《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題10 解三角形的技巧與解題規(guī)律（1） 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題10 解三角形的技巧與解題規(guī)律（1） 文（含解析）（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題10解三角形的技巧與解題規(guī)律(1) 一、本專題要特別小心： 1.解三角形時的分類討論（銳角鈍角之分） 2. 三角形與三角函數(shù)的綜合 3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的應用 4.三角形中的中線問題 5.三角形中的角平分性問題 6.多個三角形問題 7．三角形的綜合 二．【學習目標】 掌握三角形形狀的判斷方法；三角形有關三角函數(shù)求值，能證明與三角形內角有關的三角恒等式 三．【方法總結】三角形中的三角函數(shù)主要涉及三角形的邊角轉化，三角形形狀判斷，三角形內三角函數(shù)求值及三角恒等式證明等．以正弦、余弦定理為知識框架，以三角形為主要依托，結合實際問題考查應用．要注意根據(jù)條件的

2、特點靈活運用正弦定理或余弦定理．一般考慮從兩個方向進行變形，一個方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結合使用；另一個方向是角，走三角變形之路，主要是利用正弦定理 四．【題型方法】 （一）多個三角形問題 例1. 在四邊形中，，，，，. （1）求的大??； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，由余弦定理，得： 由，，得： （2） 由（1）得： 在中，由正弦定理得： 練習1．在中，角的對邊分別為，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若為邊上的點，并且，求． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可

3、得：， 即， 整理得，解得或（舍） 所以． （Ⅱ）在中，由正弦定理， 可得．又因為，所以．所以． 所以． 練習2. 已知中，內角所對的邊分別為，若，點在邊上，，且，則_____． 【答案】 【解析】如圖： ∵及，∴． 又， ∴的面積，的面積， 由可得，即，所以①， 由的面積，得，即②， 由①②解得， ∴．故答案為：． 練習3．在中，角，，的對邊分別為，，.已知，，的面積為 （Ⅰ）求邊； （Ⅱ）為邊上一點，若，求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得. 則，所以. 所以， 得. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，. 所以，因為，

4、所以. 同理，又由得. 所以 . 在中，由正弦定理得，所以. （二）中線長問題 例2. 已知在中，，，分別為角，，的對應邊，點為邊的中點，的面積為. （I）求的值； （II）若，，求. 【答案】（I）；（II） 【解析】（I）由的面積為且為的中點可知：的面積為， 由三角形的面積公式可知， 由正弦定理可得，所以. （II）因為，所以在中，由正弦定理可得， 所以，由（1）可知， 所以，，∵，∴， 在直角中，，所以，. ∵，， 在中用余弦定理，可得 練習1. 在中，，且. （1）求邊長； （2）求邊上中線的長. 【答案】（1）；（2）.

5、【解析】（1）， ，由正弦定理可知中： （2）由余弦定理可知： ，是的中點，故，在中，由余弦定理可知： 練習2. 在中，，且. （1）求邊長； （2）求邊上中線的長. 【答案】（1）；（2）. 【解析】分析;（1）利用同角的三角函數(shù)關系，可以求出的值，利用三角形內角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出長； （2）利用余弦定理可以求出的長，進而可以求出的長，然后在中，再利用余弦定理求出邊上中線的長. 【詳解】（1）， ，由正弦定理可知中： （2）由余弦定理可知： ，是的中點，故，在中，由余弦定理可知： 練習3. 在中，內角的對邊分

6、別為，已知，. （1）求角； （2）若是上的中線，延長至點，使得，求兩點的距離. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，由及正弦定理得 ，因為， 化簡得，即 ， 因為 ，所以 （2）由余弦定理得 所以 ，故 ,即是直角三角形. 由（1）知是等邊三角形，且 ，所以 在中， ,故兩點的距離為 . 故答案為 （三）角平分線問題 例3. 在中，角的對邊分別為，若，，. （1）求； （2）已知點在邊上，且平分，求的面積. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，，得， 所以， 由正弦定理，可得. （2）， 在中

7、，由余弦定理，得， 解得或（舍去）. ， 因為， 所以. 練習1. 在中，， (1)求的值； (2)設的平分線與交于，若，求的長. 【答案】（1）（2） 【解析】(1)由，得，又由,所以， 所以. (2) 在直角中，，，所以， 在中， 由正弦定理得，，所以. 練習2. 在中，，，為的內角平分線，. （Ⅰ）求的值 （Ⅱ）求角的大小 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得： 在三角形ACD中,由正弦定理得： 因為 （Ⅱ）在三角形ABD中, 由余弦定理得 在三角形ACD中, 由余弦定理得 又解得 又 練習3

8、.已知的三個角所對的邊分別為，面積為為.若且 （1）求角； （2）設為的中點，且的平分線交于點，求線段的長. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 解得， （2）由（1）知 所以 在中，因為為的中點, 所以 因為，所以，所以 又解得或 所以 因為為角平分線， 所以或2 所以或 （四）構造方程法 例4. 中，，的角平分線交于點. （1）求的長； （2）求的長度. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）設， 又， 由余弦定理得：，解得： ， （2）如下圖所示： 在中，由正弦定理得： 在中，由正弦定理，得：

9、 又 ， 在中，由余弦定理得： 練習1. 已知△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a、b、c，且2acosC=2b-c． （1）求角A的大小； （2）若AB=3，AC邊上的中線SD的長為，求△ABC的面積． 【答案】（1）A=；（2）6 【解析】（1）∵2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinC=sinB， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC． ∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=， ∴由A（0，π），可得角A=； （2）在△ABD中，AB=3，BD=，cosA=， 由余弦定理可

10、得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4（負值舍去）， ∵BD為AC邊上的中線，∴D為AC的中點，∴AC=2AD=8， ∴S△ABC=AB?AC?sinA==6． （五）未知邊角互代 例5. 在，，，點為內一點，，. （1）求； （2）求的面積. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）設,則， ，即 得，，即 （2）中，，， 練習1. ．在△中，內角，，的對邊分別為，，，，． （1）若△的面積為，求； （2）若點為線段的中點，，求． 【答案】（1）（2）． 【解析】（1）因為， 由正弦定理可得，， 得， ，即， 因為，所以

11、，所以， 因為，因為，所以， 所以，所以． 在△中，， 所以． （2）因為，所以，又，所以． 記，， 在直角△中， 在△中，，所以，所以， 又，因此 （六）三角形綜合題 例6. ．如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形，由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設. （1）用表示線段； （2）設，，求關于的函數(shù)解析式； （3）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時的大小. 【答案】（1），（2），（3）時，取得最大值 【解析】（1）由題意可得： ， （2）由（1）得： 兩邊平方并化簡得： 又 ， （3）

12、 ， 令 則 又在上單調遞增 當，即時，取得最大值 練習1. 已知函數(shù) (Ⅰ)求在上的單調遞增區(qū)間； (Ⅱ)在中，分別是角的對邊，為銳角，若， 且的面積為，求的最小值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ) ， 由可得：. 設， 則，故在上的單調遞增區(qū)間為. (Ⅱ)由可得：， 化簡可得：，又，解得：. 由題意可得：，解得：. ，當且僅當時等號成立. 故的最小值為. 練習2. 已知的面積為，且且 （1）求角的大小； （2）設為的中點，且，的平分線交于，求線段的長度。 【答案】（1）（2） 【解析】（1） 又，即 又 （2）如下圖所示： 在中，為中線 由（1）知： 又 ， 由余弦定理可得： 又 ，又 16