《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7節(jié) 解三角形應(yīng)用舉例習(xí)題 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第7節(jié) 解三角形應(yīng)用舉例習(xí)題 理（含解析）新人教A版（17頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7節(jié)　解三角形應(yīng)用舉例 最新考綱　能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識方法解決一些與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 知 識 梳 理 1.仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1). 2.方位角 從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2). 3.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等. 4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值. 5.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定

2、理求解. [微點(diǎn)提醒] 1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混. 2.在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯誤. 基 礎(chǔ) 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)東北方向就是北偏東45°的方向.(　　) (2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　　) (3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.(　　) (4)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系

3、.(　　) 解析　(2)α＝β；(3)俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(必修5P11例1改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　) A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析　由正弦定理得＝， 又∵∠CBA＝30°， ∴AB＝＝＝50(m). 答案　A 3. (必修5P15練習(xí)T3改編)如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)

4、測得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝________. 解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形， AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a. 答案　a 4.(2019·雅禮中學(xué)月考)如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A.北偏東10° B.北偏西10° C.南偏東80° D.南偏西80° 解析　由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40°， 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°， 所以∠DBA＝10°， 因此燈塔A在

5、燈塔B的南偏西80°. 答案　D 5.(2017·浙江卷)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________. 解析　如圖，連接正六邊形的對角線，將正六邊形分成六個(gè)邊長為1的正三角形，從而S6＝6××12×sin 60°＝. 答案　 6.(2018·福州模擬)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為________. 解析

6、　因?yàn)閟in∠BAC＝，且AD⊥AC， 所以sin＝， 所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理， 得BD＝ ＝＝. 答案　 考點(diǎn)一　求距離、高度問題　多維探究 角度1　測量高度問題 【例1－1】 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m. 解析　由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝， 解得BC＝

7、300(m). 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m). 答案　100 規(guī)律方法　1.在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵. 2.在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯. 3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 【訓(xùn)練1】 如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔

8、頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(　　) A.5 B.15 C.5 D.15 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝， 所以BC＝15. 在Rt△ABC中， AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15. 答案　D 角度2　測量距離問題 【例1－2】 如圖所示，某旅游景點(diǎn)有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個(gè)小時(shí)的時(shí)間進(jìn)行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時(shí)1 250米，請問：

9、兩位登山愛好者能否在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰？(即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C點(diǎn)) 解　在△ABD中，由題意知，∠ADB＝∠BAD＝30°， 所以AB＝BD＝1 km，因?yàn)椤螦BD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝ km， 在△ACD中， 由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°， 得9＝3＋CD2＋2×CD， 即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km(負(fù)值舍去)， BC＝BD＋CD＝ km， 兩個(gè)小時(shí)小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米， 即2.5千米，而<＝＝2.5， 所以兩位登山愛好者可以在兩個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰. 規(guī)律方法　1.選定或確定要

10、創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解. 2.確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理. 【訓(xùn)練2】 海輪“和諧號”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛，則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時(shí)間為________小時(shí). 解析　設(shè)海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí)，如圖，則由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°.

11、 由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°， 整理，得36x2－9x－10＝0， 解得x＝或x＝－(舍). 所以海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時(shí)間為小時(shí). 答案　 考點(diǎn)二　測量角度問題 【例2】 已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島嶼北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？ 解　如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5x，AC＝5，依題意， ∠BA

12、C＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°， 所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°， 又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船. 規(guī)律方法　1.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解. 2.方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄

13、清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角. 【訓(xùn)練3】 如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 解析　依題意可得AD＝20 m，AC＝30 m， 又CD＝50 m， 所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝＝ ＝＝， 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°， 所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°. 答案　B 考點(diǎn)三　正(余)弦定理在平面幾何中的應(yīng)用 【例3】 (2019·洛陽二模)如圖，已知扇形的圓

14、心角∠AOB＝，半徑為4，若點(diǎn)C是上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合). (1)若弦BC＝4(－1)，求的長； (2)求四邊形OACB面積的最大值. 解　(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4， 所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝， 所以∠BOC＝， 于是的長為×4＝π. (2)設(shè)∠AOC＝θ，θ∈，則∠BOC＝－θ， S四邊形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝×4×4sin θ＋×4×4·sin＝24sin θ＋8cos θ＝16sin， 由于θ∈， 所以θ＋∈， 當(dāng)θ＝時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值16. 規(guī)律方法　1.把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)

15、三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解. 2.尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時(shí)要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合起來. 【訓(xùn)練4】 (2019·成都診斷)如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE＝1，連接EC，ED.若∠CED＝，EC＝. (1)求sin∠BCE的值； (2)求CD的長. 解　(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝， 因?yàn)锽＝，BE＝1，CE＝， 所以sin∠BCE＝＝＝. (2)因?yàn)椤螩ED＝B＝，所以∠DEA＝∠BCE， 所以cos∠DEA＝＝＝＝.

16、 因?yàn)锳＝，所以△AED為直角三角形，又AE＝5， 所以ED＝＝＝2. 在△CED中， CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49. 所以CD＝7. [思維升華] 利用解三角形解決實(shí)際問題時(shí)：(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個(gè)三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗(yàn)問題的實(shí)際意義. [易錯防范] 在三角形和三角函數(shù)的綜合問題中，要注意邊角關(guān)系相互制約，推理題中的隱含條件. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.

17、在相距2 km的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為(　　) A. km B. km C. km D.2 km 解析　如圖，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝， ∴AC＝2×＝(km). 答案　A 2.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為(　　) A.①② B.②③ C.

18、①③ D.①②③ 解析　對于①③可以利用正弦定理確定唯一的A，B兩點(diǎn)間的距離，對于②直接利用余弦定理即可確定A，B兩點(diǎn)間的距離. 答案　D 3.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析　如圖所示，易知， 在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根據(jù)正弦定理得＝， 解得BC＝10(海里).

19、答案　A 4.(2019·深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200 m高度處進(jìn)行測繪，測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°和60°，則塔高為(　　) A. m B. m C. m D. m 解析　如圖所示. 在Rt△ACD中可得CD＝＝BE， 在△ABE中，由正弦定理得＝， 則AB＝，所以DE＝BC＝200－＝(m). 答案　A 5.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(　　) A.240(－1)m B.180(－1)m C.120(－1)m D.30(＋1)m 解析　如

20、圖， ∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m， 在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)， ∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m). 答案　C 二、填空題 6.如圖，在△ABC中，B＝45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB＝________. 解析　在△ACD中，由余弦定理可得 cos C＝＝， 則sin C＝. 在△ABC中，由正弦定理可得＝， 則AB＝＝＝. 答案　 7.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口

21、，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米. 解析　連接OC，由題意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°. 在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即OC＝50. 答案　50 8.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cos θ的值為_

22、_______. 解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800?BC＝20. 由正弦定理，得＝ ?sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝. 答案　 三、解答題 9.如圖，航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛

23、機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)母叨葹槎嗌倜祝??。?.4，＝1.7) 解　如圖，作CD垂直于AB的延長線于點(diǎn)D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m). 又在△ABC中，＝， 所以BC＝×sin 15°＝10 500(－). 因?yàn)镃D⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC ＝10 500(－)×＝10 500(－1) ≈7 350(m). 故山頂?shù)母叨葹?0 000－7 350＝2 650(m). 10.在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝BD

24、，求AD的長. 解　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝3. 又由正弦定理，得sin B＝＝＝， 由題設(shè)知0

25、H與水平地面ABO的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B兩地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米.A地測得該儀器在C處的俯角為∠OAC＝15°，A地測得最高點(diǎn)H的仰角為∠HAO＝30°，則該儀器的垂直彈射高度CH為(　　) A.210(＋)米 B.140米 C.210米 D.20(－)米 解析　由題意，設(shè)AC＝x米，則BC＝(x－40)米，在△ABC內(nèi)，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC， 即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米). 在△ACH中，AC＝420

26、米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：＝. 可得CH＝AC·＝140(米). 答案　B 12.校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上.若國歌時(shí)長為50 s，升旗手應(yīng)以________m/s的速度勻速升旗. 解析　依題意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°， ∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°. 由正弦定理可知

27、＝， ∴AC＝·sin∠CEA＝20 m. ∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m. ∵國歌時(shí)長為50 s，∴升旗速度為＝0.6 m/s. 答案　0.6 13.某人為測出所住小區(qū)的面積，進(jìn)行了一些測量工作，最后將所住小區(qū)近似地畫成如圖所示的四邊形，測得的數(shù)據(jù)如圖所示，則該圖所示的小區(qū)的面積是________km2. 解析　如圖，連接AC，由余弦定理可知AC＝＝， 故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°， 由＝， 得AD＝＝， 故S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2). 答案　 14.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC. (1)求sin∠ABD的值； (2)若∠BCD＝，求CD的長. 解　(1)∵AD∶AB＝2∶3， ∴可設(shè)AD＝2k，AB＝3k(k>0). 又BD＝，∠DAB＝，∴由余弦定理， 得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos， 解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3， sin∠ABD＝＝＝. (2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝， ∴sin∠DBC＝，∴＝， ∴CD＝＝. 17