《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題13 平面向量基本定理及其應(yīng)用 文（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題13 平面向量基本定理及其應(yīng)用 文（含解析）（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題13平面向量基本定理及其應(yīng)用 一、本專題要特別小心： 1.平面向量基本定理的應(yīng)用問題 2. 基本定理的兩條路徑法表示向量問題 3. 數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用 4.向量于線性規(guī)劃問題等綜合問題 5. 向量的坐標表示及運算性質(zhì) 6.向量共線與垂直的坐標表示 7.向量與數(shù)列的綜合 8.向量與解析幾何的綜合 二．【學(xué)習(xí)目標】 1．了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標表示． 2．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算，理解用坐標表示平面向量共線和垂直的條件． 三．【方法總結(jié)】 1.向量的坐標表示主要依據(jù)平面向量的基本定理，平面向量實數(shù)對(x，y)，任

2、何一個平面向量都有唯一的坐標表示，但是每一個坐標所表示的向量卻不一定唯一.也就是說，向量的坐標表示和向量不是一一對應(yīng)的關(guān)系，但和起點為原點的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系。 2.已知向量的始點和終點坐標求向量的坐標時，一定要搞清方向，用對應(yīng)的終點坐標減去始點坐標.本講易忽略點有二：一是易將向量的終點坐標誤認為是向量坐標；二是向量共線的坐標表示易與向量垂直的坐標表示混淆. 3.向量的坐標表示，實際上是向量的代數(shù)表示，在引入向量的坐標表示后，可以使向量運算完全代數(shù)化，把關(guān)于向量的代數(shù)運算與數(shù)量的代數(shù)運算聯(lián)系起來，從而把數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這樣很多幾何問題，特別像共線、共點等較難問題的證明，就轉(zhuǎn)化為熟知的

3、數(shù)量運算，也為運用向量坐標運算的有關(guān)知識解決一些物理問題提供了一種有效方法. 四．【題型方法】 （一）平面向量基本定理 例1. 已知是正方形的中心．若，其中，則（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 本題正確選項： 練習(xí)1. 在平行四邊形中，若則( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如圖所示,?? 平行四邊形中, ,?， ，,? 因為,?所以 ,?， 所以，故選C. 練習(xí)2.在中，若點滿足，點為中點，則=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出圖形如下， ,故選A 練習(xí)

4、3.已知平行四邊形的對角線分別為，，且，點是上靠近的四等分點，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，因為，且點是上靠近的四等分點， ∴，， ∴， ∵，， ∴. 故選：B． （二）由平面向量基本定理求最值 例2. 在邊長為的正方形中，點為線段的中點，點在線段上，則的最大值為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)線段的中點為， 連接，則，易得， 所以的最大值為，故選C． 練習(xí)1. 已知點G是△ABC內(nèi)一點，滿足++=，若∠BAC=，?=1，則||的最小值是（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】

5、因為++=，所以G是△ABC重心，因此， 從而 ,選A.(當且僅當時取等號) 練習(xí)2.正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，動點P滿足，若，其中m、n?R，則的最大值是________ 【答案】 【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1）， 又，所以，則， 其幾何意義為過點E（﹣3，﹣2）與點P（sinθ，cosθ）的直線的斜率， 設(shè)直線方程為y+2k（x+3），點P的軌跡方程為x2+y2＝1， 由直線與圓的位置關(guān)系有：，解得：，即的最大值是1， 故答案為：1 練習(xí)3.已知是等邊的外接圓，其半徑為4，是所在平面

6、內(nèi)的動點，且，則的最大值為( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】結(jié)合題意，繪制圖形，可知 ，代入得到 故 而故要計算最大值，可知當?shù)臅r候，取到最大值，故最大值為，故選C。 練習(xí)4.如圖，，點是線段AB上的一個動點，D為OB的中點，則的最小值為______________. 【答案】 【解析】選取為基向量，設(shè)，其中， 因為D為OB的中點，所以，所以， 所以， 因為，所以當時，取得最小值，為，故答案為． （三）平面向量基本定理求參數(shù) 例3.如圖，在中，點在邊上，且，過點的直線與直線，分別交于兩點（不與點重合），若，，則（ ）

7、 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得：，即： 又三點共線，設(shè)：，則： 整理可得： 則：，即： 本題正確選項： 練習(xí)1.已知平面內(nèi)的兩個單位向量，，它們的夾角是60°，與、向量的夾角都為30°，且，若，則值為（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】由題意，可得在的角平分線上，所以, 再由可得，即， 再由， 得， 解得，故，所以，故選D. 練習(xí)2.如圖,在梯形中, , 為線段上一點,且，為的中點, 若（， ）,則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，根據(jù)向

8、量的運算法則，可得： 又因為，所以， 所以，故選B. 練習(xí)3.已知菱形的邊長為2，，點，分別在邊，上，，，若，則的值為（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由題意可得： ， 且：， 故，解得：. 故選：B. （四）平面向量基本定義與幾何意義 例4. 在中，為的重心，為上一點，且滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，畫出幾何圖形如下圖所示： 根據(jù)向量加法運算可得，因為G為△ABC的重心，M滿足 所以，，所以 所以選B 練習(xí)1. ．如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點

9、，若，則等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由平面向量基本定理，化簡 ，所以，即， 故選：A． 練習(xí)2.在梯形中，，，，，，若，則的值為_______． 【答案】7 【解析】∵AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∴， ∵，∴， ∴， ∴（）?（）3， 即93，∴4． 又， ∴?（）9﹣2＝7． 故答案為：7． 練習(xí)3.如圖，在中，，是線段上一點，若，則實數(shù)的值為__． 【答案】 【解析】設(shè), , , 已知,所以有. （五）平面向量基本定理的兩條路徑表示法 例5.如圖，在?OACB中，E是AC的中點，F(xiàn)是BC上

10、的一點，且BC=3BF，若=m，其中m，n∈R，則m+n的值為（　?。? A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行四邊形中 因為E是AC中點， 所以 所以,因為，所以 所以，因為，所以 ，解得 所以 故選C 練習(xí)1．如圖，在的邊AB、AC上分別取點M、N，使，BN與CM交于點P，若，，則的值為　　 A． B． C． D．6 【答案】D 【解析】由題意， ， 根據(jù)平面向量基本定理，可得， ，．故選D． 練習(xí)2．如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____. 【答案】. 【解

11、析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD. ， 得即故. 練習(xí)3.如圖，在中，若，，線段的中點為，的中點為，的中點為，若，則_____． 【答案】 【解析】由題意，因為為中點，所以， 因為為中點，所以， 因為為中點，，∴，∴,而 ∴,∴, 故答案為：． 練習(xí)4.已知在內(nèi)，且，，則____． 【答案】 【解析】如圖， 設(shè)BO與AC相交于D，則由，可得， 設(shè)CO與AB相交于E，則由，可得， 因B,O,D三點共線，故存在實數(shù)m， 使， 因C,O,E三點共線，故存在實數(shù)n，使得 ，

12、 所以，解得， ，所以，， 故答案是：. （六）平面向量基本定理與坐標系 例6. 已知等邊的邊長為2，若，，則的面積為_______． 【答案】 【解析】以的中點為原點，所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系， 則 因為, 所以， 故，， 設(shè)的夾角為，， 所以，， 點到直線的長度為，的面積為. 練習(xí)1. 如圖，點是單位圓與軸正半軸的交點，． （I）若，求的值； （II）設(shè)點為單位圓上的一個動點，點滿足．若，表示，并求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）點是單位圓與軸正半軸的交點，． 可得，，∴． （Ⅱ）因為，，所以， 所以，因為， 所以， 的最大值． 練習(xí)2. 在平面直角坐標系中，已知點，動點P滿足，其中，則點P落在三角形里面的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以，為鄰邊做平行四邊形，延長至E，使得， ∵，且， ∴P點位于平行四邊形的內(nèi)部（包含邊界）， 則點P落在三角形里面的概率， 故選：A. 16