《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題04 三角函數(shù)的應用 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學一輪總復習 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題04 三角函數(shù)的應用 文（含解析）（20頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題04三角函數(shù)的應用 一、本專題要特別小心： 1.圖象的平移（把系數(shù)提到括號的前邊后左加右減） 2. 圖象平移要注意未知數(shù)的系數(shù)為負的情況 3. 圖象的橫坐標伸縮變換要注意是加倍還是變?yōu)閹追种畮? 4.五點作圖法的步驟 5.利用圖象求周期 6.已知圖象求解析式 二【學習目標】 1．理解三角函數(shù)的定義域、值域和最值、奇偶性、單調(diào)性與周期性、對稱性． 2．會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性，會求簡單三角函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)區(qū)間及周期． 3．理解三角函數(shù)的對稱性，并能應用它們解決一些問題． 三．【方法總結(jié)】 1.三角函數(shù)奇偶性的判斷與其他函數(shù)奇偶性的判斷步驟一致： (

2、1)首先看定義域是否關(guān)于原點對稱； (2)在滿足(1)后，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系. 另外三角函數(shù)中的奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式. 2.三角函數(shù)的單調(diào)性 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間的確定，其基本思想是把ωx＋φ看作一個整體，比如：由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間. 若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用誘導公式將函數(shù)變?yōu)閥＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)

3、的增區(qū)間. 對函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等單調(diào)性的討論同上. (2)三角函數(shù)單調(diào)性的應用主要有比較三角函數(shù)值的大小，而比較三角函數(shù)值大小的一般步驟：①先判斷正負；②利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)；③再利用單調(diào)性比較. 3.求三角函數(shù)的最值常見類型： (1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B， (2)y＝A(sin x－a)2＋B， (3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0). 四．【題型方法】 （一）利用三角函數(shù)測量應用 例1.如圖，從氣

4、球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度等于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】記點正下方為， 由題意可得，，， 在中，由， 得到； 在中，由得到， 所以河流的寬度等于米. 故選B 練習1. 習總書記在十九大報告中指出：必須樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念.某市為貫徹落實十九大精神，開展植樹造林活動，擬測量某座山的高.如圖，勘探隊員在山腳A測得山頂B的仰角為，他沿著傾斜角為的斜坡向上走了40米后到達C，在C處測得山頂B的仰角為，則山高約為______米.（結(jié)果精確到個位，在同一鉛垂面）.參考數(shù)據(jù)：.

5、 【答案】 【解析】過C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,設(shè)BM=h,則CM=,解得h=20(),∴BD=h+20 （二）與圓有關(guān)的三角函數(shù)應用 例2. 如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為 A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 【答案】B 【解析】觀察圖象可知，當P為弧AB的中點時，陰影部分的面積S取最大值， 此時∠BOP=∠AOP=π-β, 面積S的最大值為+S△POB+ S△POA=4β+ . 故選：B. 練習1．如圖，四邊形內(nèi)接于圓，若，

6、，，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 做于點E，， 在直角三角形中，可得到根據(jù)該四邊形對角互補得到 在三角形ABD中，應用余弦定理得到 在三角形DCB中， 應用余弦定理以及重要不等式得到 進而得到 故答案為：C. 練習2.位于濰坊濱海的“濱海之眼”摩天輪是世界上最高的無軸摩天輪，該摩天輪的直徑均為124米，中間沒有任何支撐，摩天輪順時針勻速旋轉(zhuǎn)一圈需要30分鐘，當乘客乘坐摩天輪到達最高點時，距離地面145米，可以俯瞰白浪河全景，圖中與地面垂直，垂足為點，某乘客從處進入處的觀景艙，順時針轉(zhuǎn)動分鐘后，第1次到達點，此

7、時點與地面的距離為114米，則（ ） A．16分鐘 B．18分鐘 C．20分鐘 D．22分鐘 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，作，，如下圖所示： 直徑為，則， 所以 則 所以，即 所以 因為摩天輪順時針勻速旋轉(zhuǎn)一圈需要30分鐘 所以從A到B所需時間為分鐘 所以選C 練習3.定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個頂點在半徑為1的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和構(gòu)成平面區(qū)域，則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________． 【答案】 【解析】設(shè)三個半圓圓心分別為G,F，E，半徑分

8、別為M,P,N分別為半圓上的動點，則PM≤+GF= +=，當且僅當M,G,F,P共線時取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圓半徑為1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,當且僅當b=c=取等；故 故答案為 （三）模型的應用 例3. 據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈的模型波動（x為月份），已知3月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定的解析式為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因為3月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5千元，所以半周期， 故，所以， 又

9、，所以 ， 所以， 當時，，，. ，故選A. 練習1. 國際油價在某一時間內(nèi)呈現(xiàn)出正弦波動規(guī)律： (美元)(t(天)，，)，現(xiàn)采集到下列信息：最高油價80美元，當 (天)時達到最低油價，則的最小值為________． 【答案】 【解析】由最高油價為80美元知.由(天)時達到最低油價知，所以，，又，所以的最小值為. 練習2.為解決城市的擁堵問題，某城市準備對現(xiàn)有的一條穿城公路MON進行分流，已知穿城公路MON自西向東到達城市中心后轉(zhuǎn)向方向，已知∠MON＝，現(xiàn)準備修建一條城市高架道路L，L在MO上設(shè)一出入口A，在ON上設(shè)一出口B，假設(shè)高架道路L在AB部分為直線段，且要求市中心與AB的

10、距離為10km． （1）求兩站點A，B之間的距離； （2）公路MO段上距離市中心30km處有一古建筑群C，為保護古建筑群，設(shè)立一個以C為圓心，5km為半徑的圓形保護區(qū)．因考慮未來道路AB的擴建，則如何在古建筑群和市中心之間設(shè)計出入口A，才能使高架道路及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)？ 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）過作直線OE⊥AB于E，則OE＝10，設(shè)∠EOA＝α，則∠EOB＝﹣α，（）， 故AE＝10tan，BE＝10tan（﹣）， AB＝10tan+10tan（﹣）＝10（）＝， 又cos＝cos?（﹣cos+sin）＝ 由，可得：2﹣， 故cos，當且僅當2﹣，即＝

11、時取等號， 此時，AB有最小值為20（），即兩出入口之間距離的最小值為20（）． （2）由題意可知直線AB是以為圓心，10為半徑的圓的切線，根據(jù)題意，直線AB與圓C要相離，其臨界位置為直線AB與圓C相切， 設(shè)切點為F，此時直線AB為圓與圓的公切線，因為，出入口A在古建筑群和市中心之間， 如圖所示，以為坐標原點，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系， 由CF＝5，OE＝10，因為圓的方程為x2+y2＝100，圓的方程為（x+30）2+y2＝25， 設(shè)直線AB的方程為y＝kx+t（k＞0）， 則：，所以兩式相除可得：＝2，所以t＝20k，或t＝60k， 所以，此時A（﹣20，0）或

12、A（﹣60，0）（舍去），此時OA＝20， 又由（1）可知當時，OA＝10，綜上，OA． 即設(shè)計出入口A離市中心的距離在10km到20km之間時，才能使高架道路及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)． 練習3．一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，如果當水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間. （1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過點且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，將點距離水面的高度表示為時間的函數(shù)； （2）點第一次到達最高點大約要多長時間？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）設(shè)，， 則，，∴，∴ ∴，∵，，

13、 ∴，∴.∵，∴，∴ （2）令，得，∴，∴ ∴點第一次到達最高點大約要的時間. 練習4.已知某海濱浴場海浪的高度（米）是時間的（，單位：小時）函數(shù)，記作，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)： （時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長期觀察，的曲線，可以近似地看成函數(shù)的圖象． （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)近似表達式； （2）依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午時至晚上時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？

14、 【答案】（1）；（2）從8點到16點共8小時. 【解析】（1）設(shè)函數(shù)， ∵同一周期內(nèi)，當時，當時， ∴函數(shù)的周期，得， 且， ∴， 又由題意得點是函數(shù)圖象上的一個最低點， ∴， ∴， ∴函數(shù)近似表達式為． （2）由題意得，即， 解得，即， ∵在規(guī)定時間上午8∶00時至晚上20∶00時之間， ∴令，得， ∴在規(guī)定時間上午8∶00時至晚上20∶00時之間，從8點到16點共8小時的時間可供沖浪者進行運動． （四）數(shù)學文化中的三角應用 例4. 我國古代數(shù)學家僧一行應用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距的對應數(shù)表，這是世界數(shù)學史上較早

15、的一張正切函數(shù)表．根據(jù)三角學知識可知，晷影長度等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即．已知天頂距時，晷影長．現(xiàn)測得午中晷影長度，則天頂距為（ ） （參考數(shù)據(jù)：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵，且頂距時，晷影長． ∴， 當晷影長度， ∴ 故選：B 練習1．我國古代數(shù)學家劉徽于公元263年在《九章算術(shù)注》中提出“割圓術(shù)”：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣.即通過圓內(nèi)接正多邊形細割圓，并使正多邊形的面積無限接近圓的面積，進而來求得較為精確的圓周率.如果用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為，那么用圓的內(nèi)接正邊

16、形逼近圓，算得圓周率的近似值可表示成（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令圓的半徑為1， 則圓內(nèi)接正邊形的面積為， 圓內(nèi)接正邊形的面積為， 用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，可得； 用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，可得； 所以. 故選A 練習2．“勾股定理”在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”，三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細證明．如圖所示的“勾股圓方圖” 中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形． 若直角三角形中較小的銳角為，現(xiàn)已知陰影部分與大正方形的面積之比為，則銳角（ ）． A． B． C．

17、D． 【答案】D 【解析】設(shè) 大正方形的邊長為a,小正方形邊長為b,則=b,陰影三角形面積為小正方形面積為又陰影部分與大正方形的面積之比為所以整理得1-,解得 故選：D （五）三角形中的三角函數(shù) 例5. 某小區(qū)擬對如圖一直角△ABC區(qū)域進行改造，在三角形各邊上選一點連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀。已知,則面積最小值為____ 【答案】 【解析】因為，所以， 顯然，， 設(shè)，則，且， 則，所以， 在中，由正弦定理可得：， 求得， 其中，則， 因為，所以當時，取得最大值1， 則的最小值為， 所以面積最小值為， 練習1. 海上一艘輪船以的速度向正東方向航行

18、，在處測得小島在北偏西的方向上，小島在北偏東的方向上，航行后到達處測得小島在北偏西的方向上，小島在北偏西的方向上，則兩個小島間的距離______. 【答案】 【解析】 在中，由題意可得 ∴由正弦定理 ∴ ∵在中，由于 由正弦定理可得 可得 ∴中，由余弦定理可得 ∴解得 即C、D之間的距離為 故答案為 練習2．如圖，有一壁畫，最高點處離地面6 m，最低點處離地面3.5 m．若從離地高2 m的處觀賞它，則離墻____m時，視角最大． 【答案】 【解析】如圖，過點作的垂線，垂足為 設(shè)米，則 在中，由余弦定理可得： （）. 令， 則 當時

19、，最大，此時最小，此時最大. 即 時，視角最大. 練習3.某小區(qū)擬對如圖一直角△ABC區(qū)域進行改造，在三角形各邊上選一點連成等邊三角形,在其內(nèi)建造文化景觀。已知,則面積最小值為____ 【答案】 【解析】因為，所以， 顯然，， 設(shè)，則，且， 則，所以， 在中，由正弦定理可得：， 求得， 其中，則， 因為，所以當時，取得最大值1， 則的最小值為， 所以面積最小值為 （六）三角函數(shù)的綜合應用 例6. 如圖是一個半徑為2千米，圓心角為的扇形游覽區(qū)的平面示意圖是半徑上一點，是圓弧上一點，且.現(xiàn)在線段，線段及圓弧三段所示位置設(shè)立廣告位，經(jīng)測算廣告位出租收入是：

20、線段處每千米為元，線段及圓弧處每千米均為元．設(shè)弧度，廣告位出租的總收入為元． (1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域； (2)試問：為何值時，廣告位出租的總收入最大？并求出其最大值． 【答案】（1）；（2）當時，廣告位出租的總收入最大，最大值為元. 【解析】(1)因為，所以. 在中，，，. 由正弦定理，得， 得，. 又圓弧長為， 所以 . (2)記， 則， 令，得. 當變化時，，的變化如下表： 所以在處取得極大值，這個極大值就是最大值，即. 故當時，廣告位出租的總收入最大，最大值為元． 練習1. 某地擬在一個U形水面PABQ（∠A=∠B=9

21、0°）上修一條堤壩（E在AP上，N在BQ上），圍出一個封閉區(qū)域EABN，用以種植水生植物．為了美觀起見，決定從AB上點M處分別向點E，N拉2條分隔線ME，MN，將所圍區(qū)域分成3個部分（如圖），每部分種植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，設(shè)所拉分隔線總長度為l． （1）設(shè)∠AME=2θ，求用θ表示的l函數(shù)表達式，并寫出定義域； （2）求l的最小值． 【答案】（1）l=，θ∈（0，）；（2）lmin=2a． 【解析】（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE， ∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ， 設(shè)MN=x，在

22、△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ， ∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a， ∴x=， ∴l(xiāng)=EM+MN=，θ∈（0，）； （2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，），∴f（θ）≤， 當且僅當θ=時，取得最大值，此時lmin=2a． 練習2.如圖，某沿海地區(qū)計劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A、B兩地，A處位于東西方向的直線MN上的陸地處，B處位于海上一個燈塔處，在A處用測角器測得，在A處正西方向1km的點C處，用測角器測得，現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案：① 沿線段AB在水下鋪設(shè)；② 在岸M

23、N上選一點P，先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預算地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為2萬元/km，4萬元/km. （1）求A、B兩點間的距離； （2）請選擇一種鋪設(shè)費用較低的方案，并說明理由. 【答案】（1）千米；（2）方案②，理由見詳解. 【解析】（1）過點作于點，設(shè)，因為，所以， 又，，所以，即，解得,所以 (km). （2）由（1）可知(km)， 方案①：沿線段AB在水下鋪設(shè)，總鋪設(shè)費用為萬元； 方案②：設(shè)，則，其中， 在直角三角形中，，，所以， 則總鋪設(shè)費用為， 設(shè)，則，令得，列表如下： 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以的最小值為. 所以該方案的總鋪設(shè)費用為，此時. 而， 所以應選擇方案②進行鋪設(shè)，點選擇的正西方處，總鋪設(shè)費用最低. 20