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江蘇省揚州市竹西中學2016-2017學年九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份） 一、選擇題：（3*8=24） 1．下列各組數(shù)中，成比例的是（　?。? A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12 2．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（　　） A． B． C． D． 3．如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線BD上的點，BF：FD=1：3，則BE：EC=（　　） A． B． C． D． 4．下列說法中，錯誤的是（　　） A．兩個全等三角形一定是相似形 B．兩個等腰三角形一定相似 C．兩個等邊三角形一定相似 D．兩個等腰直角三角形一定相似 5．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，D是AC邊上一點，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，則CD=（　?。? A．2 B． C． D． 6．如圖，在正三角形ABC中，D，E分別在AC，AB上，且，AE=BE，則有（　?。? A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 7．已知：如圖，∠ADE=∠ACD=∠ABC，圖中相似三角形共有（　?。? A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 8．如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為a，b，c的三個正方形，則a，b，c滿足的關(guān)系式是（　　） A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c 　 二、填空題：（3*10=30） 9．已知a=4，b=9，c是a，b的比例中項，則c=　?。? 10．如圖，要使△ABC∽△ACD，需補充的條件是　?。ㄖ灰獙懗鲆环N） 11．在1：25000000的圖上，量得福州到北京的距離為6cm，則福州到北京的實際距離為　　km． 12．如果點C是線段AB靠近點B的黃金分割點，且AC=2，那么AB≈　　（精確到0.01）． 13．如圖，在?ABCD中，E為CD中點，AE與BD相交于點O，S△DOE=12cm2，則S△AOB等于　　cm2． 14．如圖，∠ABD=∠BCD=90，AD=8，BD=6，當CD=　　時，△ABD∽△BCD． 15．下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 16．如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=3：2：1，則△ADE、四邊形DFGE、四邊形FBCG的面積比為　?。? 17．如圖是一山谷的橫斷面示意圖，寬AA′為15m，用曲尺（兩直尺相交成直角）從山谷兩側(cè)測量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（點A，O，O′A′在同一條水平線上），則該山谷的深h為　　m． 18．已知一次函數(shù)y=2x+2與x軸y軸交于A、B兩點，另一直線y=kx+3交x軸正半軸與E，交y軸于F點，如△AOB與E、F、O三點組成的三角形相似，那么k值為　?。? 　 三、解答題（10+10+10+10+10+10+12+12+12=96） 19．（10分）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A （﹣2，6），B （﹣2，2），C （﹣4，0 ）． （1）在第四象限內(nèi)畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于點O位似，且△A1B1C1與△ABC的相似比為1：2； （2）畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90后的△A2B2C2． 20．（10分）已知：如圖△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點． （1）若AB=10cm，AC=6cm，則四邊形ADFE的周長為　　cm （2）若△ABC周長為6cm，面積為12cm2，則△DEF的周長是　　，面積是　?。? 21．（10分）如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC，AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F． （1）試說明：△ABD≌△BCE． （2）判斷△BDF與△ADB是否相似，并說明你的理由． 22．（10分）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F． 求證：（1）△ADF∽△EDB； （2）CD2=DE?DF． 23．（10分）如圖，一圓柱形油桶，高1.5m，用一根2m長的木棒從桶蓋小口斜插桶用另一端的小口處，抽出木棒后，量得上面沒浸油的部分為1.2m，求桶內(nèi)油面高度． 24．（10分）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=． （1）求AE的長； （2）求△CEF的周長和面積． 25．（12分）如圖，四邊形ABCD中，AB=5cm，CB=3cm．∠DAB=∠ACB=90．AD=CD，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于E點． （1）求CD的長度； （2）已知一動點P以2cm/s的速度從點D出發(fā)沿射線DE運動，設(shè)點P運動的時間為ts，問當t為何值時，△CDP與△ABC相似． 26．（12分）如圖．等腰直角三角形ABC中，∠A=90，P為BC的中點，小明拿著含45角的透明三角形，使45角的頂點落在點P，且繞P旋轉(zhuǎn)． （1）如圖①：當三角板的兩邊分別AB、AC交于E、F點時，試說明△BPE∽△CFP． （2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖②，三角板兩邊分別交BA延長線和邊AC于點EF． 探究1：△BPE與△CFP．還相似嗎？（只需寫結(jié)論） 探究2：連接EF，△BPE與△EFP是否相似？請說明理由． 27．（12分）已知：在Rt△ABC中，∠BCA=90，AC=3，BC=4，CD是斜邊AB邊上的高，點E、F分別是AC、BC邊上的動點，連接DE、DF、EF，且∠EDF=90． （1）當四邊形CEDF是矩形時（如圖1），試求EF的長并直接判斷△DEF與△DAC是否相似． （2）在點E、F運動過程中（如圖2），△DEF與△DAC相似嗎？請說明理由； （3）設(shè)直線DF與直線AC相交于點G，△EFG能否為等腰三角形？若能，請直接寫出線段AE的長；若不能，請說明理由． 　  2016-2017學年江蘇省揚州市竹西中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：（3*8=24） 1．下列各組數(shù)中，成比例的是（　　） A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12 【考點】比例的性質(zhì)． 【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段． 【解答】解：如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段． 答案中，只有B中，3（﹣8）=﹣64，故選B． 【點評】理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．本題要用絕對值最小的和最大的相乘，另外兩條相乘． 　 2．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（　?。? A． B． C． D． 【考點】比例的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)x：（x+y）=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，進而得到x：y=3：2． 【解答】解：∵x：（x+y）=3：5， ∴5x=3x+3y， 2x=3y， ∴x：y=3：2=， 故選：D． 【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握內(nèi)項之積等于外項之積． 　 3．如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線BD上的點，BF：FD=1：3，則BE：EC=（　　） A． B． C． D． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)易證兩三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可解． 【解答】解：∵ABCD是平行四邊形 ∴AD∥BC ∴△BFE∽△DFA ∴BE：AD=BF：FD=1：3 ∴BE：EC=BE：（BC﹣BE）=BE：（AD﹣BE）=1：（3﹣1） ∴BE：EC=1：2 故選A． 【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)；其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．注意：求相似比不僅要認準對應(yīng)邊，還需注意兩個三角形的先后次序． 　 4．下列說法中，錯誤的是（　?。? A．兩個全等三角形一定是相似形 B．兩個等腰三角形一定相似 C．兩個等邊三角形一定相似 D．兩個等腰直角三角形一定相似 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法及各三角形的性質(zhì)對各個選項進行分析，從而得到最后答案． 【解答】解：A正確，因為全等三角形符合相似三角形的判定條件； B不正確，因為沒有指明相等的角與可成比例的邊，不符合相似三角形的判定方法； C正確，因為其三個角均相等； D正確，因為其三個角均相等，符合相似三角形的判定條件； 故選B． 【點評】此題考查了相似三角形的判定． ①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似； ②有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似； ③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似． 　 5．如圖，Rt△ABC中，∠C=90，D是AC邊上一點，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，則CD=（　?。? A．2 B． C． D． 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)△ABC∽△BDC，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解答即可． 【解答】解：∵∠C=90，AB=5，AC=4 ∴BC=3 ∵△ABC∽△BDC ∴ ∴ ∴CD=． 故選D． 【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，還考查了勾股定理． 　 6．如圖，在正三角形ABC中，D，E分別在AC，AB上，且，AE=BE，則有（　　） A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 【考點】相似三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可判定△AED∽△CBD． 【解答】解：∵AD：AC=1：3， ∴AD：DC=1：2； ∵△ABC是正三角形， ∴AB=BC=AC； ∵AE=BE， ∴AE：BC=AE：AB=1：2 ∴AD：DC=AE：BC； ∵∠A為公共角， ∴△AED∽△CBD； 故選B． 【點評】考查相似三角形的判定定理： （1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似； （2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似； （3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似． 　 7．（易錯題）已知：如圖，∠ADE=∠ACD=∠ABC，圖中相似三角形共有（　　） A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 【考點】相似三角形的判定；平行線的判定． 【分析】根據(jù)已知先判定線段DE∥BC，再根據(jù)相似三角形的判定方法進行分析，從而得到答案． 【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC， ∵DE∥BC ∴∠EDC=∠DCB， ∵∠ACD=∠ABC， ∴△EDC∽△DCB， 同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD， ∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD， ∴△ADE∽△ACD ∴共4對 故選D． 【點評】考查了平行線的判定； 相似三角形的判定： （1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似； （2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似； （3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似； （4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似． 　 8．如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為a，b，c的三個正方形，則a，b，c滿足的關(guān)系式是（　?。? A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2 D．b=2a=2c 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】因為Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為a、b、c的三個正方形，所以圖中三角形都相似，且與a、b、c關(guān)系密切的是△DHE和△GQF，只要它們相似即可得出所求的結(jié)論． 【解答】解：∵DH∥AB∥QF ∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B； 又∵∠A+∠B=90，∠EDH+∠DEH=90，∠GFQ+∠FGQ=90； ∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ； ∴△DHE∽△GQF， ∴= ∴= ∴ac=（b﹣c）（b﹣a） ∴b2=ab+bc=b（a+c）， ∴b=a+c． 故選A． 【點評】此題考查了相似三角形的判定，同時還考查觀察能力和分辨能力． 　 二、填空題：（3*10=30） 9．已知a=4，b=9，c是a，b的比例中項，則c=　6?。? 【考點】比例線段；比例的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)比例中項的概念，得c2=ab，再利用比例的基本性質(zhì)計算得到c的值． 【解答】解：∵c是a，b的比例中項， ∴c2=ab， 又∵a=4，b=9， ∴c2=ab=36， 解得c=6． 【點評】理解比例中項的概念：當比例式中的兩個內(nèi)項相同時，即叫比例中項．根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行計算． 　 10．如圖，要使△ABC∽△ACD，需補充的條件是　∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB?。ㄖ灰獙懗鲆环N） 【考點】相似三角形的判定． 【分析】要使兩三角形相似，已知有一組公共角，則可以再添加一組角相等或添加該角的兩邊對應(yīng)成比例． 【解答】解：∵∠DAC=∠CAB ∴當∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB時，△ABC∽△ACD． 【點評】這是一道考查相似三角形的判定方法的開放性的題，答案不唯一． 　 11．在1：25000000的圖上，量得福州到北京的距離為6cm，則福州到北京的實際距離為　1500　km． 【考點】比例線段． 【分析】圖上距離和比例尺已知，依據(jù)“圖上距離比例尺=實際距離”即可求出兩地的實際距離． 【解答】解：6：=150000000（厘米）=1500（千米）； 答：福州到北京的實際距離是1500千米． 故答案為：1500． 【點評】此題主要考查圖上距離、實際距離和比例尺的關(guān)系． 　 12．如果點C是線段AB靠近點B的黃金分割點，且AC=2，那么AB≈　3.24?。ň_到0.01）． 【考點】黃金分割． 【分析】根據(jù)黃金分割的概念和黃金比列出算式，計算即可． 【解答】解：∵點C是線段AB靠近點B的黃金分割點， ∴AC≈0.618AB，又AC=2， ∴AB≈3.24， 故答案為：3.24． 【點評】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比． 　 13．如圖，在?ABCD中，E為CD中點，AE與BD相交于點O，S△DOE=12cm2，則S△AOB等于　48　cm2． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，先證△DOE∽△BOA，求出相似比為，故面積比為，即可求S△AOB=4S△DOE． 【解答】解：∵在?ABCD中，E為CD中點， ∴DE∥AB，DE=AB， 在△DOE與△BOA中， ∠DOE=∠BOA，∠OBA=∠ODE， ∴△DOE∽△BOA， 相似比為=， 故面積比為， 即S△AOB=4S△DOE=412=48cm2． 故答案為：48． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是明確相似三角形的面積比等于相似比的平方． 　 14．如圖，∠ABD=∠BCD=90，AD=8，BD=6，當CD=　　時，△ABD∽△BCD． 【考點】相似三角形的判定；勾股定理． 【分析】由∠ABD=∠BCD=90，可得當=時，△ABD∽△BCD，又由AD=8，BD=6，即可求得答案． 【解答】解：∵∠ABD=∠BCD=90， ∴當=時，△ABD∽△BCD， ∴， ∵AD=8，BD=6， ∴， 解得：CD=． 故答案為：． 【點評】此題考查了相似三角形的判定．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形相似的判定方法． 　 15．下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，三邊對應(yīng)成比例，做題即可． 【解答】解：設(shè)單位正方形的邊長為1，給出的三角形三邊長分別為，2，． A、三角形三邊2，，3，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項錯誤； B、三角形三邊2，4，2，與給出的三角形的各邊成正比例，故B選項正確； C、三角形三邊2，3，，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項錯誤； D、三角形三邊，4，，與給出的三角形的各邊不成比例，故D選項錯誤． 故選：B． 【點評】此題考查三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似判定定理的應(yīng)用． 　 16．如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=3：2：1，則△ADE、四邊形DFGE、四邊形FBCG的面積比為　9：16：11?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：DF：FB=3：2：1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△AFG：S△ABC=9：25：36，然后設(shè)△ADE的面積是9a，則△AFG和△ABC的面積分別是25a，36a，即可求兩個梯形的面積，繼而求得答案． 【解答】：∵DE∥FG∥BC， ∴△ADE∽△AFG∽△ABC， ∵AD：DF：FB=3：2：1， ∴AD：AF：AB=3：5：6， ∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=9：25：36， 設(shè)△ADE的面積是9a，則△AFG和△ABC的面積分別是25a，36a， 則S四邊形DFGE=S△AFG﹣S△ADE=16a，S四邊形FBCG=S△ABC﹣S△AFG=11a， ∴S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG=9：16：11． 故答案為：9：16：11． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方． 　 17．如圖是一山谷的橫斷面示意圖，寬AA′為15m，用曲尺（兩直尺相交成直角）從山谷兩側(cè)測量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（點A，O，O′A′在同一條水平線上），則該山谷的深h為　30　m． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題． 【分析】過谷底構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用坡比定義表示山谷寬求解． 【解答】解：設(shè)A、A′到谷底的水平距離為AC=m，A′C=n． ∴m+n=15． 根據(jù)題意知，OB∥CD∥O′B′． ∵OA=1，OB=3，O′A′=0.5，O′B′=3． ∴==3， ==6． ∴（+）h=15． 解得h=30（m）． 【點評】本題考查坡度的定義及其應(yīng)用． 　 18．已知一次函數(shù)y=2x+2與x軸y軸交于A、B兩點，另一直線y=kx+3交x軸正半軸與E，交y軸于F點，如△AOB與E、F、O三點組成的三角形相似，那么k值為　﹣2或﹣?。? 【考點】相似三角形的性質(zhì)；兩條直線相交或平行問題． 【分析】根據(jù)直線解析式求出點A、B、F的坐標，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例分OE和OA、OB是對應(yīng)邊兩種情況討論求出OE的長，然后求出直線y=kx+3的解析式，即可得解． 【解答】解：∵一次函數(shù)y=2x+2與x軸y軸交于A、B兩點， ∴A（﹣1，0），B（0，2）， ∴OA=1，OB=2， ∵直線y=kx+3交y軸于F點， ∴F（0，3）， ∴OF=3， ∵△AOB與E、F、O三點組成的三角形相似， ∴=或=， 即=或=， 解得OE=或OE=6， 當OE=時，y=﹣2x+3， 或OE=6時，y=﹣x+3， 所以，k=﹣2或﹣． 故答案為：﹣2或﹣． 【點評】本題考查了相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，兩直線相交的問題，難點是要分情況討論． 　 三、解答題（10+10+10+10+10+10+12+12+12=96） 19．如圖，△ABC的頂點坐標分別為A （﹣2，6），B （﹣2，2），C （﹣4，0 ）． （1）在第四象限內(nèi)畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于點O位似，且△A1B1C1與△ABC的相似比為1：2； （2）畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90后的△A2B2C2． 【考點】作圖—相似變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換． 【分析】（1）根據(jù)在第四象限內(nèi)△A1B1C1與△ABC的相似比為1：2，找出對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，即可得出答案． （2）作∠BOB2=90，且OB2=OB，得到B的對應(yīng)點，同法得到其余各點的對應(yīng)點，進而得出圖形； 【解答】解：（1）如圖所示： （2）如圖所示： 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換與位似變換作圖、軸對稱圖形變換，找出對應(yīng)點的位置是作圖的關(guān)鍵． 　 20．（10分）已知：如圖△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點． （1）若AB=10cm，AC=6cm，則四邊形ADFE的周長為　16　cm （2）若△ABC周長為6cm，面積為12cm2，則△DEF的周長是　3　，面積是　3?。? 【考點】三角形中位線定理． 【分析】（1）首先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DF∥AC，DF=AC，EF∥AB，EF=AB，從可得四邊形ADFE是平行四邊形，EF=5cm，DF=3cm，進而可得周長； （2）首先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DF=AC，EF=AB，DE=BC，進而得到△DEF的周長是△ABC周長的一半，面積是△ABC的． 【解答】解：（1）∵、E、F分別是AB、AC、BC的中點， ∴DF∥AC，DF=AC，EF∥AB，EF=AB， ∴四邊形ADFE是平行四邊形， ∴AD=EF，AE=DF， ∵AB=10cm，AC=6cm， ∴EF=5cm，DF=3cm， ∴四邊形ADFE的周長為：5+5+3+3=16（cm）； （2）∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點， ∴DF=AC，EF=AB，DE=BC， ∵ABC周長為6cm， ∴△DEF的周長是： 6cm=3cm， ∵面積為12cm2， ∴△DEF的面積是：12cm2=3cm2， 故答案為：16，3，3． 【點評】此題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半． 　 21．如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC，AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F． （1）試說明：△ABD≌△BCE． （2）判斷△BDF與△ADB是否相似，并說明你的理由． 【考點】相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS即可求證△ABD≌△BCE． （2）由（1）可得∠BAD=∠CBE，再利用∠BDF與∠ADB是公共角即可求證△BDF∽△ADB． 【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60， ∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE． （2）△BDF∽△ADB．理由如下： ∵△ABD≌△BCE（已證）． ∴∠BAD=∠CBE， ∵∠BDF與∠ADB是公共角， ∴△BDF∽△ADB． 【點評】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)等知識點，難易程度適中，是一道很典型的題目． 　 22．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F． 求證：（1）△ADF∽△EDB； （2）CD2=DE?DF． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B+∠A=90，∠A+∠F=90，則∠B=∠F，從而得出△ADF∽△EDB； （2）由（1）得∠B=∠F，再CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，得出CD=DB，根據(jù)等邊對等角得∠DCE=∠F，則可證明△CDE∽△FDC，從而得出=，化為乘積式即可CD2=DF?DE． 【解答】證明：（1）在Rt△ABC中， ∠B+∠A=90 ∵DF⊥AB ∴∠BDE=∠ADF=90 ∴∠A+∠F=90， ∴∠B=∠F， ∴△ADF∽△EDB； （2）由（1）可知△ADF∽△EDB ∴∠B=∠F， ∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線 ∴CD=AD=DB， ∴∠DCE=∠B， ∴∠DCE=∠F， ∴△CDE∽△FDC， ∴=， ∴CD2=DF?DE． 【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 　 23．如圖，一圓柱形油桶，高1.5m，用一根2m長的木棒從桶蓋小口斜插桶用另一端的小口處，抽出木棒后，量得上面沒浸油的部分為1.2m，求桶內(nèi)油面高度． 【考點】相似三角形的應(yīng)用． 【分析】由于DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，再再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， 即=， 解得AE=0.9m， ∴EC=1.5﹣0.9=0.6m． 故答案為：0.6m． 【點評】本題考查的是相似三角形在實際生活中的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△ADE∽△ABC是解答此題的關(guān)鍵． 　 24．如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=． （1）求AE的長； （2）求△CEF的周長和面積． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】（1）由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長； （2）首先證明△ABE∽△FCE，再分別求出△ABE的周長和面積，然后根據(jù)相似比等于周長比，面積比等于相似比的平方即可得到答案． 【解答】解：（1）∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE； 又∵AD∥BC， ∴∠BEA=∠DAE=∠BAE， ∴AB=BE=4， ∵BG⊥AE，垂足為G， ∴AE=2AG． 在Rt△ABG中，∵∠AGB=90，AB=4，BG=2， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4； （2）∵BE=4，BC=AD=6， ∴CE=BC﹣BE=6﹣4=2， ∴BE：CE=4：2=2：1． ∵AB∥FC， ∴△ABE∽△FCE， ∴△ABE的周長：△CEF的周長=BE：CE=2：1， △ABE的面積：△CEF的面積=（BE：CE）2=4：1， ∵AB=BE=4，AE=4，BG=2， ∴△ABE的周長=4+4+4=12，△ABE的面積=42=4， ∴△CEF的周長=6，△CEF的面積=． 【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中． 　 25．如圖，四邊形ABCD中，AB=5cm，CB=3cm．∠DAB=∠ACB=90．AD=CD，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于E點． （1）求CD的長度； （2）已知一動點P以2cm/s的速度從點D出發(fā)沿射線DE運動，設(shè)點P運動的時間為ts，問當t為何值時，△CDP與△ABC相似． 【考點】相似形綜合題． 【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，從而利用有兩對角對應(yīng)相等的兩三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例及AD=CD即可求出AD的長； （2）因為∠CDP=∠CAB，所以要使△CDP與△ABC相似，則應(yīng)有∠DPC或∠DCP=90，再分別就∠DCP=90和∠DPC=90分別討論求出符合題意的t值即可． 【解答】解：（1）∵AB=5cm，CB=3cm，∠ACB=90， ∴AC==4cm， ∵AD=CD，DE⊥AC， ∴AF=FC，∠CDF=∠ADF， ∵∠DAC+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠DAB=∠ACB=90， ∴△DFA∽△ACB， ∴， ∴， ∴CD=AD=（cm）； （2）∵∠CDP=∠CAB， ∴所以要使△CDP與△ABC相似，則應(yīng)有∠DPC或∠DCP=90， ①當∠DPC=90時，點P于點F重合， ∴t==（s）， ②當∠DCP=90時，點P于點E重合， ∴t=， ∵F是AC的中點，EF∥BC， ∴AE=EB=，EF=， ∵DE=DF+EF， ∴DE=， ∴t==（s）， 綜上可知：當t為s或s時△CDP與△ABC相似． 【點評】本題考查了勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理的運用，題目的難點在于分類討論的數(shù)學思想的運用． 　 26．如圖．等腰直角三角形ABC中，∠A=90，P為BC的中點，小明拿著含45角的透明三角形，使45角的頂點落在點P，且繞P旋轉(zhuǎn)． （1）如圖①：當三角板的兩邊分別AB、AC交于E、F點時，試說明△BPE∽△CFP． （2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖②，三角板兩邊分別交BA延長線和邊AC于點EF． 探究1：△BPE與△CFP．還相似嗎？（只需寫結(jié)論） 探究2：連接EF，△BPE與△EFP是否相似？請說明理由． 【考點】相似三角形的判定；等腰直角三角形． 【分析】（1）找出△BOE與△CFO的對應(yīng)角，其中∠BPE+∠CPF=135，∠CPF+∠CFP=135，得出∠BPE=∠CFP，從而解決問題； （2）探究1：△BPE與△CFP還相似，證明思路同（1）；究2：連接EF，△BPE與△EFP相似，根據(jù)有一夾角相等和夾邊的比值相等的兩個三角形相似證明即可． 【解答】（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC， ∴∠B=∠C=45． ∵∠B+∠BPE+∠BEP=180， ∴∠BPE+∠BEP=135， ∵∠EPF=45， 又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180， ∴∠BPE+∠CPF=135， ∴∠BEP=∠CPF， 又∵∠B=∠C， ∴△BPE∽△CFP（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）． （2）探究1：△BPE與△CFP還相似， 探究2：證明：連接EF，△BPE與△CFP相似， ∵△BPE∽△CFP， ∴， 又∵CP=BP， ∴， ∴， 又∵∠B=∠EPF， ∴△BEP∽△PEF． 【點評】此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學生都有的三角板在圖形上的運動為背景，既考查了學生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動，動中求靜的思維方法，又考查了學生動手實踐、自主探究的能力． 　 27．已知：在Rt△ABC中，∠BCA=90，AC=3，BC=4，CD是斜邊AB邊上的高，點E、F分別是AC、BC邊上的動點，連接DE、DF、EF，且∠EDF=90． （1）當四邊形CEDF是矩形時（如圖1），試求EF的長并直接判斷△DEF與△DAC是否相似． （2）在點E、F運動過程中（如圖2），△DEF與△DAC相似嗎？請說明理由； （3）設(shè)直線DF與直線AC相交于點G，△EFG能否為等腰三角形？若能，請直接寫出線段AE的長；若不能，請說明理由． 【考點】相似形綜合題． 【分析】（1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的長，然后利用三角形的面積相等即可求出CD的長，由矩形的性質(zhì)：對角線相等即可得到EF=CD，問題得解； （2）△DEF與△DAC相似，首先利用有兩對角相等的三角形相似證明△FDC∽△DEA，由相似三角形的性質(zhì)可得：，再通過有一對角相等，夾邊的比值相等的三角形相似即可證明△DEF與△DAC相似； （3）△EFG能為等腰三角形，因為此等腰三角形的腰和底邊不確定，所以要分兩種情況討論①①在等腰△EFG中，EF=EG；②在等腰△EFG中，EF=GF時；根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系和勾股定理就可以求出不同情況下的AE的值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=BC2+AC2=42+32， 解得：AB=5， 又S△ABC=AB?CD=AC?BC=6， ∴CD=， ∵四邊形CEDF是矩形， ∴EF=CD=； （2）△DEF與△DAC相似，理由如下： ∵∠FDE=90， ∴∠FDC+∠CDE=90， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90， ∴∠CDE+∠EDA=90， ∴∠FDC=∠EDA， ∵∠FCD+∠DCA=90，∠A+∠DCA=90， ∴∠FCD=∠A， ∴△FDC∽△DEA， ∴， 又∵∠FDE=∠CDA=90， ∴△DEF∽△DAC； （3）△EFG能為等腰三角形，理由如下： ①如圖3：如圖所示：設(shè)AE=x， 在等腰△EFG中，若EF=EG， ∴∠G=∠EFD， ∵∠DFE=∠DCA， ∴∠DCA=∠G， ∴CD=DG， 又∵DF=DG（三線合一） ∴DF=DC，∠CDA=∠EDF=90， ∴△ACD≌△EFD， ∴EF=AC=3， ∴EF2=AC2 ∴x2﹣6x+9=9 解得x=， ∴AE=， ②如圖4：若EF=GF， ∵EF=FG，EA⊥BC， ∴C為EG中點 ∴CD=CE=， ∵AC=3， ∴AE=3﹣=， ∴△EFG能成為等腰三角形，AE的長為或． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等腰三角形的判定，勾股定理的運用以及全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，題目的綜合性很強，難度不?。?