《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題01 任意角的三角函數(shù)和弧度制 文（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)、三角形、平面向量 專題01 任意角的三角函數(shù)和弧度制 文（含解析）（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題01 任意角的三角函數(shù)和弧度制 一、本專題要特別小心： 1.角的范圍問題 2.誘導(dǎo)公式的符號(hào)問題 3.象限角 4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 5.“1”的妙用 6.三角函數(shù)線的應(yīng)用 7.角的一致性 8.三角化簡形式、名稱、角的一致原則 二．方法總結(jié)： 1.化簡過程中，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可將不同名的三角函數(shù)化成同名三角函數(shù). 2.運(yùn)用誘導(dǎo)公式，可將任意角的求值問題轉(zhuǎn)化成銳角的求值問題. 3.注意“1”的靈活運(yùn)用，如1＝sin2θ＋cos2θ等. 4.化簡三角函數(shù)式時(shí)，要注意觀察式子的特征，如關(guān)于sin θ，cos θ的齊次式可轉(zhuǎn)化為tan θ的式子，注意弦切互化

2、. 5.解題時(shí)要充分挖掘題目條件中隱含的條件，盡可能縮小角的范圍. 三．【題型方法規(guī)律總結(jié)】 （一）弧長公式的應(yīng)用 例1．如圖是一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長為4R，則這個(gè)扇形所含弓形（陰影區(qū)域）的面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， S弓形＝S扇形﹣S三角形＝R2﹣sin1?cos1?R2 故選：D． 練習(xí)1. 下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） A．終邊經(jīng)過點(diǎn)的角的集合是 B．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是 C．若是第三象限角，則是第二象限角，為第一或第二象限角 D．，，則 【答案】C 【解析】

3、因?yàn)棣翞榈谌笙藿?，即k∈Z， 所以， k∈Z當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)它是第四象限，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)它是第二象限的角．4，k∈Z．所以2α的終邊的位置是第一或第二象限，y的非正半軸．故答案為:C 練習(xí)2. 已知圓與直線相切于點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著直線向右、沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接，（如圖），則陰影部分面積，的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D．先，再，最后 【答案】A 【解析】如圖所示，因?yàn)橹本€與圓相切，所以， 所以扇形的面積為，, 因?yàn)椋陨刃蜛OQ的面積, 即， 所以， 練習(xí)3.鐘撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)了________弧

4、度，時(shí)針轉(zhuǎn)了________度． 【答案】 2.5 【解析】將時(shí)鐘撥慢5分鐘，分針、時(shí)針都是按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過的角都是正角，這時(shí)，分針轉(zhuǎn)過的角度是，即（弧度），時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是． 故答案為，2.5. 練習(xí)4. 如圖，單位圓Q的圓心初始位置在點(diǎn)（0，1），圓上一點(diǎn)P的初始位置在原點(diǎn)，圓沿x軸正方向滾動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P第一次滾動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；當(dāng)圓心Q位于點(diǎn)（3，1）時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______． 【答案】 【解析】由題意，作輔助圖形，如圖所示， 當(dāng)點(diǎn)P第一次滾動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P向右滾動(dòng)了圓的半個(gè)周長，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為； 當(dāng)圓心Q

5、位于（3，1）時(shí)，此時(shí)圓心角為3，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為， 縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 故答案為：，． （二）象限角 例2. 已知是第二象限角，則（ ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 【答案】D 【解析】對(duì)于A，∵是第二象限角， ∴，， ∴，，∴是第一象限或第三象限角，故錯(cuò)誤； 對(duì)于B，由可知是第一象限或第三象限角，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵是第二象限角， ∴，，∴是第三象限或第四象限角，，故錯(cuò)誤； 對(duì)于D，∵是第二象限角，∴，，∴，， ∴是第三象限或第四象限角，故正確；故選：D． 練習(xí)1. 已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于9

6、0°的角}，那么A，B，C的關(guān)系是（ ） A． B． C．ABC D． 【答案】B 【解析】∵A={第一象限角}=；B={銳角}=；C={小于90°的角}=． ∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B?C，且B?A， 則B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等， 由集合間的關(guān)系可得． 故選B． 練習(xí)2. 若=，則的取值范圍是(　　 ) A． B． C． D． (以上) 【答案】D 【解析】∵sin2x+cos2x＝1，即cos2x＝1﹣sin2x＝（1+sinx）（1﹣sinx）， ∴， ∵， ∴cosx＜0， ∴x的范圍為2k

7、π＜x2kπ（k∈Z）． 故選：D． （三）三角函數(shù)的符號(hào)問題 例3. 若α是第四象限角，則a＝的值為(　　) A．0 B．2 C．－2 D．2或－2 【答案】A 【解析】∵α是第四象限角，∴+2kπ＜α＜2π+2kπ，k∈Z， ∴+kπ＜＜π+kπ，k∈Z，∴是第二或第四象限角， 當(dāng)是第二象限角時(shí)，a＝＝0. 當(dāng)是第四象限角時(shí)，a＝－＝0. 故選A. 練習(xí)1. 在中，若，那么是 （ ） A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定 【答案】A 【解析】∵

8、在中，，∴，∴為銳角． 又，∴，∴， ∴為銳角，∴為銳角三角形． 故選A． 練習(xí)2. 化簡等于（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式, 因?yàn)? 所以. 所以.故選A. 練習(xí)3.化簡( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 又，所以sin4<0,cos4<0, 則， 故選：D 練習(xí)4．化簡的結(jié)果為（ ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 【解析】 因?yàn)樗栽? 故選：A. （四）三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化 例4. 《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)

9、算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為：弧田面積=（弦×矢+矢2），弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑等于米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是 A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【解析】如圖，由題意可得：∠AOB=，OA=4， 在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=， 可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO?sin=4×=2， 可得：弦=2AD=2×2=4，所以：弧田面積=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．

10、故答案為：B． 練習(xí)1,。王小二一道題：的值是多少？王小二微笑著告訴王小一：就等于的值，你認(rèn)為王小二說得對(duì)嗎？________（對(duì)或不對(duì)） 【答案】對(duì). 【解析】 . 所以說得對(duì)。 （五）三角函數(shù)定義的應(yīng)用 例5. 已知為銳角，角的終邊過點(diǎn)，，則（ ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由角的終邊過點(diǎn)，得，, .又，所以，， 故選:. 練習(xí)1. 若點(diǎn)在第一象限， 則在內(nèi)的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】點(diǎn)在第一象限，，如下圖所示： 在內(nèi)的取值范圍是，本題選A. 練習(xí)2.，，，則的大小關(guān)

11、系為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵tan1＞1＞sin1＞cos1＞0， a＝logsin1cos1，b＝logsin1tan1，c＝logcos1sin1，d＝logcos1tan1， ∴a＝logsin1cos1＞logsin1sin1＝1，0

12、數(shù) 例6. 設(shè)函數(shù)，若角的終邊經(jīng)過，則的值為（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過，所以，所以，則，故選C 練習(xí)1. ．，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，，且， 則. 故選：C． （七）解三角不等式 例7. 使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】2sinx≥0 解得：sinx 進(jìn)一步利用單位圓解得：（k∈Z） 故選：C． 練習(xí)1.四個(gè)命題：①集合若則的取值范圍為；②函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);③函數(shù)的周期為；④角的終邊

13、經(jīng)過點(diǎn)，若則.這四個(gè)命題中，正確的命題有（ ）個(gè). A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】對(duì)于①，A＝?時(shí)，即2m﹣1

14、義和弧度制的綜合 例8. 28．某公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過點(diǎn)O的兩條線段圍成．設(shè)圓弧、所在圓的半徑分別為r1、r2米，圓心角為(弧度)． （1）若，r1＝3，r2＝6，求花壇的面積； （2）根據(jù)公司要求扇環(huán)形狀的花壇面積為32平方米，已知扇環(huán)花壇的直線部分的裝飾費(fèi)用為45元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為90元/米，求當(dāng)裝飾費(fèi)用最低時(shí)線段AD的長． 【答案】（1）9；（2）8. 【解析】（1）設(shè)花壇的面積為S，則S=r22θ﹣r12θ=×36×﹣×9×=9π 所以花壇的面積為9π（m2） （2）的長為r1θ米，的長為

15、r2θ米，線段AD的長為（r2﹣r1）米 由題意知S=r22θ﹣r12θ=（r1θ+r2θ）（r2﹣r1）=32， 則r1θ+r2θ=， 記r2﹣r1=x，則x＞0，裝飾總費(fèi)用為y， 則y=45×2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=90（x+） 根據(jù)均值不等式得到當(dāng)x=8時(shí)，y有最小值為1440， 故當(dāng)線段AD的長為8米時(shí)，花壇的裝飾費(fèi)用最?。? 練習(xí)1.某小區(qū)規(guī)劃時(shí)，計(jì)劃在周邊建造一片扇形綠地，如圖所示已知扇形綠地的半徑為50米，圓心角從綠地的圓弧邊界上不同于A，B的一點(diǎn)P處出發(fā)鋪設(shè)兩條道路PO與均為直線段，其中PC平行于綠地的邊界記其中 當(dāng)時(shí)，求所需鋪設(shè)的道路長：

16、 若規(guī)劃中，綠地邊界的OC段也需鋪設(shè)道路，且道路的鋪設(shè)費(fèi)用均為每米100元，當(dāng)變化時(shí)，求鋪路所需費(fèi)用的最大值精確到1元． 【答案】（1）； （2）元. 【解析】在中，，， 則， 由正弦定理可得，可得， 所需鋪設(shè)的道路長為. 在中，可得 ，， 可得，， 則鋪路所需費(fèi)用為 ， 當(dāng)，，取得最大值1， 則鋪路所需費(fèi)用的最大值為元． 練習(xí)2.如圖所示，有一塊扇形鐵皮，要剪下來一個(gè)扇環(huán)，作圓臺(tái)形容器的側(cè)面，并且在余下的扇形內(nèi)剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺(tái)形容器的下底面(大底面)．試求： （1）的長； （2）容器的容積． 參考公式：圓臺(tái)的體積公式： 分別是上、下底面面積，為臺(tái)體的高） 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）如圖1，設(shè)與圓相切與， 設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓的半徑分別為、， ∵，∴ 在中，，，∴ ∴（）. （2）∵，∴ 圓臺(tái)的軸截面為圖2，圓臺(tái)的高 ∴ 即容器的容積為. 14