《2021版高考數學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第7講 雙曲線練習 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021版高考數學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第7講 雙曲線練習 理 北師大版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第7講 雙曲線 [基礎題組練] 1．“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.因為方程＋＝1表示雙曲線，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25， 所以“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A. 2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選A.法一：由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±

2、x，故選A. 法二：由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A. 3．(2020·廣東揭陽一模)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩焦點且與x軸垂直的直線與雙曲線的四個交點組成一個正方形，則該雙曲線的離心率為(　　) A.－1 B． C. D．2 解析：選B.將x＝±c代入雙曲線的方程得y2＝?y＝±，則2c＝，即有ac＝b2＝c2－a2，由e＝，可得e2－e－1＝0，解得e＝(舍負)．故選B. 4．設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線方

3、程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選C. 如圖，不妨令B在x軸上方，因為BC過右焦點F(c，0)，且垂直于x軸，所以可求得B，C兩點的坐標分別為，.又A1，A2的坐標分別為(－a，0)，(a，0)． 所以＝，＝. 因為A1B⊥A2C，所以·＝0， 即(c＋a)(c－a)－·＝0， 即c2－a2－＝0， 所以b2－＝0，故＝1，即＝1. 又雙曲線的漸近線的斜率為±， 故該雙曲線的漸近線的方程為y＝±x. 5．(2020·河北衡水三模)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F(，0)作斜率為k(k＜－1)的直線與雙曲線過第

4、一象限的漸近線垂直，且垂足為A，交另一條漸近線于點B，若S△BOF＝(O為坐標原點)，則k的值為(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－ 解析：選B.由題意得雙曲線過第一象限的漸近線方程為y＝－x，過第二象限的漸近線的方程為y＝x，直線FB的方程為y＝k(x－)，聯(lián)立方程得?x＝，所以y＝，所以S△BOF＝|OF|×|yB|＝××＝. 令＝，得k＝－2或k＝(舍)．故選B. 6．(2020·黃山模擬)過雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(－，0)，作圓(x－)2＋y2＝4的切線，切點在雙曲線E上，則E的離心率等于(　　) A．2 B． C. D． 解析：選B.

5、設圓的圓心為G，雙曲線的左焦點為F.由圓的方程(x－)2＋y2＝4，知圓心坐標為G(，0)，半徑R＝2，則FG＝2. 設切點為P， 則GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a， 由|PF|2＋|PG|2＝|FG|2， 即(2＋2a)2＋4＝20， 即(2＋2a)2＝16，得2＋2a＝4，a＝1，又c＝， 所以雙曲線的離心率e＝＝，故選B. 7．設F為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，若線段OF的垂直平分線與雙曲線的漸近線在第一象限內的交點到另一條漸近線的距離為|OF|，則雙曲線的離心率為(　　) A．2 B． C．2 D．3 解析：選B.雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)

6、的漸近線方程為y＝±x，線段OF的垂直平分線為直線x＝，將x＝代入y＝x，則y＝，則交點坐標為， 點到直線y＝－x，即bx＋ay＝0的距離d＝＝|OF|＝，得c＝2b＝2，即4a2＝3c2， 所以雙曲線的離心率e＝＝，故選B. 8．已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 解析：選B.因為雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設過點F的直線與直線y＝x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設∠OMN＝90°，則∠MF

7、O＝60°，又直線MN過點F(2，0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故選B. 9．(2020·湛江模擬)設F為雙曲線E：－＝1(a，b＞0)的右焦點，過E的右頂點作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點，O為坐標原點，四邊形OAFB為菱形，圓x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)與E在第一象限的交點是P，且|PF|＝－1，則雙曲線E的方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：選D.雙曲線E：－＝1的漸近線方程為y＝±x， 因為四邊形OAFB為菱形， 所以對角線互相垂直平分，

8、所以c＝2a，∠AOF＝60°， 所以＝. 則有 解得P. 因為|PF|＝－1， 所以＋＝(－1)2，解得a＝1， 則b＝， 故雙曲線E的方程為x2－＝1. 故選D. 10．已知雙曲線－＝1(b＞0)的左頂點為A，虛軸長為8，右焦點為F，且⊙F與雙曲線的漸近線相切，若過點A作⊙F的兩條切線，切點分別為M，N，則|MN|＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．4 解析：選D.因為雙曲線－＝1(b＞0)的虛軸長為8， 所以2b＝8，解得b＝4， 因為a＝3， 所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，c2＝a2＋b2＝25，A(－3，0)，所以c＝5，所以F(5，

9、0)， 因為⊙F與雙曲線的漸近線相切， 所以⊙F的半徑為＝4， 所以|MF|＝4， 因為|AF|＝a＋c＝3＋5＝8， 所以|AM|＝＝4， 因為S四邊形AMFN＝2×|AM|·|MF|＝|AF|·|MN|， 所以2××4×4＝×8|MN|， 解得|MN|＝4，故選D. 11．(2020·開封模擬)過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P，若＝2，則雙曲線的離心率為(　　) A. B． C. D．2 解析：選B.設P(0，3m)，由＝2，可得點M的坐標為，因為OM⊥PF，所以·＝－1，所以m2＝c2，所以

10、M，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋＋＝c2，a2＝c2，所以e＝＝，故選B. 12．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸上的一個端點，且△ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(1，)∪(，＋∞) 解析：選D.設雙曲線：－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F1(－c，0)， 令x＝－c，可得y＝±，可設A，B. 又設D(0，b)，可得＝，＝， ＝，＝. 由△ABD為鈍角三角形，可得∠DAB為鈍角或∠ADB為鈍角．

11、當∠DAB為鈍角時，可得·<0，即為0－·<0，化為a>b，即有a2>b2＝c2－a2.可得c2<2a2，即e＝<.又e>1，可得10，由e＝， 可得e4－4e2＋2>0.又e>1，可得e>. 綜上可得，e的范圍為(1，)∪(，＋∞)．故選D. 13．焦點在x軸上，焦距為10，且與雙曲線－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標準方程是________． 解析：設所求雙曲線的標準方程為－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標準方程為－＝1. 答案：－＝1

12、 14．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點F1作圓x2＋y2＝a2的切線交雙曲線的右支于點P，且切點為T，已知O為坐標原點，M為線段PF1的中點(點M在切點T的右側)，若△OTM的周長為4a，則雙曲線的漸近線方程為________． 解析：連接OT，則OT⊥F1T， 在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝＝b. 設雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，M為線段F1P的中點，O為坐標原點， 所以OM＝PF2， 所以|MO|－|MT|＝|PF2|－ ＝(|PF2|－|PF1|)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a. 又|MO|＋|MT|＋|TO|＝4a，即|MO|＋|MT|＝3a， 故

13、|MO|＝，|MT|＝， 由勾股定理可得a2＋＝，即＝， 所以漸近線方程為y＝±x. 答案：y＝±x 15．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是雙曲線C的兩個焦點．若·<0，則y0的取值范圍是________． 解析：由題意知a＝，b＝1，c＝， 設F1(－，0)，F2(，0)， 則＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． 因為·<0， 所以(－－x0)(－x0)＋y<0， 即x－3＋y<0. 因為點M(x0，y0)在雙曲線C上， 所以－y＝1，即x＝2＋2y， 所以2＋2y－3＋y<0，所以－

14、，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點，若直線y＝x與雙曲線C交于P，Q兩點，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為________． 解析：由題意可得，矩形的對角線長相等，將直線y＝x代入雙曲線C方程，可得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因為e>1，所以e2＝2＋，所以e＝. 答案： [綜合題組練] 1．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為(　　)

15、 A. B． C.＋1 D． 解析：選A. 法一：如圖所示，不妨設E在x軸上方，F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′， 因為PF是圓O的切線，所以OE⊥PE，又E，O分別為PF，FF′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據雙曲線的性質，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A. 法二：連接OE，因為|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，設F′為雙曲線的右焦點，連接PF′，因為O，E分別為線段FF′，FP

16、的中點，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝. 2．(2020·漢中模擬)設F1(－c，0)，F2(c，0)是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，點P是C右支上異于頂點的任意一點，PQ是∠F1PF2的平分線，過點F1作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標原點，則|OQ|(　　) A．為定值a B．為定值b C．為定值c D．不確定，隨P點位置變化而變化 解析：選A.延長F1Q，PF2交于點M，則三角形PF1M為等腰三角形，可得Q為F1M的中點，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝|F2M|＝2a，由三角形中位線定

17、理可得|OQ|＝|F2M|＝a，故選A. 3．以橢圓＋＝1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左、右焦點分別是F1，F2.已知點M的坐標為(2，1)，雙曲線C上的點P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足＝，則S△PMF1－S△PMF2＝(　　) A．2 B．4 C．1 D．－1 解析：選A.由題意，知雙曲線方程為－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2. 又結合平面幾何知識可得，△F1PF2的內心在直線x＝2上，所以點M(2，1)就是△F1PF2的內心． 故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.

18、 4．(2019·高考全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________． 解析：通解：因為·＝0，所以F1B⊥F2B，如圖． 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因為＝，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan ∠BF1O＝，tan ∠BOF2＝.因為tan ∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以

19、c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝＝2. 優(yōu)解：因為·＝0，所以F1B⊥F2B， 在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A為F1B的中點，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c，0)可得B，因為點B在直線y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2. 答案：2 5．已知雙曲線C：－y2＝1，直線l：y＝kx＋m與雙曲線C相交于A，B兩點(A，B均異于左、右頂點)，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，則直線l所過定點為________． 解析：設

20、A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立 得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0， 所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)＞0，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. 因為以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1， 即·＝－1， 所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0， 即＋＋＋4＝0， 所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝. 當m＝2k時，l的方程為y＝k(x＋2)，直線過定點(－2，0)，與已知矛盾

21、； 當m＝時，l的方程為y＝k，直線過定點，經檢驗符合已知條件． 故直線l過定點. 答案： 6．已知P為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一點，經過點P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點．若點A，B分別位于第一、四象限，O為坐標原點，當＝時，△AOB的面積為2b，則雙曲線C的實軸長為________． 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x－x1，y－y1)＝(x2－x，y2－y)， 則x＝x1＋x2，y＝y(tǒng)1＋y2， 所以－＝1. 由題意知A在直線y＝x上，B在y＝－x上，則y1＝x1，y2＝－x2. 所以－＝1，即b2(x1＋x2)2－a2(x1－x2)2＝a2b2， 化簡得：a2＝x1x2， 由漸近線的對稱性可得sin∠AOB＝sin 2∠AOx ＝＝＝＝. 所以△AOB的面積為|OA||OB|sin∠AOB＝··sin∠AOB ＝·· ＝x1x2··· ＝a2··[1＋()2]＝ab＝2b，解得a＝.所以雙曲線C的實軸長為. 答案： 13