等于點(diǎn)A1到平面EAC的距離，因?yàn)镋為A1D的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A1到平面EAC的距離等于點(diǎn)D到平面EAC的距離，VD-EAC＝VE-ACD，設(shè)AD的中點(diǎn)為F，連接EF，則EF∥AA1，且EF＝1，所以EF⊥平面ACD，又△ACD為邊長為2的等邊三角形，所以可求得S△ACD＝，所以VE-ACD＝×1×＝. 又AE＝，AC＝2，CE＝＝2，所以S△EAC＝，所以S△EAC·d＝(d表示點(diǎn)D到平面EAC的距離)，解得d＝，所以直線A1B與平面EAC之間的距離為. - 6 -