變與不變 多變歸一 探旋轉(zhuǎn)相似型的解法 大唐鎮(zhèn)中 蔡培杰 概念提出 旋轉(zhuǎn)和相似是初中數(shù)學(xué)圖形變換的重 要內(nèi)容,兩個知識點(diǎn)看似毫無關(guān)聯(lián),但它們 會同時出現(xiàn)在數(shù)學(xué)綜合試題中,對于此類 題型我們不妨叫作“旋轉(zhuǎn)相似型”。 學(xué)生解此類題的困惑 圖形在變、旋轉(zhuǎn)角度在變，對應(yīng)點(diǎn) 之間的連線段長在變等等 旋轉(zhuǎn)中的變化元素成了解題的“絆腳石”！ 探尋解決方法 尋求變化規(guī)律，以不變應(yīng)萬變 對應(yīng)點(diǎn)的軌跡具有共性對應(yīng)點(diǎn)的軌跡具有共性對應(yīng)點(diǎn)的軌跡具有共性對應(yīng)點(diǎn)的軌跡具有共性 二二二二 三三三三 應(yīng)用：求對應(yīng)點(diǎn)連線比值、求對應(yīng)點(diǎn)連線長 應(yīng)用：求兩組對應(yīng)點(diǎn)連線夾角 求兩組對應(yīng)點(diǎn)連線交點(diǎn)的軌跡 應(yīng)用：求點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長，求運(yùn)動點(diǎn)的軌跡的解析式 存在兩組四點(diǎn)共圓存在兩組四點(diǎn)共圓存在兩組四點(diǎn)共圓存在兩組四點(diǎn)共圓 存在雙重相似存在雙重相似存在雙重相似存在雙重相似一一一一 旋轉(zhuǎn)相似中的存在雙重相似 基本圖形： 如圖， AOB COD，且點(diǎn)A、點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)分別 是點(diǎn)C,點(diǎn)D. 則可證 AOC BOD. 相似旋轉(zhuǎn)型中由對應(yīng)點(diǎn)連線段及所對旋轉(zhuǎn)角 組成的兩個三角形也相似。 旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用 例1、如圖4，ABC與DEF均 為等邊三角形，O為BC、EF的中 點(diǎn)，則AD：BE的值為（ ）。 變式： 旋轉(zhuǎn)相似中對應(yīng)點(diǎn)連線段的比值不變！ 可證： AOD BOE AD：BE=AO：BO 23（12分）（2013紹興）在ABC中，CAB=90 ，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G， 點(diǎn)F在BC上 （1）如圖1，AC:AB=1:2，EFCB，求證：EF=CD （2）如圖2，AC:AB=1：，EFCE，求EF：EG的值 旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用 H 作EH AB 可證HEF AEG EF：GE = HE：AE = HE：BE 旋轉(zhuǎn)相似中 存在雙重相似的應(yīng)用 例2、已知ABC中，C=90AB=9， ，把 ABC 繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A，點(diǎn)B落 在點(diǎn)B若點(diǎn)A在邊AB上，則點(diǎn)B、B的距離_ 簡析： 由題可知AA,BB是旋轉(zhuǎn)中的對 應(yīng)點(diǎn)連線段， ACA ， BCB分別為所對旋轉(zhuǎn)角。所以 ACABCB，可知AA： BB=AC：BC=6：35，所以要 先求AA的長。 求對應(yīng)點(diǎn)連線段的長 = C 旋轉(zhuǎn)相似中的存在兩組四點(diǎn)共圓 A DC F G M 例：如圖， ADC GDF，A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是G、 F。當(dāng)GDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，直線AG、CF交于點(diǎn)M，則 可證M、A、D、C四點(diǎn)共圓和M、D、F、G四點(diǎn)共圓。 證 M、A、D、C四點(diǎn)共圓 ： 由雙重相似可知 ADG CDF , AGD= CFD AMC= AGD+ 1+ 2 = CFD+ 1+ 2 =180- GDF =180- ADC AMC+ ADC=180，得證. 證 M、D、F、G四點(diǎn)共圓： 連DM，由MADC四點(diǎn)共圓可知 DMC= DAC 又 DAC= DGF DMC= DGF，得證. 1 2 A DC F G M RtADC Rt GDF ， ADC= GDF=90， 求 AMC的度數(shù) A D C G F M 1 2 旋轉(zhuǎn)相似中 存在兩組四點(diǎn)共圓的應(yīng)用 （2015學(xué)年上學(xué)期期末第16題） 如圖，ABC，EFG均是邊長為4的 等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn) ，直線AG、FC相交于點(diǎn)M當(dāng)EFG 繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，AMC=（ ）線段BM 長的最大值是（ ） 旋轉(zhuǎn)相似中兩個點(diǎn)的運(yùn)動軌跡有共性 常見的，一個圖形繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時， 則圖像上任一點(diǎn)都在作圓弧運(yùn)動。 旋轉(zhuǎn)相似中兩個點(diǎn)的運(yùn)動軌跡有共性 四邊形ABCD,AEFG都是正方形，點(diǎn)E為BC邊 上一點(diǎn)，求證：點(diǎn)G一定落在直線CD上。 像這樣的點(diǎn)E在作直線運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)相似變換中，則其他 的對應(yīng)點(diǎn)也都沿著各自的一條直線運(yùn)動。 x y若AB=BC=2， 試描述點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡。 幾點(diǎn)建議 1.基本模型牢記于心,以不變應(yīng)萬變 2.重視帶領(lǐng)學(xué)生探究模型的重現(xiàn)過程 3.變式訓(xùn)練中體會模型的應(yīng)用價值 4.培養(yǎng)學(xué)生方法能力的遷移過程 5.提高解決問題及歸納總結(jié)的能力 感謝聆聽！