《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 集合 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 專題15 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與優(yōu)化問題 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 集合 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 專題15 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與優(yōu)化問題 文（含解析）（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題15導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用 一、本專題要特別小心： 1.圖形考慮不周陷阱； 2.思維定式陷阱（與等式有關(guān)的構(gòu)造函數(shù)）； 3. 已知條件中含有導(dǎo)函數(shù)值而無從下手； 4.恒成立中的最值陷阱 5. 含有導(dǎo)函數(shù)的式子中的和差構(gòu)造陷阱 6.與三角函數(shù)有關(guān)的構(gòu)造函數(shù) 7.忽視分母造成解集不完備 8.與指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的構(gòu)造 二．【知識(shí)點(diǎn)】 1.函數(shù)的極值 (1)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)值為0，且在x＝x0處的左邊f(xié)′(x0)＞0，在x＝x0處的右邊f(xié)′(x0)＜0，則f(x)在x＝x0處有極大值. (2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)值為0，且在x＝x0處的左

2、邊f(xié)′(x0)＜0，在x＝x0處的右邊f(xié)′(x0)＞0，則f(x)在x＝x0處有極小值. (3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如y＝x3在x＝0處導(dǎo)數(shù)值為零，但x＝0不是極值點(diǎn). 2.函數(shù)的最值 (1)連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上必有最大值與最小值. (2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的極值，再將各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值. 3.極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系 (1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的整體情況，是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比

3、較. (2)函數(shù)的極值不一定是最值，須與端點(diǎn)函數(shù)值作比較方可確定是否為最值. (3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值(單峰函數(shù))，則極大值即是[a，b]上的最大值，極小值即是[a，b]上的最小值. 三．【題型方法總結(jié)】 （一）存在問題求參數(shù) 例1. 已知函數(shù)，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， 故的最小值為; 函數(shù)≤a,故a≥e 故選：A． 練習(xí)1．設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋? 又， ∵函數(shù)至

4、少存在一個(gè)零點(diǎn)， ∴方程有解， 即有解． 令， 則， ∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減． ∴． 又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 要使方程有解，則需滿足， ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是． 故選D． 練習(xí)2．函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)， ，， 函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為， 又，且， ， 在上恒小于零，即在為單調(diào)遞減函數(shù)， 又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)， 可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖像如圖： 要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一

5、一個(gè)交點(diǎn)，則， ，， 即 ，解得， 又 所以實(shí)數(shù)的范圍為。 故答案選A 練習(xí)3.已知函數(shù)滿足，且存在實(shí)數(shù)使得不等式成立，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)椋? 所以 因?yàn)椋? 因此，， 當(dāng)時(shí)； 當(dāng)時(shí)； 因此最小值為1，從而，選A. 練習(xí)4.已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)整數(shù)，使得，且，則a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，則：， ， 設(shè)，， 故， 由可得， 在上，，為減函數(shù)， 在上，，為增函數(shù)， 的圖像恒過點(diǎn)， 在同一坐標(biāo)系中作出，的圖像， 如圖所示，若有且只

6、有兩個(gè)整數(shù)，使得，且， 則，即， 解得：. 故選：D. （二）任意問題求參數(shù) 例2. 已知函數(shù)，對(duì)于，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題得當(dāng)時(shí)，, 所以，所以函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增， 因?yàn)閒(1)=4+cosπ=3，所以f(1), 所以≤1， 因?yàn)椤?且0≤≤2 所以0≤≤1. 當(dāng)≤1時(shí)，所以，當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立. 當(dāng)0＜x≤2時(shí)， ， 所以g(x)在（1,2）單調(diào)遞增，在（0,1）單調(diào)遞減，所以，所以. 當(dāng)≥0時(shí)，， 當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立. 當(dāng)0＜x≤2時(shí)，， 令，所以k(x)在（0，

7、2）單調(diào)遞增，所以k(x)>k(0)=0, 所以函數(shù) 所以函數(shù)h(x)在（0,2]上單調(diào)遞增， 所以h(x)最大值=h(2)=. 所以.綜上得. 故選：B 練習(xí)1. 已知不等式（，且）對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】構(gòu)造函數(shù)， 當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，無最大值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在 函數(shù)最小值為 令 函數(shù)在 故得到 故答案為：B 練習(xí)2．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)?，所? 令,,則， 令,則或

8、， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；因此由圖得選D. 練習(xí)3.設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)函數(shù) ，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)?，所以，所? 令,則，所以為奇函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，,因?yàn)樗詾镽上單調(diào)減函數(shù), 由得,所以,即實(shí)數(shù)的最小值為，選A. （三）任意存在求參數(shù) 例3.已知函數(shù)，若對(duì)，，且，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?由可知： 當(dāng)時(shí)，，與題意不符，故.令，得，則，所以，作出函數(shù)在上的大致圖象如圖所示，觀察可 知解得.

9、 練習(xí)1．對(duì)任意，都存在，使得，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，則， 據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 注意到，故函數(shù)的值域?yàn)? 則原問題等價(jià)于方程至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 即至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 考查臨界情況，當(dāng)時(shí)，直線與指數(shù)函數(shù)相切， 由可得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率, 切線方程為：，切線過點(diǎn)， 故，很明顯方程的根為， 此時(shí)切線的斜率. 據(jù)此可得實(shí)數(shù)的取值范圍是. 本題選擇A選項(xiàng). 練習(xí)2．已知函數(shù)，，若對(duì)，且，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C

10、 【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?由可知：當(dāng)時(shí)，，與題意不符，故.令，得，則，所以，作出函數(shù)在上的大致圖象如圖所示，觀察可知，解得. 故選：C 練習(xí)3.已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】記函數(shù)的值域?yàn)榧希瘮?shù)的值域?yàn)榧希? 若對(duì)任意，總存在，使， 則. 又當(dāng)，恒成立， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以集合， 當(dāng)時(shí)，（）的值域?yàn)椋? 此時(shí)，，滿足.即：時(shí)，滿足題意. 當(dāng)，（）的值域?yàn)椋海? （）值域?yàn)? 函數(shù)的值域?yàn)榧? 要使得，則 即：，解得：. 綜上所述：或 故選：C 練習(xí)4.已知函數(shù)

11、，對(duì)任意，存在，使得，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，則，令，可得， 則. 顯然，是增函數(shù)，觀察可得當(dāng)時(shí)，，故有唯一零點(diǎn)。 故當(dāng)時(shí)，b?a取得最小值為. 故選：C. （四）圖象問題 例4. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函數(shù)圖像如圖所示， 因?yàn)椋? 由圖得當(dāng)是A的橫坐標(biāo)，是B的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)滿足，在之間只有一個(gè)極值點(diǎn)，但是只要x的范圍向左右擴(kuò)展一點(diǎn)，則有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以. 當(dāng)是O的橫坐標(biāo)，是C的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)滿足，在之間有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以

12、. 所以. 故選：D 練習(xí)1．已知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 要使函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì)， 只需函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2即可. 如圖,可作出函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)的圖象， 當(dāng)直線與的圖象相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為, 又的導(dǎo)數(shù)為，則，解得， 可得切線的斜率為1，結(jié)合圖象可知時(shí),函數(shù)的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有2對(duì),故選D. 練習(xí)2。設(shè)函數(shù)f (x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)，且函數(shù)f (x)在x＝－2處取得極大值

13、，則函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）， 且函數(shù)f（x）在x＝﹣2處取得極大值，∴當(dāng)x＞﹣2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，f′（x）＝0； 當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f′（x）＞0．∴當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，f ′(x)＞0；x＞0時(shí)，f ′(x)＜0； 當(dāng)x＝﹣2時(shí)，f ′(x)＝0；當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f ′(x)＜0． 故選：D． （五）由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù) 例5.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____； 【答案】 【解析】由題意，函數(shù)恰由3個(gè)零點(diǎn)，即方程有3個(gè)不同的解， 設(shè)，，則，

14、 可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減， 所以， 則函數(shù)的圖象，如圖所示， 方程有3個(gè)不同的解等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線由3個(gè)的交點(diǎn)， 結(jié)合圖象可得，實(shí)數(shù)的取值范圍。 練習(xí)1．已知函數(shù)若方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的最大值是______． 【答案】 【解析】 作出的函數(shù)圖象如圖所示， 由，可得， 即， 不妨設(shè) ，則， 令，則， ，令，則， 當(dāng) 時(shí)，，在上遞增； 當(dāng)時(shí)，，在上遞減； 當(dāng)時(shí)，取得最大值, 故答案為. 練習(xí)2．已知方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是____. 【答案】 【解析】函數(shù)， 由得，得或，此時(shí)為增函數(shù)，

15、 由得，得，此時(shí)為減函數(shù)， 即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為， 當(dāng)，，且， 作出函數(shù)的圖象如圖： 設(shè)，則當(dāng)時(shí) 方程有3個(gè)根，當(dāng)時(shí) 方程有2個(gè)根， 當(dāng)或時(shí) 方程有1個(gè)根， 則方程等價(jià)為， 若恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 等價(jià)為有兩個(gè)不同的根， 當(dāng)，方程不成立，即， 其中或， 設(shè)， 則滿足，得， 即，即， 即實(shí)數(shù)的取值范圍是， 故答案為： 練習(xí)3．若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______________. 【答案】 【解析】令， 若，顯然不合題意； 當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則，即存在，使成立，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以； 當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即函數(shù)與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則，即存在，使成立，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以. 綜上所述，， 故答案為. 16