《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性習(xí)題 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性習(xí)題 理（含解析）新人教A版（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 最新考綱　1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性. 知 識(shí) 梳 理 1.函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱 奇函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使

2、得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. [微點(diǎn)提醒] 1.(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. 3.函數(shù)周期性常用結(jié)論 對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x

3、)，則T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0). 4.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論 (1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱. (2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱. (3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱. 基 礎(chǔ) 自 測(cè) 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝x2在x∈(0，＋∞)時(shí)是偶函數(shù).(　　) (

4、2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期.(　　) (4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱.(　　) 解析　(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)錯(cuò). (2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，其在x＝0處有意義時(shí)才滿足f(0)＝0，(2)錯(cuò). (3)由周期函數(shù)的定義，(3)正確. (4)由于y＝f(x＋b)的圖象關(guān)于(0，0)對(duì)稱，根據(jù)圖象平移變換，知y＝f(x)的圖象關(guān)于(b，0)對(duì)稱，正確. 答

5、案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　) A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝|ln x| D.y＝2－x 解析　根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)定義域?yàn)?0，＋∞)，不具有奇偶性；D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). 答案　B 3.(必修4P46A10改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1)時(shí)，f(x)＝則f＝________. 解析　由題意得，f＝f＝－4×＋2＝1. 答案　1

6、 4.(2019·衡水模擬)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A.y＝x3 B.y＝x C.y＝|x| D.y＝|tan x| 解析　對(duì)于A，y＝x3為奇函數(shù)，不符合題意； 對(duì)于B，y＝x是非奇非偶函數(shù)，不符合題意； 對(duì)于D，y＝|tan x|是偶函數(shù)，但在區(qū)間(0，＋∞)上不單調(diào)遞增. 答案　C 5.(2017·全國(guó)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________. 解析　∵x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上為奇函數(shù)， ∴f(2)＝－f(

7、－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 答案　12 6.(2019·上海崇明二模)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)＝________. 解析　當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]， 又f(x)在R上是以2為周期的偶函數(shù)， ∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x). 答案　log2(3－x) 考點(diǎn)一　判斷函數(shù)的奇偶性 【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)

8、＝ 解　(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}， 從而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (2)由得定義域?yàn)?－1，0)∪(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ∵當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， 則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 當(dāng)x>0時(shí)，－x<0， 則f(－x)＝(－x

9、)2－x＝x2－x＝－f(x)； 綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 規(guī)律方法　判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件： (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域； (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立. 【訓(xùn)練1】 (1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　) A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x C.y

10、＝2x＋ D.y＝x2＋sin x (2)已知f(x)＝，g(x)＝，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.f(x)＋g(x)是偶函數(shù) B.f(x)＋g(x)是奇函數(shù) C.f(x)g(x)是奇函數(shù) D.f(x)g(x)是偶函數(shù) 解析　(1)對(duì)于A，定義域?yàn)镽，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，為奇函數(shù)；對(duì)于B，定義域?yàn)镽，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，為偶函數(shù)；對(duì)于C，定義域?yàn)镽，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，為偶函數(shù)；對(duì)于D，y＝x2＋sin x既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù). (2)令h(x

11、)＝f(x)＋g(x)， 因?yàn)閒(x)＝，g(x)＝， 所以h(x)＝＋＝， 定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞). 因?yàn)閔(－x)＝＝＝h(x)， 所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)， 令F(x)＝f(x)g(x)＝， 定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞). 所以F(－x)＝＝， 因?yàn)镕(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)， 所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 答案　(1)D　(2)A 考點(diǎn)二　函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 【例2】 (1)(一題多解)(2018·全國(guó)Ⅱ卷)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋

12、x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A.－50 B.0 C.2 D.50 (2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析　(1)法一　∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x). ∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x). 因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)， 由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2， 故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0

13、令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2， 令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0， 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. 法二　取一個(gè)符合題意的函數(shù)f(x)＝2sin，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2. (2)因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x.

14、又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0， 則f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè). 答案　(1)C　(2)7 規(guī)律方法　1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間. 2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.第(1)題法二是利用周期性構(gòu)造一個(gè)特殊函數(shù)，優(yōu)化了解題過(guò)程. 【訓(xùn)練2】 (1)(2018·南充二模)設(shè)f(x)是周期為4的奇函

15、數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1＋x)，則f＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2).若當(dāng)x∈[－3，0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. 解析　(1)∵f(x)是周期為4的奇函數(shù)， ∴f＝－f＝－f， 又0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1＋x)， 故f＝－f＝－＝－. (2)∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)， 又f(x)在R上是偶函數(shù)， ∴f(1)＝

16、f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6. 答案　(1)A　(2)6 考點(diǎn)三　函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用　多維探究 角度1　函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 【例3－1】 (2019·石家莊模擬)設(shè)f(x)是定義在[－2b，3＋b]上的偶函數(shù)，且在[－2b，0]上為增函數(shù)，則f(x－1)≥f(3)的解集為(　　) A.[－3，3] B.[－2，4] C.[－1，5] D.[0，6] 解析　因?yàn)閒(x)是定義在[－2b，3＋b]上的偶函數(shù)， 所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3， 由函數(shù)f(x)在[－6，0]上為增函數(shù)，得f(x)在(0，6]上為減函數(shù).故f(x－1)≥f(3)?f

17、(|x－1|)≥f(3)?|x－1|≤3，故－2≤x≤4. 答案　B 規(guī)律方法　1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性. 2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的討論，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程. 角度2　函數(shù)的奇偶性與周期性 【例3－2】 (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋5)＝f(x)，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝x3－3x，則f(2 018)＝(　　) A.2 B.－18 C.18 D.－2 (2)(2018·洛陽(yáng)模擬)已知函數(shù)y＝f(x)滿足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，且f(1)

18、＝，設(shè)F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(3)＝(　　) A. B. C.π D. 解析　(1)∵f(x)滿足f(x＋5)＝f(x)， ∴f(x)是周期為5的函數(shù)， ∴f(2 018)＝f(403×5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)， ∵f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝x3－3x， ∴f(－2)＝－f(2)＝－(23－3×2)＝－2，故f(2 018)＝－2. (2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，則f(x＋2)＝f(x－2). ∴f(x＋4)＝f(x)，則y＝f(x)的周期為4.

19、 所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝. 答案　(1)D　(2)B 規(guī)律方法　周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. 【訓(xùn)練3】 (1)(2019·重慶九校模擬)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝－x，則f(－16)＝________. (2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).

20、如果實(shí)數(shù)t滿足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范圍是________. 解析　(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，則有f(x)＝f(6－x)， 又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)， 則有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)， 則f(x)的最小正周期是12， 故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2. (2)由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 所以f(ln t)＝f， 由f(ln t)＋f≤2f(1)， 得f(ln t)≤f(1). 又函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)， 所以|ln t|≤

21、1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e. 答案　(1)2　(2) [思維升華] 1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件. 2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問(wèn)題： (1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性. 3.在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用. [易錯(cuò)防范] 1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件. 2.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖

22、象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆. 數(shù)學(xué)運(yùn)算——活用函數(shù)性質(zhì)中“三個(gè)二級(jí)”結(jié)論 數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，通過(guò)運(yùn)算能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.通過(guò)常見(jiàn)的“二維結(jié)論”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程，使學(xué)生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神. 類型1　奇函數(shù)的最值性質(zhì) 已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0

23、. 【例1】 設(shè)函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________. 解析　顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽， f(x)＝＝1＋， 設(shè)g(x)＝，則g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)為奇函數(shù)， 由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案　2 類型2　抽象函數(shù)的周期性 (1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T＝2a. (2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T＝2

24、a. (3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T＝2a. 【例2】 已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋3)＝－f(x)，且當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f(x)＝x＋1，則f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)， 所以f(－2 017)＝－f(2 017)， 因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即當(dāng)x≥0時(shí)，自變量的值每增加6，對(duì)應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次. 又當(dāng)x∈(0，3

25、)時(shí)，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2， f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3. 故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1. 答案　C 類型3　抽象函數(shù)的對(duì)稱性 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù). (1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱. (2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱. 【

26、例3】 (2018·日照調(diào)研)函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，f(1)＝4，則f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值為_(kāi)_______. 解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱， 所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 所以f(x)是R上的奇函數(shù)， f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4. 所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4， 所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2

27、 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0， 所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4. 答案　4 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(　　) A.y＝|log3x| B.y＝x3 C.y＝e|x| D.y＝cos |x| 解析　對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)定義域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函數(shù)，顯然B項(xiàng)中，y＝x3是奇函數(shù). 對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域是R，是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故在(0，1)上單調(diào)遞增，正確. 對(duì)于D選項(xiàng)，y＝cos

28、 |x|在(0，1)上單調(diào)遞減. 答案　C 2.(一題多解)(2019·河北“五個(gè)一”名校聯(lián)盟二模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝ 則g(－8)＝(　　) A.－2 B.－3 C.2 D.3 解析　法一　當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，且f(x)為奇函數(shù)， 則f(－x)＝log3(1－x)，所以f(x)＝－log3(1－x). 因此g(x)＝－log3(1－x)，x<0， 故g(－8)＝－log39＝－2. 法二　由題意知，g(－8)＝f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2. 答案　A 3.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)

29、x∈(－2，0)時(shí)，f(x)＝2x2，則f(2 019)等于(　　) A.－2 B.2 C.－98 D.98 解析　由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期為4的函數(shù)， f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)， 又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)， 由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2， ∴f(2 019)＝2. 答案　B 4.(一題多解)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A.a

30、log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)， ∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，則c>a>b. 法二　(特殊化)取f(x)＝x，則g(x)＝x2為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又3>log25.1>20.8， 從而可得c>a>b. 答案　C 5.(2019·山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(x＋

31、1)是偶函數(shù)，不等式f(m＋2)≥f(x－1)對(duì)任意的x∈[－1，0]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.[－3，1] B.[－4，2] C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 解析　因?yàn)閒(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1. 答案　A 二、填空題 6.若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝

32、________. 解析　f(x)為偶函數(shù)，則y＝ln(x＋)為奇函數(shù)， 所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0， 則ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1. 答案　1 7.若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0

33、. 解析　由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)為R上的偶函數(shù)，于是f(x)＞f(2x－1)即為f(|x|)＞f(|2x－1|). 當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－，所以f(x)為[0，＋∞)上的增函數(shù)，則由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，兩邊平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1. 答案　 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)設(shè)x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為

34、奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x). 于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象知所以1

35、(x)， 所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個(gè)周期. (2)因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個(gè)周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. (3)因?yàn)閥＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)， 且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|為偶函數(shù). 故g(x)＝x2＋ax＋3為偶函數(shù)，即g(－x)＝g(x)恒成立， 于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立. 于是2ax＝0恒成立，所以a＝0. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11

36、.(2019·石家莊模擬)已知奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為(　　) A.{x|02} B.{x|x<0或x>2} C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<－1或x>1} 解析　由題意知函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(－1)＝0， 不等式f(x－1)>0?f(x－1)>f(1)或f(x－1)>f(－1). ∴x－1>1或0>x－1>－1， 解之得x>2或0

37、則有(　　) A.f

38、數(shù)f(x)在(1，2)上是減函數(shù)，在(2，3)上是增函數(shù)； ③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正確命題的序號(hào)是________. 解析　在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t， 則有f(t＋2)＝f(t)， 因此2是函數(shù)f(x)的周期，故①正確； 當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝2x是增函數(shù)， 根據(jù)函數(shù)的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)在(1，2)上是減函數(shù)，在(2，3)上是增函數(shù)，故②正確； 由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝2

39、0＝1且f(x)是周期為2的周期函數(shù)，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③錯(cuò)誤. 答案?、佗? 14.設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積. 解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x). 故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱. 又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如下圖所示. 當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S， 則S＝4S△OAB＝4×＝4. 17