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2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其表示 第1節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算習(xí)題 理(含解析)新人教A版

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2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其表示 第1節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算習(xí)題 理(含解析)新人教A版_第1頁(yè)
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2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其表示 第1節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算習(xí)題 理(含解析)新人教A版_第3頁(yè)
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1、第1節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 最新考綱 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景;2.通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義;3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的導(dǎo)數(shù);4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如y=f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù). 知 識(shí) 梳 理 1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義:稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率 = 為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= =. (2)幾何意義:函數(shù)f(x)

2、在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0). 2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù),其導(dǎo)數(shù)值在(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù),函數(shù)f′(x)= 稱為函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù). 3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)=c(c為常數(shù)) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos__x f(x)=cos x f′(x)=-si

3、n__x f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=ax(a>0) f′(x)=axln__a f(x)=ln x f′(x)= f(x)=logax(a>0,a≠1) f′(x)= 4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 若f′(x),g′(x)存在,則有: (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)′=(g(x)≠0). 5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=y(tǒng)u′·ux′. [微點(diǎn)提醒] 1.f′(x0)代表

4、函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值;(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù),且(f(x0))′=0. 2.′=-. 3.曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè),而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn). 4.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì),其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向,其大小|f′(x)|反映了變化的快慢,|f′(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”. 基 礎(chǔ) 自 測(cè) 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.(  ) (2)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=c

5、os x.(  ) (3)求f′(x0)時(shí),可先求f(x0),再求f′(x0).(  ) (4)曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn).(  ) 解析 (1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率,(1)錯(cuò). (2)f(x)=sin(-x)=-sin x,則f′(x)=-cos x,(2)錯(cuò). (3)求f′(x0)時(shí),應(yīng)先求f′(x),再代入求值,(3)錯(cuò). 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(選修2-2P19B2改編)曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是(  ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 解

6、析 因?yàn)閥=x3+11,所以y′=3x2,所以y′|x=1=3,所以曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線方程為y-12=3(x-1).令x=0,得y=9. 答案 C 3.(選修2-2P3例題改編)在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,t s時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10,則運(yùn)動(dòng)員的速度v=________ m/s,加速度a=______ m/s2. 解析 v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8. 答案?。?.8t+6.5?。?.8 4.(2019·保定質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x(2 018+ln x),若f′(x0)=2 0

7、19,則x0等于(  ) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 解析 f′(x)=2 018+ln x+x×=2 019+ln x. 由f′(x0)=2 019,得2 019+ln x0=2 019,則ln x0=0,解得x0=1. 答案 B 5.(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)=exln x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(1)的值為_(kāi)_______. 解析 由題意得f′(x)=exln x+ex·,則f′(1)=e. 答案 e 6.(2017·全國(guó)Ⅰ卷)曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_(kāi)_______. 解析 設(shè)y=f(x),則f′(x)

8、=2x-, 所以f′(1)=2-1=1, 所以在(1,2)處的切線方程為y-2=1×(x-1), 即y=x+1. 答案 y=x+1 考點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 多維探究 角度1 根據(jù)求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例1-1】 分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=exln x; (2)y=x; (3)f(x)=ln . 解 (1)y′=(ex)′ln x+ex(ln x)′=exln x+=ex. (2)因?yàn)閥=x3+1+,所以y′=3x2-. (3)因?yàn)閥=ln =ln, 所以y′=··(1+2x)′=. 角度2 抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算 【例1-2】 (2019·福州聯(lián)考)已知函

9、數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln ,則f(1)=(  ) A.-e B.2 C.-2 D.e 解析 由已知得f′(x)=2f′(1)-,令x=1得f′(1)=2f′(1)-1,解得f′(1)=1,則f(1)=2f′(1)=2. 答案 B 規(guī)律方法 1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo). 2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時(shí)要進(jìn)行換元. 3.抽象函數(shù)求導(dǎo),恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵,然后活用方程思想求解. 【訓(xùn)練1】 (1)若y=x-cos sin ,則y′=________. (2)已知

10、f(x)=x2+2xf′(1),則f′(0)=________. 解析 (1)因?yàn)閥=x-sin x, 所以y′=′=x′-′=1-cos x. (2)∵f′(x)=2x+2f′(1), ∴f′(1)=2+2f′(1),即f′(1)=-2. ∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4. 答案 (1)1-cos x (2)-4 考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 多維探究 角度1 求切線方程 【例2-1】 (2018·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(  ) A.y=-2x B.y=-x C.

11、y=2x D.y=x 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax為奇函數(shù),所以a-1=0,則a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x. 答案 D 角度2 求切點(diǎn)坐標(biāo) 【例2-2】 (1)(2019·鄭州月考)已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(  ) A.3 B.2 C.1 D. (2)設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 解析 (1)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0(x0>0),

12、 ∵曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為, ∴y′=-,即-=, 解得x0=3或x0=-2(舍去,不符合題意),即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3. (2)∵函數(shù)y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y′=ex, ∴曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1. 設(shè)P(x0,y0)(x0>0),∵函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)為y′=-,∴曲線y=(x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率k2=-, 由題意知k1k2=-1,即1·=-1,解得x=1,又x0>0,∴x0=1. 又∵點(diǎn)P在曲線y=(x>0)上,∴y0=1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1). 答案 (1)A (2)(1,1) 角度3 求參數(shù)的值或取值范圍 【例2-3】

13、(1)函數(shù)f(x)=ln x+ax的圖象存在與直線2x-y=0平行的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,+∞) (2)(2019·東北三省四校聯(lián)考)已知曲線f(x)=x++b(x≠0)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x+5,則a-b=________. 解析 (1)由題意知f′(x)=2在(0,+∞)上有解. ∴f′(x)=+a=2在(0,+∞)上有解,則a=2-. 因?yàn)閤>0,所以2-<2,所以a的取值范圍是(-∞,2). (2)f′(x)=1-,∴f′(1)=1-a, 又f(1)=1+a

14、+b,∴曲線在(1,f(1))處的切線方程為y-(1+a+b)=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x+2a+b, 根據(jù)題意有解得 ∴a-b=-1-7=-8. 答案 (1)B (2)-8 規(guī)律方法 1.求切線方程時(shí),注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求過(guò)某點(diǎn)的切線方程,需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解. 2.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題,通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù):①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;②切點(diǎn)在切線上;③切點(diǎn)在曲線上. 【訓(xùn)練2

15、】 (1)(2018·東莞二調(diào))設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2,若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為x+y=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(  ) A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1) (2)(2018·全國(guó)Ⅱ卷)曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為_(kāi)_______________. 解析 (1)由f(x)=x3+ax2,得f′(x)=3x2+2ax. 根據(jù)題意可得f′(x0)=-1,f(x0)=-x0, 可列方程組 解得或 當(dāng)x0=1時(shí),f(x0)=-1, 當(dāng)x0=-1時(shí),f(x0)=1.

16、∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1)或(-1,1). (2)由題意得y′=.在點(diǎn)(0,0)處切線斜率k=y(tǒng)′|x=0=2.∴曲線y=2ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y-0=2(x-0),即y=2x. 答案 (1)D (2)y=2x [思維升華] 1.對(duì)于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時(shí),不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用,而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用,在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí),首先必須注意變換的等價(jià)性,避免不必要的運(yùn)算失誤.對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),關(guān)鍵在于分清復(fù)合關(guān)系,適當(dāng)選取中間變量,然后“由外及內(nèi)”逐層求導(dǎo). 2.求曲線的切線方程要注意分清已知點(diǎn)是否是切點(diǎn).若已知點(diǎn)是切點(diǎn),

17、則可通過(guò)點(diǎn)斜式直接寫(xiě)方程,若已知點(diǎn)不是切點(diǎn),則需設(shè)出切點(diǎn). 3.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題時(shí),一般利用曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列方程求解. [易錯(cuò)防范] 1.求導(dǎo)常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn):①公式(xn)′=nxn-1與(ax)′=axln a相互混淆;②公式中“+”“-”號(hào)記混,如出現(xiàn)如下錯(cuò)誤:′=,(cos x)′=sin x;③復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)分不清內(nèi)、外層函數(shù). 2.求切線方程時(shí),把“過(guò)點(diǎn)切線”問(wèn)題誤認(rèn)為“在點(diǎn)切線”問(wèn)題. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):35分鐘) 一、選擇題 1.下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中錯(cuò)誤的是(  ) A.(3x)′=3xln 3   B.(x2ln x)′=2xln

18、x+x C.′=   D.(sin x·cos x)′=cos 2x 解析 因?yàn)椤洌剑珻項(xiàng)錯(cuò)誤. 答案 C 2.(2018·日照質(zhì)檢)已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,則x0等于(  ) A.e2 B.e C. D.ln 2 解析 f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x0+1=2,解得x0=e. 答案 B 3.函數(shù)y=x3的圖象在原點(diǎn)處的切線方程為(  ) A.y=x B.x=0 C.y=0 D.不存在 解析 函數(shù)y=x3的導(dǎo)數(shù)為y′=3x2,則在原點(diǎn)處的切線斜率為0,所以在原點(diǎn)處的切

19、線方程為y-0=0(x-0),即y=0. 答案 C 4.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移為s=t3-3t2+8t,那么速度為零的時(shí)刻是(  ) A.1秒末 B.1秒末和2秒末 C.4秒末 D.2秒末和4秒末 解析 s′(t)=t2-6t+8,由導(dǎo)數(shù)的定義知v=s′(t), 令s′(t)=0,得t=2或4, 即2秒末和4秒末的速度為零. 答案 D 5.(2019·合肥一模)函數(shù)f(x)=x-g(x)的圖象在點(diǎn)x=2處的切線方程是y=-x-1,則g(2)+g′(2)=(  ) A.7 B.4 C.0 D.-4 解析 ∵f(x)=x-g(x

20、),∴f′(x)=1-g′(x),又由題意知f(2)=-3,f′(2)=-1,∴g(2)+g′(2)=2-f(2)+1-f′(2)=7. 答案 A 6.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),曲線y=aex+x在點(diǎn)(1,ae+1)處的切線與直線2ex-y-1=0平行,則實(shí)數(shù)a=(  ) A. B. C. D. 解析 ∵y′=aex+1,∴在點(diǎn)(1,ae+1)處的切線的斜率為y′|x=1=ae+1,又切線與直線2ex-y-1=0平行,∴ae+1=2e,解得a=. 答案 B 7.如圖所示為函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是(  )

21、 解析 由y=f′(x)的圖象知,y=f′(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞減的,說(shuō)明函數(shù)y=f(x)的切線的斜率在(0,+∞)上也是單調(diào)遞減的,故可排除A,C; 又由圖象知y=f′(x)與y=g′(x)的圖象在x=x0處相交,說(shuō)明y=f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率相同,故可排除B.故選D. 答案 D 8.(2019·廣州調(diào)研)已知直線y=kx-2與曲線y=xln x相切,則實(shí)數(shù)k的值為(  ) A.ln 2 B.1 C.1-ln 2 D.1+ln 2 解析 由y=xln x得y′=ln x+1,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則k=ln x0+1,∵切點(diǎn)

22、(x0,y0)(x0>0)既在曲線y=xln x上又在直線y=kx-2上,∴∴kx0-2=x0ln x0,∴k=ln x0+,則ln x0+=ln x0+1,∴x0=2,∴k=ln 2+1. 答案 D 二、填空題 9.已知曲線f(x)=2x2+1在點(diǎn)M(x0,f(x0))處的瞬時(shí)變化率為-8,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 解析 由題意得f′(x)=4x,令4x0=-8,則x0=-2, ∴f(x0)=9,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-2,9). 答案 (-2,9) 10.已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為_(kāi)_______.

23、 解析 f(1)=a,切點(diǎn)為(1,a).f′(x)=a-,則切線的斜率為f′(1)=a-1,切線方程為:y-a=(a-1)(x-1),令x=0得出y=1,故l在y軸上的截距為1. 答案 1 11.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足關(guān)系式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,則f′(2)=________. 解析 因?yàn)閒(x)=x2+3xf′(2)+ln x, 所以f′(x)=2x+3f′(2)+, 所以f′(2)=4+3f′(2)+=3f′(2)+, 所以f′(2)=-. 答案?。? 12.已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=2x-1,

24、則曲線g(x)=x2+f(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程為_(kāi)_______________. 解析 由題意,知f(2)=2×2-1=3,∴g(2)=4+3=7, ∵g′(x)=2x+f′(x),f′(2)=2,∴g′(2)=2×2+2=6, ∴曲線g(x)=x2+f(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程為y-7=6(x-2),即6x-y-5=0. 答案 6x-y-5=0 能力提升題組 (建議用時(shí):15分鐘) 13.(2018·深圳二模)設(shè)函數(shù)f(x)=x++b,若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則ab=(  ) A.1 B.0 C.-1

25、 D.-2 解析 由題意可得,f(a)=a++b,f′(x)=1-,所以f′(a)=1-,故切線方程是y-a--b=(x-a),將(0,0)代入得-a--b=(-a),故b=-,故ab=-2. 答案 D 14.(2019·西安一模)定義1:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導(dǎo),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導(dǎo)數(shù),記作f″(x)=[f′(x)]′. 定義2:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)恒為正,即f″(x)>0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x3-x2+1在區(qū)間D上為凹函數(shù),則x的取值范圍是______

26、__. 解析 因?yàn)閒(x)=x3-x2+1,因?yàn)閒′(x)=3x2-3x,f″(x)=6x-3,令f″(x)>0,解得x>,故x的取值范圍是. 答案  15.函數(shù)g(x)=ln x圖象上一點(diǎn)P到直線y=x的最短距離為_(kāi)_______. 解析 設(shè)點(diǎn)(x0,ln x0)是曲線g(x)=ln x的切線中與直線y=x平行的直線的切點(diǎn),因?yàn)間′(x)=(ln x)′=,則1=,∴x0=1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0), ∴最短距離為(1,0)到直線y=x的距離, 即為=. 答案  16.若函數(shù)f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析 ∵f(x)=x2-ax+ln x,定義域?yàn)?0,+∞), ∴f′(x)=x-a+. ∵f(x)存在垂直于y軸的切線,∴f′(x)存在零點(diǎn), 即x+-a=0有解, ∴a=x+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)). 答案 [2,+∞) 12

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