《2020版高考數(shù)學新設(shè)計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第3節(jié) 定積分與微積分基本定理習題 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學新設(shè)計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第3節(jié) 定積分與微積分基本定理習題 理（含解析）新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3節(jié)　定積分與微積分基本定理 最新考綱　1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，幾何意義；2.了解微積分基本定理的含義. 知 識 梳 理 1.定積分的概念與幾何意義 (1)定積分的定義 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，當n→∞時，上述和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝ 在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)

2、間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式. (2)定積分的幾何意義 f(x) f(x)dx的幾何意義 f(x)≥0 表示由直線x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積 f(x)＜0 表示由直線x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù) f(x)在[a，b]上有正有負 表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積 2.定積分的性質(zhì) (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù)). (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. (3)f(x)dx＝

3、f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b). 3.微積分基本定理 一般地，如果f(x)是在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)記為F(x)，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a). [微點提醒] 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則有 (1)若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx＝2f(x)dx. (2)若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx＝0. 基 礎(chǔ) 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)設(shè)函數(shù)y＝f(

4、x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)dx＝f(t)dt.(　　) (2)曲線y＝x2與y＝x所圍成的面積是(x2－x)dx.(　　) (3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方.(　　) (4)定積分f(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.(　　) (5)加速度對時間的積分是路程.(　　) 解析　(2)y＝x2與y＝x所圍成的面積是(x－x2)dx. (3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x軸所圍成的圖形在x軸下方的面積比在x軸上方的面積大. (4)定積分

5、f(x)dx等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成圖形的面積的代數(shù)和. (5)加速度對時間的積分是速度，速度對時間的積分才是路程. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.(選修2－2P50A5改編)定積分|x|dx＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　|x|dx＝(－x)dx＋xdx＝2xdx＝x2＝1. 答案　A 3.(選修2－2P60A6改編)已知質(zhì)點的速度v＝10t，則從t＝0到t＝t0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是(　　) A.10t B.5t C.t D.t 解析　S＝vdt＝＝5t. 答案　B

6、 4.(2018·青島月考)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積S，正確的是(　　) A.S＝(4x－x3)dx B.S＝(x3－4x)dx C.S＝dy D.S＝dy 解析　兩函數(shù)圖象的交點坐標是(0，0)，(2，8)，故對x積分時，積分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x≥x3，故直線y＝4x與曲線y＝x3所圍成的封閉圖形的面積S＝(4x－x3)dx. 答案　A 5.(2019·安陽模擬)若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sin xdx，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A.a

7、

8、＋4－＝8. 答案　(1)π　(2)8 規(guī)律方法　運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點： (1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分； (2)若被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，先分段積分再求和； (3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值符號再求積分. 【訓練1】 (1)設(shè)f(x)＝則f(x)dx等于(　　) A. B. C. D.不存在 (2)定積分(x2＋sin x)dx＝________. 解析　(1)如圖， f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝＋＝. (2)(x2＋sin x)dx＝x2dx＋sin xdx＝2

9、x2dx＝2·＝. 答案　(1)C　(2) 考點二　定積分的幾何意義　多維探究 角度1　利用定積分的幾何意義計算定積分 【例2－1】 (1)計算：(2x＋)dx＝________. (2)若 dx＝，則m＝________. 解析　(1)由定積分的幾何意義知， dx表示以原點為圓心，以1為半徑的圓的面積的，所以 dx＝，又2xdx＝x2＝1，所以(2x＋)dx＝＋1. (2)根據(jù)定積分的幾何意義 dx表示圓(x＋1)2＋y2＝1和直線x＝－2，x＝m和y＝0圍成的圖形的面積，又 dx＝為四分之一圓的面積，結(jié)合圖形知m＝－1. 答案　(1)＋1　(2)－1 角度2　利用定積分計

10、算平面圖形的面積 【例2－2】 (一題多解)由拋物線y2＝2x與直線y＝x－4圍成的平面圖形的面積為________. 解析　如圖所示，解方程組得兩交點為(2，－2)，(8，4). 法一　選取橫坐標x為積分變量，則圖中陰影部分的面積S可看作兩部分面積之和，即S＝2dx＋(－x＋4)dx＝18. 法二　選取縱坐標y為積分變量，則圖中陰影部分的面積S＝dy＝18. 答案　18 規(guī)律方法　1.運用定積分的幾何意義求定積分，當被積函數(shù)的原函數(shù)不易找到時常用此方法求定積分. 2.利用定積分求曲邊梯形面積的基本步驟：畫草圖、解方程得積分上、下限，把面積表示為已知函數(shù)的定積分(注意：兩曲線

11、的上、下位置關(guān)系，分段表示的面積之間的關(guān)系). 【訓練2】 (1)計算： dx＝________. (2)已知曲線y＝x2與直線y＝kx(k>0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k＝________. 解析　(1)由定積分的幾何意義知， dx表示圓(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0圍成的圖形的面積，∴ dx＝×π×4＝π. (2)由得或則曲線y＝x2與直線y＝kx(k>0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kx－x2)dx＝＝－k3＝，則k3＝8，∴k＝2. 答案　(1)π　(2)2 考點三　定積分在物理中的應(yīng)用 【例3】 (1)物體A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直線l上

12、運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時以v＝10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時間t(s)為(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點M上，使M沿x軸正向從x＝1運動到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為________ J(x的單位：m，力的單位：N). 解析　(1)因為物體A在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t2＋1)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt. 所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5. 整理得(t

13、－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5. (2)變力F(x)＝x2＋1使質(zhì)點M沿x軸正向從x＝1運動到x＝10所做的功為 W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J). 答案　(1)C　(2)342 規(guī)律方法　定積分在物理中的兩個應(yīng)用 (1)變速直線運動的位移：如果變速直線運動物體的速度為v＝v(t)，那么從時刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的位移s＝v(t)dt. (2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a移動到x＝b時，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx. 【訓練3】 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t

14、的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是(　　) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln C.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2 解析　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)， ∴汽車行駛距離s＝dt ＝ ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案　C [思維升華] 1.定積分是一個數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān). 2.f(x)dx、|f(x)|dx與|f(x)dx|在幾何意義上有不同的含義，由于被積函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可正

15、可負，也就是它的圖象可以在x軸上方、也可以在x軸下方、還可以在x軸的上下兩側(cè)，所以f(x)dx表示由x軸、函數(shù)f(x)的曲線及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和；而|f(x)|是非負的，所以|f(x)|dx表示在區(qū)間[a，b]上所有以|f(x)|為曲邊的正曲邊梯形的面積；而|f(x)dx|則是f(x)dx的絕對值，三者的值一般情況下是不相同的. [易錯防范] 1.若定積分的被積函數(shù)是分段函數(shù)，應(yīng)分段積分然后求和. 2.若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量. 3.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結(jié)果可以為負. 基礎(chǔ)鞏

16、固題組 (建議用時：35分鐘) 一、選擇題 1.(2019·西安調(diào)研)定積分(2x＋ex)dx的值為(　　) A.e＋2 B.e＋1 C.e D.e－1 解析　(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e. 答案　C 2.已知dx＝，則m的值為(　　) A. B. C.－ D.－1 解析　由微積分基本定理得dx＝(ln x－mx))＝m＋1－me，結(jié)合題意得m＋1－me＝，解得m＝. 答案　B 3.(2019·鄭州模擬)汽車以v＝(3t＋2) m/s做變速運動時，在第1 s至第2 s之間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是(　　) A. m B

17、.6 m C. m D.7 m 解析　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m). 答案　A 4.sin2dx等于(　　) A.0 B.－ C.－ D.－1 解析　sin2dx＝dx＝＝－. 答案　B 5.定積分|x－1|dx等于(　　) A.1 B.－1 C.0 D.2 解析　|x－1|dx＝|x－1|dx＋|x－1|dx ＝(1－x)dx＋(x－1)dx ＝＋ ＝＋－＝1. 答案　A 6.如圖，指數(shù)函數(shù)的圖象過點E(2，9)，則圖中陰影部分的面積等于(　　) A. 　　 B.8 C. 　　 D.9 解析　設(shè)指

18、數(shù)函數(shù)為y＝ax(a>0且a≠1)，因為其過點E(2，9)，所以a2＝9，解得a＝3，所以圖中陰影部分的面積S＝3xdx＝＝. 答案　A 7.若f(x)＝f[f(1)]＝1，則a的值為(　　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 解析　因為f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3＝a3，所以由f[f(1)]＝1，得a3＝1，a＝1. 答案　A 8.由y＝x2，y＝，y＝1所圍成的圖形的面積為(　　) A. B. C.2 D.1 解析　如圖所示，陰影部分的面積為 S＝2 ＝2 ＝2＝. 答案　A 二、填空題 9.已知f(x)為偶函

19、數(shù)且f(x)dx＝8，則f(x)dx＝________. 解析　原式＝f(x)dx＋f(x)dx， 因為原函數(shù)為偶函數(shù)，所以在y軸兩側(cè)的圖象對稱，所以對應(yīng)面積相等，即8×2＝16. 答案　16 10.如圖所示，函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y＝1相交形成一個閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是________. 解析　由 解得x1＝0，x2＝2. ∴S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx ＝＝－＋4＝. 答案　 11.(2019·濟南模擬)設(shè)a>0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________. 解析　封閉圖

20、形如圖所示，則dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝. 答案　 12.(2019·廣州調(diào)研)設(shè)f(x)＝則f(x)dx的值為________. 解析　f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx ＝π×12＋＝＋. 答案　＋ 能力提升題組 (建議用時：15分鐘) 13.(一題多解)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為(　　) A.S1

21、.59， 所以S2

22、為________ J. 解析　由題意知，力F(x)所做的功為 W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx ＝5×2＋ ＝10＋＝36(J). 答案　36 16.(2019·長春模擬)在平面直角坐標系xOy中，將直線y＝x與直線x＝1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，圓錐的體積V圓錐＝πx2dx＝x3＝.據(jù)此類比：將曲線y＝2 ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積V＝________. 解析　類比已知結(jié)論，將曲線y＝2ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)為一定積分，被積函數(shù)為π(e)2＝πey，積分變量為y，積分區(qū)間為[0，1]，即V＝πeydy＝πey＝π(e－1). 答案　π(e－1) 12