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1、目錄第一章命題邏輯11.1第7頁11.2第15頁61.3第22頁131.4第27頁14第二章 謂詞邏輯222.2第43頁222.3第46頁31第三章 集合論343.1第50頁343.2 第59頁373.3第62頁433.4第66頁46第四章 二元關(guān)系494.1第69頁494.2第78頁534.3第86頁584.5第103頁67第五章 函數(shù)715.1第108頁715.2第111頁735.3第113頁74(1)任取xA,有76(c) 將A上的函數(shù)f滿足ff = IA,則任取xA,有775.4第116頁785.5第118頁795.6第121頁83第一章 命題邏輯1.1第7頁1. 給出下列命題的否定命

2、題： （1）大連的每條街道都臨海。否命題：不是大連的每條街道都臨海。（2）每一個素數(shù)都是奇數(shù)。否命題： 并非每一個素數(shù)都是奇數(shù)。2. 對下述命題用中文寫出語句：（1）如果非P與R，那么Q。（2）Q并且R。4. 給出命題，我們把、分別稱為命題的逆命題、反命題、逆反命題。（1）如果天不下雨，我將去公園。 解：逆命題：如果我去公園，則天不下雨； 反命題：如果天下雨，則我不去公園； 逆反命題：如果我不去公園，則天下雨了。（2）僅當你去我才逗留。解：（此題注意：p僅當q翻譯成） 逆命題：如果你去，那么我逗留。 反命題：如果我不逗留，那么你沒去。 逆反命題：如果你沒去，那么我不逗留。（3）如果n是大于2的

3、正整數(shù)，那么方程無整數(shù)解。解：逆命題：如果方程無整數(shù)解，那么n是大于2的正整數(shù)。 反命題：如果n不是大于2的正整數(shù)，那么方程有整數(shù)解。 逆反命題：如果方程有整數(shù)解，那么n不是大于2的正整數(shù)。7. 給P和Q指派真值T，給R和S指派真值F，求出下列命題的真值。（1）=（2）=（3）=（4）=8 構(gòu)成下列公式的真值表：（1）PQFFFTFTTFTFFTTTTT（2）PQRFFFTFFFFTTFFFTFTFFFTTFTFTFFFTFTFTFTFTTFFTFTTTFTF（3）PQRFFFTFFFFTTFFFTFFFTFTTFFTTFFFTTTFTFFTTTFTTTTTTTFF（4）PQRFFFTTFFT

4、FFFTFTTFTTFFTFFTTTFTFFTTFFTTTTFF9. 使用真值表證明：如果為，那么和都是，反之亦然。證明：PQFFTTTFTFTFTFFFTTTTTT由上表可知：當為時，和都是；和為時，為。故命題得證。10. 使用真值表證明：對于和的所有值，與有同樣的真值。PQFFTTFTTTTFFFTTTT11. 一個有兩個運算對象的邏輯運算符，如果顛倒其運算對象的次序，產(chǎn)生一邏輯等價命題，則稱此邏輯運算符是可交換的。（1）確定所給出的邏輯運算符哪些是可交換的：，。（2）用真值表證明你的判斷。解：（1），是可交換的。（2）真值表如下：PQFFFFFFTTTTFTFFTTTFFFTFFFTTF

5、TFFTTTTTTTTTT12.設(shè)是具有兩個運算對象的邏輯運算符，如果和邏輯等價，那么運算符是可結(jié)合的。（1）確定邏輯運算符，哪些是可結(jié)合的？（2）用真值表證明你的判斷。解：（1）是可結(jié)合的。 （2）真值表如下：PQRFFFFFFTFFTFTTTFTFFTFTFTTFTTFTFFFTTTTFTFTTFTTFFTFFTTTTTTTPQRFFFFFTTFFTFTTTFTFFTTTFTTFTTFTFFFTTTTFTFTTFTTFFTFFTTTTTTT13. 令表示命題“蘋果是添的”，表示命題“蘋果是紅的”，表示命題“我買蘋果”。試將下列命題符號化：（1）如果蘋果甜而紅，那么我買蘋果。（2）蘋果不是甜

6、的。（3）我沒買蘋果，因為蘋果不紅也不甜。解：（1）（2）（3）14解：如何我問你是你是不是總說謊的，你會說是嗎？ 回答不是的都是說實話的，回答是的都是說謊的。1.2第15頁1. 指出下面命題公式哪些是重言式、永假式或可滿足式。解：（1）重言式（2）永假式（3）重言式（4）重言式 （5）重言式（6）重言式 = （7）重言式 =（8）重言式=（9）重言式 =（10）可滿足式=，當為真時公式為真，為假時公式為假。故為可滿足式。（11）重言式（12）重言式 （13）可滿足式 的真值表如下：PQFFTTTFTTFFTFFFTTTTTT（14）可滿足式= 當或有一個為真時公式為真；當和均為假時，若和真值

7、相同時，公式為真；真值不同時，公式為假。故公式是可滿足式。2. 寫出與下面給出的公式等價并且僅含有聯(lián)接詞與的最簡公式。（1）（2）（3）（4）（5）3. 寫出與下面的公式等價并且僅含聯(lián)結(jié)詞和的最簡公式。（1）（2）（3）4. 使用常用恒等式證明下列各式，并給出下列各式的對偶式。（1）證明： 對偶式：（2）證明：對偶式：（3）證明：對偶式：5. 試證明下列合式公式是永真式。（1）證明：（2）證明：（3）證明：（4）證明：6. 證明下列蘊含式。（1）證明：（2）證明：（3）證明：（4）證明：（5）證明：（6）證明：7. 對一個重言式使用代入規(guī)則后仍為一個重言式，對一個可滿足式和一個矛盾式，使用代入

8、規(guī)則后，結(jié)果如何？對重言式、可滿足式和矛盾式，使用替換規(guī)則后，結(jié)果如何？解：對于代入規(guī)則：（1）如果是可滿足式，使用代入規(guī)則后可能是重言式、可滿足式或矛盾式。如：可滿足式，將分別替換為，分別得到重言式和可滿足式，對于可滿足式，將替換為得到矛盾式。（2）如果是矛盾式，使用代入規(guī)則后仍然是矛盾式。設(shè)是矛盾式，則是重言式。而對于重言式使用代入規(guī)則后仍為重言式，即是重言式，故是矛盾式。對于替換規(guī)則：由于替換規(guī)則是一種對子公式邏輯上等價的替換，故對于重言式、可滿足式和矛盾式使用替換規(guī)則后其真值不變。8. 求出下列各式的代入實例。（1）；用代，用代。解：（2）；用代，用代解：9證明下列等價式：（1）證明：

9、 因此，得證。1.3第22頁1.求下列各式的主合取范式。（1）解： （2）（3）2.求下列公式的主析取范式和主合取范式：（1）合取范式：析取范式：（2）合取范式：析取范式：（3）合取范式：析取范式：（4）析取范式：合取范式：1.4第27頁1.試用真值表法證明：不是,和的有效結(jié)論。解：構(gòu)造真值表如下：A B C D E0 0 0 0 0111000 0 0 0 1110100 0 0 1 0111000 0 0 1 1110100 0 1 0 0110000 0 1 0 1111100 0 1 1 0100000 0 1 1 1101100 1 0 0 0001000 1 0 0 1000100

10、 1 0 1 0001000 1 0 1 1000100 1 1 0 0000000 1 1 0 1001100 1 1 1 0010000 1 1 1 1011101 0 0 0 0010101 0 0 0 1010111 0 0 1 0010101 0 0 1 1010111 0 1 0 0011101 0 1 0 1011111 0 1 1 0001101 0 1 1 1001111 1 0 0 0100101 1 0 0 1100111 1 0 1 0100101 1 0 1 1100111 1 1 0 0101101 1 1 0 1101111 1 1 1 0111101 1 1 1

11、 111111第6，31行前提取值均為1時，結(jié)論為0。故命題得證。2.，和是前提。在下列情況下，試確定結(jié)論C是否有效（可以使用真值表法證明。）（1）證明：真值表如下：P Q0 0110 1111 0001 111第1，2，4行當前提取值為1時，結(jié)論都為1。故結(jié)論C是有效的。（2）證明：1（1）P規(guī)則1（2）T規(guī)則，（1），3（3）P規(guī)則1，3（4）T規(guī)則，（2），（3），5（5）P規(guī)則1，3，5（6）T規(guī)則，（4），（5），結(jié)論C是有效結(jié)論。（3）（4）證明：1（1）P規(guī)則（附加前提）2（2）P規(guī)則1，2（3）T規(guī)則，（1），（2），4（4）P規(guī)則1，2，4（5）T規(guī)則，（3），（4），1，2

12、，4（6）規(guī)則，（1），（5）3.不構(gòu)成真值表證明：不是、和的有效結(jié)論。證明：（1） P規(guī)則 （2） P規(guī)則 （3） T規(guī)則，(1)(2) （4） P規(guī)則 （5） T規(guī)則,(1)(4) （6） T規(guī)則(5) （7） T規(guī)則(3) （8） T規(guī)則(6)(7) （9） T規(guī)則(8)因此，是題目的有效結(jié)論，不是。4.使用推理的方法證明：是和的有效結(jié)論。證明：1（1）P規(guī)則1（2）T規(guī)則，（1），1（3）T規(guī)則，（2），1（4）T規(guī)則，（3），1（5）T規(guī)則，（1），1（6）T規(guī)則，（5），1（7）T規(guī)則，（6），1（8）T規(guī)則，（4），（7），9（9）P規(guī)則1，9（10）T規(guī)則，（8），（9），5.

13、不構(gòu)成真值表證明下列命題公式不能同時全為真。（1），證明：1（1）P規(guī)則2（2）P規(guī)則1，2（3）T規(guī)則，（1），（2），4（4）P規(guī)則1，2，4（5）T規(guī)則，（3），（4），6（6）P規(guī)則1，2，4，6（7）T規(guī)則，（5），（6），8（8）P規(guī)則(1，2，4，6，8)（9）T規(guī)則，（7），（8），推出結(jié)論與前提矛盾，因此命題公式不能同時為真。（2），證明：1（1）P規(guī)則2（2）P規(guī)則1，2（3）T規(guī)則，（1），（2），4（4）P規(guī)則1，2，4（5）T規(guī)則，（3），（4），推出的結(jié)論與命題公式矛盾，因此命題公式不能同時為真。6. ，和是前提，根據(jù)推理規(guī)則斷定，在下列情況下是否是有效結(jié)論。（1）

14、 證明：1（1）P規(guī)則（假設(shè)前提）2（2）P規(guī)則1，2（3）T規(guī)則，（1），（2），4（4）P規(guī)則1，2，4（5）T規(guī)則，（3），（4），6（6）P規(guī)則1，2，4，6（7）T規(guī)則，（5），（6），1，2，4，6（8）T規(guī)則，（1），（7），1，2，4，6（9）F規(guī)則，（1），（8）因此是有效結(jié)論。（2）證明：因為，再由前提，得到、的值任意，即、的值任意。因此不是有效結(jié)論。7.證明下列結(jié)論的有效性。（1），證明：（1）P規(guī)則（2）P規(guī)則（3）T規(guī)則，（1），（2），（4）P規(guī)則（5）T規(guī)則，（4），（6）T規(guī)則，（3），（5），（2），證明：（1） P規(guī)則 （2） P規(guī)則 （3） T規(guī)則（1）（

15、2） （4） P規(guī)則 （5） T規(guī)則（3）（4） （6） T規(guī)則（5）8.導(dǎo)出下列結(jié)論（如果需要，就是用規(guī)則）（1）證明： （1） P P規(guī)則（假設(shè)前提） （2） P規(guī)則 （3） Q T規(guī)則（1）（2） （4） P規(guī)則 （5） R T規(guī)則（3）（4） （6） P規(guī)則 （7） S T規(guī)則（5）（6） （8） CP規(guī)則（1）（7）（2）證明： （1） P P規(guī)則（假設(shè)前提） （2） P規(guī)則 （3） Q T規(guī)則（1）（2） （4） T規(guī)則（1）（3） （5） CP規(guī)則（1）（4）（3）證明： （1） P規(guī)則（假設(shè)前提） （2） P T規(guī)則（1） （3） Q T規(guī)則（1） （4） T規(guī)則（2）（3）

16、（5） P規(guī)則 （6） R T規(guī)則（4）（5） （7） CP規(guī)則（1）（6）9.證明下列各式的有效性（如果需要，就使用間接證明法）。（1）證明： （1） P規(guī)則（假設(shè)前提） （2） P T規(guī)則（1） （3） P規(guī)則 （4） Q T規(guī)則（2）（3） （5） P規(guī)則 （6） T規(guī)則（4）（5） （7） P規(guī)則 （8） R T規(guī)則（6）（7） （9） P規(guī)則 （10） T規(guī)則（8）（9） （11） T規(guī)則（4）（10） （12） F規(guī)則（1）（11）（2）證明： （1） P規(guī)則（假設(shè)前提） （2） P T規(guī)則（1） （3） P規(guī)則 （4） Q T規(guī)則（2）（3） （5） P規(guī)則 （6） T規(guī)則（4）

17、（5） （7） P規(guī)則 （8） R T規(guī)則（6）（7） （9） P規(guī)則 （10） T規(guī)則（8）（9） （11） F規(guī)則（1）（10）（3）證明： （1） R P規(guī)則 （2） P規(guī)則 （3） T規(guī)則（1）（2） （4） T規(guī)則（1） （5） P規(guī)則 （6） T規(guī)則（4）（5） （7） T規(guī)則（6） （8） T規(guī)則（3）（7） （9） T規(guī)則（8）第二章 謂詞邏輯2.2第43頁2.證明下列各式。（1），證明：（1）P（2）US，（1）（3）P（4）US，（3）（5）T，（2），（4），（6）EG，（5）（2）證明： （1） P（假設(shè)前提） （2） T （3） T （4） T （5） T （6） T

18、 （7） P （8） T（5）（7） （9） ES（6） （10） US（8） （11） T（9）（10） （12） F（1）（11）（3），證明：（1）P（假設(shè)前提）（2）T，（1）（3）US，（2）（4）T，（3）（5）T，（3）（6）P（7）US，（6）（8）T，（5），（7）（9）P（10）US，（8）（11）T，（4），（10）（12）T，（8），（11）（4）證明： （1） P （2） US（1） （3） P （4） US（3） （5） T（2）（4） （6） P （7） US（6） （8） T（5）（7） （9） UG（8）3.用CP規(guī)則證明下列各式。（1）證明： （1） P（假

19、設(shè)前提） （2） US（1） （3） P （4） US（3） （5） T（2）（4） （6） UG（5） （7） CP（1）（6）（2）證明：由于 因此，原題等價于證明 （1） P（假設(shè)前提） （2） US（1） （3） P （4） US（3） （5） T（2）（4） （6） UG（5） （7） CP（1）（6）4.將下列命題符號化并推證其結(jié)論。（1）所有的有理數(shù)是實數(shù)，某些有理數(shù)是整數(shù)，因此某些實數(shù)是整數(shù)。解：首先定義如下謂詞：是有理數(shù)是實數(shù)是整數(shù)于是問題符號化為：推理如下： （1） P （2） ES（1） （3） P （4） US（3） （5） T（2） （6） T（2） （7） T（4）

20、（5） （8） T（6）（7） （9） EG（8）（2）任何人如果他喜歡步行，他就不喜歡乘汽車，每一個人或者喜歡乘汽車或者喜歡騎自行車，有的人不愛騎自行車，因而有的人不愛步行。解：首先定義如下謂詞：是人喜歡步行喜歡乘汽車x喜歡騎自行車于是問題符號化為：推理如下： （1） P （2） ES（1） （3） T（2） （4） T（2） （5） P （6） US（5） （7） T（3）（6） （8） T（4）（7） （9） P（10） US（9）（11） T（8）（10）（12） T（11）（13） T（3）（12）（14） T（3）（13）（15） EG（14）（3）每個科學(xué)工作者都是刻苦鉆研的，每

21、個刻苦鉆研而且聰明的科學(xué)工作者在他的事業(yè)中都將獲得成功。華為是科學(xué)工作者并且他是聰明的，所以，華為在他的事業(yè)中將獲得成功。解：首先定義如下謂詞：是科學(xué)工作者是刻苦鉆研的是聰明的在他的事業(yè)中將獲得成功定義個體a：華為于是命題符號化為：推理如下： （1） P （2） US（1） （3） P （4） T（3） （5） T（3） （6） T（2）（4） （7） P （8） US（7） （9） T（3）（6）（10） T（8）（9）（4）每位資深名士或是中科院院士或是國務(wù)院參事，所有的資深名士都是政協(xié)委員。張偉是資深名士，但他不是中科院院士。因此，有的政協(xié)委員是國務(wù)院參事。解：首先定義如下謂詞：是資深名

22、士是中科院院士是國務(wù)院參事是政協(xié)委員定義個體a：張偉于是命題符號化為：推理如下： （1） P （2） T（1） （3） T（1） （4） P （5） US（4） （6） T（2）（5） （7） P （8） US（7） （9） T（2）（8）（10） T（3）（9）（11） T（6）（10）（12） EG（11）（5）每一個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，自然數(shù)是偶數(shù)當且僅當它能被2整除。并不是所有的自然數(shù)都能被2所整除。因此，有的自然數(shù)是奇數(shù)。解：首先定義如下謂詞：是自然數(shù)是奇數(shù)是偶數(shù)能被2整除于是命題符號化為：推理如下： （1） P （2） T（1） （3） ES（2） （4） T（3） （5） T

23、（3） （6） P （7） US（6） （8） T（4）（7） （9） T（5）（8）（10） P（11） US（10）（12） T（4）（11）（13） T（9）（12）（14） T（4）（13）（15） EG（14）（6）如果一個人怕困難，那么他就不會獲得成功。每個人或者獲得成功或者失敗過。有些人未曾失敗過，所以，有些人不怕困難。解：首先定義如下謂詞：是人怕困難曾獲得成功曾獲得失敗于是命題符號化為：推理如下： （1） P （2） ES（1） （3） T（2） （4） T（2） （5） P （6） US（5） （7） T（3）（6） （8） T（4）（7） （9） P （10） US（9）

24、（11） T（8）（10） （12） T（11） （13） T（3）（12） （14） T（3）（13） （15） EG（14）6.試找出下列推導(dǎo)過程中的錯誤，并問結(jié)論是否有效？如果有效，寫出正確的推導(dǎo)過程。 解：錯誤，第2行的y是泛指，第4行的y是特制更改如下： （1） P （2） ES（1） （3） P （4） US（3） （5） T（2）（4） （6） EG（5）7.用構(gòu)成推導(dǎo)過程的方法證明下列蘊含式。（1） 證明：（2）證明： （1） P （2） T（1） （3） T（2） （4） T（3） （5） T（4）2.3第46頁1.將下列公式化為前束范式。（1）解： （2）解：（3）解：2.

25、求等價于下面公式的前束主析取范式與前束主合取范式。（1）解：前束主析取范式：前束主合取范式：（2）解：前束析取范式由于是基本和，因此前束合取范式與前束析取范式一樣：（3）前束主析取范式：前束主合取范式與前束主析取范式相同。（4）解：前束析取范式：前束合取范式：3.將下列公式化為斯柯林范式。（1）（2）第三章 集合論3.1第50頁1.解：(1) 集合可表示為(2) 集合可表示為(3) 集合可表示為(4) 集合可表示為(5) 集合可表示為2.解：設(shè)戲劇、音樂、廣告分配的時間分別為(1) 可表示為(2) 可表示為(3) 可表示為(4) 可表示為3.給出集合、和的例子，使得，而。解：4.(1) 該命題

26、為假命題(2) 該命題為假命題(3) 該命題為真命題證明：任取，由于，所以必有。又，所以必有。即對于任意的，都有，所以如果且，則。(4) 該命題為假命題(5) 該命題為假命題。5.解：可能。若，則且。8.(1) 解：設(shè) 則(2)解：設(shè)則(3) 解：設(shè)則(4) 解：設(shè) 則(5)解：設(shè)則9.解： (1) ，(2) ，(3) ，10.證明：充分性： ， 充分性得證。必要性： 必要性得證。11.（1）解：子集個數(shù)（2）解：元素的奇數(shù)的子集個數(shù)為（3）解：不會有102個元素的子集。12.解：把17化為二進制，是00010001，；把31化為二進制，是00011111，編碼為01000110，為，編碼為1

27、0000001，為3.2 第59頁1.解： 2. 解： 4.解： (1) (2) (3) (4) 5.證明：充分性：由于 所以，即 充分性得證。 必要性：由于 所以 所以 必要性得證。6.（1）證明： 上面是一種簡單的方法，還可以利用文字敘述，任取x屬于，。證明。還有一種方法，就是利用第五章的特征函數(shù)證明，下面給出過程所以，從而可得，。（2）證明： （3）證明：因此，7.解: 8.(1) 證明： 證明BA。充分性：若，則若，那么必有。因此，若，則必有，即若xB，則有xA，即BA；必要性：若BA，則若xB，則有xA，即若，則必有。那么，若，那么必有，即；由以上兩點可知：BA。 證明：AB=B 充

28、分性：若，那么有或。 若，則由可知，必有，所以若，必有，即； 若，那么必有，即，所以AB=B，充分性得證； 必要性：因為AB=B，所以，對于任意的，必有，所以，必要性得證； 由以上兩點可知：AB=B 證明：AB=A 充分性：若，那么必有，即；若，那么由可知，必有，所以，即，所以，AB=A； 必要性：因為AB=A，所以對于任意的，必有，所以；由以上兩點可知，AB=A。由以上三點可知，BA AB=BAB=A。(2) 證明:AB 充分性：因為，所以對于任意的，若，則必有，即xB，所以AB； 必要性：因為AB，所以對于任意的，若，則必有xB，即，所以；由以上兩點可知：AB 證明：BA 充分性：因為，所

29、以對于任意的，若，則必有，即xA，所以BA； 必要性：因為BA，所以對于任意的，若，則必有xA，即，所以；由以上兩點可知：BA.由上可知：ABBA.(3) 證明：AB=EAB充分性：因為 AB=E，所以若，則必有，即若xA，則必有，所以AB；必要性：因為AA=E，又AB，必有AB=E；由以上兩點可知：AB=EAB 證明：AB=EBA充分性：因為 AB=E，所以若，則必有，即若xB，則必有，所以BA；必要性：因為BB=E，又BA，必有AB=E；由以上兩點可知：AB=EBA.由上可知：AB=EABBA.。(4) 證明：A=BAB=充分性：由于A=B，所以AB=,BA= 所以AB=ABBA=必要性：

30、因為AB=ABBA= 所以AB=且BA= 因為AB=，所以AB 又BA=，所以BA 所以A=B。由上可知：A=BAB=。9.(1) 解：不一定。 若，此時有，但。(2) 解：不一定。 若，此時有，但。(3) 解：一定有。10.（1）解：由于，因此必有且。也就是并且。（2）解：由于，因此必有且。也就是并且。（3）解： 因此，意味著（4）解： 兩種可能，第一種，即B=C；第二種，或者因此，此題答案為。12.證明： 因此，。3.3第62頁1.解： 設(shè)A，B，C分別表示參加足球隊、籃球隊和棒球隊的隊員的集合即同時參加兩個對的隊員共有18個。2. 解：設(shè)A，B，C分別表示讀甲種、乙種、丙種雜志的學(xué)生的集

31、合。(1) 所以確定讀兩種雜志的學(xué)生的百分比為60%。(2) 所以不讀任何雜志的學(xué)生的百分比為30%。3. 解：設(shè)A，B，C分別表示騎木馬、坐滑行軌道和乘宇宙飛船的兒童集合。由公園的總收入知，因此，沒有坐過任何一種的兒童總數(shù)為答：一共10個兒童沒有坐過其中任何一種游樂設(shè)備。4.解：用A，B分別表示在第一次考試和第二次考試中得A的學(xué)生的集合。(1) 又 ，則所以有14個學(xué)生兩次考試都取得A。(2) 又，則所以有34個學(xué)生在兩次考試中都取得A。所以有6個學(xué)生僅在第一次考試中取得A。所以有6個學(xué)生僅在第二次考試中取得A。5.解：設(shè)A，B，C分別是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、生物的大一學(xué)生集合。由題意可知，解方程

32、，得因此，一共有22人三門功課都學(xué)。3.4第66頁1.（1）解：（2）解（3）解：2.解：表示在在笛卡爾坐標系中，且的矩形區(qū)域內(nèi)的點集。3（1）證明：任取,有 由取值的任意性知，。（2）證明： 當時，于是。當時，任取，可知，由知，于是得到。所以，。5.證明： 必要性：若，； 同理，若，； 若，則顯然有； 必要性得證。 充分性性：由于 所以對于任意的,必有 即若則必有；若，則必有，所以當時，； 充分性得證。6,（1）解：任取,有選擇A=1，B=2，C=a，D=b則因此該等式不成立。（2）解：任取,有選擇A=1，2，B=1，C=a，b，D=a因此，該等式不成立。（3）解：設(shè)A=1，2，B=2，C=

33、3，4，D=4則因此，該等式不成立。（4）解：取,有因此，該等式成立。（5）解：任取取,有因此，該等式成立。第四章 二元關(guān)系4.1第69頁1 給出下列關(guān)系R的所有序偶。（1）解：（2）解：2 設(shè)和都是從到的二元關(guān)系，并且求、。解：3 用L表示“小于或等于”，D表示“整除”，這里表示“x整除y”。L和D都定義于集合1,2,3,4,5,6上。試把L和D表示成集合，并求出。解：7，如果關(guān)系R和S都是自反的。證明：，也是自反的。證明：設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系，S是集合B上的二元關(guān)系。因為R和S都是自反的，所以對于都有，對于都有。（1）設(shè)，那么或。若，有，那么必有。若，有，那么必有。因此，當時，必有，所

34、以也是自反的。（2）設(shè)，那么因此且，即。所以也是自反的。8，如果關(guān)系R和S都是自反的、對稱的、可傳遞的，證明：也是自反的、對稱的和可傳遞的。證明：設(shè)R是集合A上的二元關(guān)系，S是集合B上的二元關(guān)系。自反性的證明如題4。 對于任意的，若，那么且因為R和S都是對稱的，所以且，所以。即對于任意的，若，則必有，所以是對稱的。 對于任意，若且，那么有。因為R和S都是可傳遞的，所以有且，即。即對于任意，若且，都有。所以是可傳遞的。10，給定 集合和S中的關(guān)系，關(guān)系R有哪幾種性質(zhì)。解：R是不自反的，對稱的，不可傳遞的。不自反性：當x=5時，；當x是集合S中的其他數(shù)時， 因此，R不是自反的，也是反自反的。對稱性

35、：對于任意的，若有，那么，則必有即。即對于任意的，若有，則必有。所以R是對稱的。不可傳遞性：舉反例即可。由此可知，且，但是。所以R是不可傳遞的。11，給出滿足下列要求的二元關(guān)系的實例。（1） 既是自反的又是反自反的。（2） 既不是自反的又不是反自反的。（3） 既是對稱的又是反對稱的。（4） 既不是對稱的又不是反對稱的。解：（1）空集上的二元關(guān)系。 （2）, ，R是集合A上的二元關(guān)系。（3）空集上的二元關(guān)系。（4）,R是集合A上的二元關(guān)系。4.2第78頁1 給定集合，R是X中的關(guān)系，并可表示成試畫出R的關(guān)系圖，并寫出對應(yīng)的關(guān)系矩陣。解： 關(guān)系圖如下：2. 設(shè)集合，則集合X中有多少個二元關(guān)系。解：有個二元關(guān)系。3.設(shè)X是具有n個元素的有窮集合，證明:X中有個二元關(guān)系。證明：集合X中的每個二元關(guān)系都是的子集，有個元素，有個元素，有 個元素，每一個元素都是的一個子集，也是一種二元關(guān)系，因而，在中有個不同的二元關(guān)系。4給定集合。圖4-6給出了X中的關(guān)系R的12個關(guān)系圖。對于每個關(guān)系圖，寫出相應(yīng)的關(guān)系矩陣，并證明被表達的關(guān)系是否是自反的或反自反的；是否是對稱的或反對稱