《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題16 三角形的五心與向量 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題16 三角形的五心與向量 文（含解析）（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題15 三角形的五心與向量 一【知識(shí)點(diǎn)】 1.三角形的重心：三角形各邊中線的交點(diǎn) 2. 三角形的垂心：三角形各邊高線的交點(diǎn) 3. 三角形的內(nèi)心：三角形各個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 4. 三角形的外心：三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn) 5. 三角形的中心：正三角形四心合一為中心 二．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解三角形五心的概念． 2．掌握五心的向量表示． 3．掌握五心的向量表示的軌跡問題． 三．【題型方法】 （一）三角形的內(nèi)心 例1. 是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，則的軌跡一定通過的(　 　) A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【解析】、分別

2、表示向量、方向上的單位向量 的方向與的角平分線一致 又， 向量的方向與的角平分線一致 一定通過的內(nèi)心 故選：． 練習(xí)1. 已知滿足，，則為( ) A．頂角為的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一個(gè)內(nèi)角為的直角三角形 D．等邊三角形 【答案】D 【解析】設(shè)，則，而，所以是的角平分線，又，所以為等腰三角形， ，所以是等邊三角形. 練習(xí)2.O是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，A,B，C是平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則P點(diǎn)的軌跡一定通過三角形ABC的（ ） A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】∵、分別表示向量、方向上的單位

3、向量， ∴的方向與∠BAC的角平分線重合， 又∵可得到λ（） ∴向量的方向與∠BAC的角平分線重合，∴一定通過△ABC的內(nèi)心 故選：A． （二）三角形的重心 例2.已知中，向量，則點(diǎn)的軌跡通過的（ ） A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心 【答案】D 【解析】設(shè)為中點(diǎn)，則 ，即點(diǎn)在中線上 可知點(diǎn)軌跡必過的重心 本題正確選項(xiàng)： 練習(xí)1．過的重心作直線，已知與、的交點(diǎn)分別為、，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A．或 B． 或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】設(shè),因?yàn)镚為的重心，所以,即. 由于三點(diǎn)共線，所以，即. 因?yàn)?，，所以，即有，解之得?故

4、選B. 練習(xí)2.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若= , 則O點(diǎn)是△ABC的( ) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】作BD∥OC，CD∥OB，連結(jié)OD，OD與BC相交于G，則BG＝CG，（平行四邊形對(duì)角線互相平分）， ∴， 又∵，可得：， ∴， ∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線， 同理：BO，CO的延長線也為△ABC的中線． ∴O為三角形ABC的重心． 故選：C． 練習(xí)3.已知是所在平面上的一定點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的( ) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】∵

5、＝設(shè)它們等于t， ∴ 而 表示與共線的向量, 而點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以即P的軌跡一定通過三角形的重心． 故選：C． 練習(xí)4.已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則點(diǎn)P的軌跡一定通過的__________心． 【答案】重. 【解析】設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則， 于是有， ，P，D三點(diǎn)共線， 又D是BC的中點(diǎn)，所以AD是邊BC的中線， 于是點(diǎn)P的軌跡一定通過的重心． 例4.是平面上不共線的三點(diǎn)，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過____心（內(nèi)心、外心、垂心或重心）． 【答案】重心 【解析】∵動(dòng)點(diǎn)P滿足[（2﹣2λ）

6、（1+2λ）]（λ∈R）， 且，∴P、C、D三點(diǎn)共線，又D是AB的中點(diǎn)， ∴CD為中線，∴點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的重心． 故答案為重心． （三）三角形的外心 例3. 已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則的內(nèi)角等于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因?yàn)?，所以點(diǎn)為的重心， 延長交于，則為的中點(diǎn)，又為外接圓的圓心， 所以，則，同理可得， 為等邊三角形，，故選B. 練習(xí)1.已知，點(diǎn)，為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，，， 則點(diǎn)為的 ( ) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】因?yàn)椋?，? 又因?yàn)?，所以? 即 所以即 所

7、以, 所以，同理 所以為的外心。 故選B. 練習(xí)2.在中，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過的（ ） A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心 【答案】D 【解析】 設(shè)為中點(diǎn)，則 為的垂直平分線 軌跡必過的外心 本題正確選項(xiàng)： 練習(xí)3.已知是銳角的外接圓圓心，是最大角，若，則的取值范圍為________. 【答案】 【解析】設(shè)是中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知，依題意，即，利用正弦定理化簡得.由于，所以，即.由于是銳角三角形的最大角，故，故. 練習(xí)4.已知O是△ABC外接圓的圓心，AB=6，AC=15，=+，2+3=1，則cos∠BAC=______．

8、 【答案】 【解析】如圖所示， 過O點(diǎn)分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E． 則AD=DB，AE=EC． 則， 則 因?yàn)?+， 所以， 即18=36x+90ycosA，=90xcosA+225y，又2x+3y=1，聯(lián)立解得cosA=，故答案為： （四）三角形的垂心 例4. 點(diǎn)P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則點(diǎn)P的軌跡通過的　　 A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心 【答案】C 【解析】處理原式得到 故所在的直線與三角形的高重合，故經(jīng)過垂心，故選C。 練習(xí)1. 在中，若，則是的（ ） A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．

9、垂心 【答案】D 【解析】∵∴； ∴；∴OB⊥AC， 同理由，得到OA⊥BC ∴點(diǎn)O是△ABC的三條高的交點(diǎn)． 故選：D． 練習(xí)2.是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心 【答案】B 【解析】λ（）， ∴， ∴，即點(diǎn)P在BC邊的高上，即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心． 故選：B． （五）三角形問題綜合 例5. 在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，則的最大值為（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 化簡可得，，，

10、， ，且，均為單位向量，過分別作，，垂足分別為，， 則，，，，兩式相加可得， 由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解可得， 則的最大值為．故選：B． 練習(xí)1. 若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則為（ ） A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．以上都不對(duì) 【答案】A 【解析】 即，， ，即，， 三角形為等腰三角形 故選：． 練習(xí)2.已知是直線上任意兩點(diǎn)，是外一點(diǎn)，若上一點(diǎn)滿足，則的值是________. 【答案】 【解析】∵A、B、C三點(diǎn)共線，且cosθcos2θ， ∴cosθ+cos2θ＝1，（三點(diǎn)共線的充要條件）∴cos2θ＝1﹣cosθ

11、，∴cosθ＝1﹣cos2θ＝sin2θ， ∴sin6θ＝cos3θ＝cosθ?（1﹣sin2θ）＝cosθ（1﹣cosθ）＝cosθ﹣cos2θ＝cosθ﹣（1﹣cosθ）＝2cosθ﹣1， ∴sin2θ+sin4θ+sin6θ＝cosθ+cos2θ+2cosθ﹣1＝cosθ+1﹣cosθ+2cosθ﹣1＝2cosθ， 由cos2θ＝1﹣cosθ得cosθ或cosθ1，舍去，∴cosθ， ∴原式＝2cosθ1，故答案為：1． 練習(xí)3．已知為△的重心，過點(diǎn)的直線與邊分別相交于點(diǎn).若,則當(dāng)與的面積之比為時(shí)，實(shí)數(shù)的值為________. 【答案】或 【解析】 設(shè)，，，三點(diǎn)共線，可設(shè)

12、， ，為的重心， ， ，兩式相乘得① ，②，②代入①即解得或即或 故答案為：或． 練習(xí)4. 已知中，點(diǎn)在線段上，且，延長到，使．設(shè)． （1）用表示向量； （2）若向量與共線，求的值． 【答案】（1）,；（2） 【解析】（1）為BC的中點(diǎn)，， 可得， 而 （2）由（1）得， 與共線，設(shè) 即， 根據(jù)平面向量基本定理，得 解之得，． 練習(xí)4.已知P是三角形ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿足則:______ 【答案】1:3 【解析】取D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，則2，2． ∵，∴（ 2（）， ∴， ∴P是DE上靠近E的三等分點(diǎn)， ∴ 故答案為

13、：1:3． 【點(diǎn)睛】 （六）五心綜合 例6.點(diǎn)O在△ABC所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4）．則點(diǎn)O依次為△ABC的（　?。? A．內(nèi)心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心、垂心 C．重心、垂心、內(nèi)心、外心 D．外心、內(nèi)心、垂心、重心 【答案】C 【解析】 由三角形“五心”的定義， 我們可得： （1）時(shí)，得在三角形中，是邊的中點(diǎn)， 則，即是三角形的重心，為的重心； （2）時(shí)，得，即,所以.同理可知,所以為的垂心； （3），， 當(dāng)時(shí)，，即， ， 點(diǎn)在三角形的角平分線上；同理，點(diǎn)在三角形的角，角平分線上； 點(diǎn)定的一定是的內(nèi)心； （4）時(shí)，是邊的中點(diǎn)，則，故OD為AB的中垂線，同理是邊的中點(diǎn)，,故OE為CB的中垂線，所以為的外心. 故選：． 練習(xí)1.已知為的重心，過點(diǎn)的直線與邊分別相交于點(diǎn)，若,則與的面積之比為_____. 【答案】 【解析】 設(shè)，三點(diǎn)共線，可設(shè)， ，為的重心，， ， ，解得，， ，故答案為. 14