《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題08 正弦定理與余弦定理 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題08 正弦定理與余弦定理 文（含解析）（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題08正弦定理與余弦定理 一、本專題要特別小心： 1.解三角形時(shí)的分類討論（銳角鈍角之分） 2. 邊角互化的選取 3. 正余弦定理的選取 4.三角形中的中線問(wèn)題 5.三角形中的角平分性問(wèn)題 6.多個(gè)三角形問(wèn)題 二．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 掌握正、余弦定理，能利用這兩個(gè)定理及面積計(jì)算公式解斜三角形，培養(yǎng)運(yùn)算求解能力． 三．【方法總結(jié)】 1.利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題： (1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角). 2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角

2、的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 3.已知三角形兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，利用正弦定理求解時(shí)，要注意判斷三角形解的情況(存在兩解、一解和無(wú)解三種可能).而解的情況確定的一般方法是“大邊對(duì)大角且三角形鈍角至多一個(gè)”. 4.利用余弦定理，可以解決以下三類有關(guān)三角形的問(wèn)題： (1)已知三邊，求三個(gè)角； (2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其余角； (3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他邊和角. (4)由余弦值確定角的大小時(shí)，一定要依據(jù)角的范圍及函數(shù)值的正負(fù)確定. 四．【題型方法】} （一）正弦定理辨析三角形 例1．已知數(shù)列的前項(xiàng)

3、和 （1）若三角形的三邊長(zhǎng)分別為，求此三角形的面積； （2）探究數(shù)列中是否存在相鄰的三項(xiàng),同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： ①此三項(xiàng)可作為三角形三邊的長(zhǎng)； ②此三項(xiàng)構(gòu)成的三角形最大角是最小角的2倍．若存在，找出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】（1）（2）見解析 【解析】解：數(shù)列的前n項(xiàng)和． 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 又時(shí)，，所以， 不妨設(shè)三邊長(zhǎng)為，，， 所以 所以 假設(shè)數(shù)列存在相鄰的三項(xiàng)滿足條件，因?yàn)椋? 設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別是n，，，，三個(gè)角分別是，， 由正弦定理：，所以 由余弦定理：， 即? 化簡(jiǎn)得：，所以：或舍去? 當(dāng)時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6，可以驗(yàn)

4、證此三角形的最大角是最小角的2倍． 所以數(shù)列中存在相鄰的三項(xiàng)4，5，6，滿足條件. 練習(xí)1．以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯(cuò)誤的是 A．在 中， B．在 中，若，則 C．在 中，若 ，則 ； D．在 中， 【答案】B 【解析】在 中，; 在 中，若，則 或，即或； 在 中，若 ，則 ； 在 中，, 選B. 練習(xí)2．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則的值為（　?。? A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】根據(jù)正弦定理可得 故選D. （二）正弦定理解三角形 例2在中，，，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，已知且，則的最

5、小值為_____． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴，∵， ∴，∴， 由正弦定理可得，即， 當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，則的最小值為． 故答案為：. 練習(xí)1．的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則( ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?，? 由正弦定理，可得， 所以或；且都滿足. 故選C 練習(xí)2．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則角的大小為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，兩邊平方可得： ，即： 又，，由正弦定理得：解得： 本題正確選項(xiàng)： 練習(xí)3.在△ABC中，已知

6、a≠b，。則內(nèi)角C=_______，式子的取值范圍是________。 【答案】 【解析】由，得，化簡(jiǎn)得，由正弦定理得，即，由于，故.所以，且，故，由于，且,故，所以. （三）利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù) 例3. 在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】選項(xiàng):因?yàn)椋?，三角形的三個(gè)角是確定的值，故只有一解； 選項(xiàng):由正弦定理可知,即，所有角有兩解； 選項(xiàng):由正弦定理可知,即，所以角有兩解； 選項(xiàng):由正弦定理可知,即,所以角僅有一解， 綜上所述，故選BC。 練習(xí)1．在中，，則此三

7、角形有（ ） A．無(wú)解 B．兩解 C．兩解 D．不確定 【答案】B 【解析】由題意，知，所以，，所以， 由正弦定理，得，即， 當(dāng)時(shí)，為銳角；當(dāng)時(shí)，為鈍角， 則此三角形有兩解． 故選：B． 練習(xí)2．在中，已知，如果有兩組解，則的取值范圍是( 　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，則，解得.故選A. 練習(xí)3．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，為使此三角形有兩個(gè)，則滿足的條件是（　?。? A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】C到AB的距離d=bsinA=3，∴當(dāng)3＜a＜2時(shí)，符合條件的三角形有兩個(gè)， 故選C． （四）三角形的外接圓問(wèn)

8、題 例4.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，則外接圓半徑的大小是（　?。? A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】△ABC中，面積為S=sinAsinBsinC， 即absinC=sinAsinBsinC，∴ab=sinAsinB；∴=；由正弦定理得=， ∴=；設(shè)=t，則t＞0，∴t=，解得t=1； 設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則2R=1，解得R=． 故選：B． 練習(xí)1．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的外接圓面積為　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得? 化簡(jiǎn)，在三角形ABC中， 可得 所以外接圓面積 故選D 練習(xí)2.

9、 曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為，則外接圓面積的最小值為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（）， 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為． 則直線l方程為，即， 可求直線l與y＝x的交點(diǎn)為A（），與y軸的交點(diǎn)為， 在△OAB中，， 當(dāng)且僅當(dāng)2＝2時(shí)取等號(hào)． 由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為， 則△OAB外接圓面積， 故選：C． 練習(xí)3．如圖，已知函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，直線交的圖象于另一點(diǎn)，是的重心.則的外接圓的半徑為 A．2 B． C． D．8 【答案】B 【解析】∵是的重心，，∴，∴點(diǎn)的坐

10、標(biāo)為， ∴函數(shù)的最小正周期為，∴， ∴．由題意得， 又，∴，∴，令得， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，故，∴． 又點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴． 設(shè)的外接圓的半徑為，則，∴． 故選B． （五）余弦定理應(yīng)用 例5. 中，角的對(duì)邊分別為，且，，則面積的最大值為（　?。? A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】∵， 由正弦定理得， 即； 由余弦定理得， 結(jié)合，得； 又， 由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立， ∴，即面積的最大值為． 故選：A． 練習(xí)1. 在△ABC中，≤，則∠A的取值范圍是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依題意，故，

11、故選C. 練習(xí)2．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知不等式恒成立，則當(dāng)實(shí)數(shù)取得最大值時(shí)，的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)（此時(shí)）取得最小值4， ∴，∴， ∴， 因?yàn)?，所以，代入化?jiǎn)得， 令，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，∴，即， ∴. 故選B. （六）正余弦定理綜合 例6. 已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且 （1）求； （2）若，求面積的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） 由正弦定理可得： 由余弦定理可得： （2）由余弦定理可得：，即： （當(dāng)且

12、僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） ∴，即面積的最大值為： 練習(xí)1. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若. （1）若，求； （2）若且，求的面積. 【答案】（1）；（2）2. 【解析】， 由正弦定理可得， （1）由余弦定理，可得； （2），由勾股定理可得， . 練習(xí)2.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且. （1）求的值； （2）若，，求的面積. 【答案】(1)3.(2) . 【解析】（1）因?yàn)椋? 所以， 即， 因?yàn)?，所以，? （2）因?yàn)?，所以，即? 由余弦定理可得， 因?yàn)?，所以? 解得， 因?yàn)椋? 故的面積為。 練習(xí)3.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)． （1）求

13、A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1） 即： 由正弦定理可得： （2），由正弦定理得： 又， 整理可得： 解得：或 因?yàn)樗裕? （2）法二：，由正弦定理得： 又， 整理可得：，即 由，所以 . （七）三角形形狀 例7. 在中，若，則的形狀是( )． A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 【答案】C 【解析】由正弦定理可知： ，可知為鈍角三角形 本題正確選項(xiàng)： 練習(xí)1．若的三個(gè)內(nèi)角滿足,則（ ） A．一定是銳

14、角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是鈍角三角形 D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形 【答案】C 【解析】設(shè)，，，可知為的最大角 ，可知為鈍角三角形 本題正確選項(xiàng)： （八）三角形面積問(wèn)題 例8. 若的面積為，且為鈍角，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意得又，∴,化簡(jiǎn)得,，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故本題選A. 練習(xí)1．在中,角所對(duì)的邊分別為,若,且 ，則的面積為_______. 【答案】 【解析】因?yàn)?，由余弦定理可? ， 化簡(jiǎn)得，即，因?yàn)?，所以? 又因?yàn)?，代入，? 解得（舍去）， 所以. 練習(xí)2. 在中，角的對(duì)邊分別為，若，且的面積，則的最小值為_______ 【答案】3 【解析】 因?yàn)椋? 而， 代入上式化簡(jiǎn)得： 所以，因?yàn)?，所以? 因?yàn)?，所以得? 因?yàn)椋? 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以的最小值為3. 練習(xí)3.設(shè)向量，，在中分別為角A,B,C的對(duì)邊，且. （1）求角； （2）若，邊長(zhǎng)，求的周長(zhǎng)和面積的值. 【答案】（1） （2）周長(zhǎng)為6，面積 【解析】（1）由已知可得：,即， ， （2）由題意可知， 由余弦定理可知，，則即，故周長(zhǎng)為，面積 16