《九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版2（19頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2015-2016學年山東省菏澤市單縣九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項A、B、C、D中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項選出來并填在該題相應的括號內） 1．如果兩個相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1 2．在△ABC中，∠C=90，sinA=，則sinB的值是（　?。? A． B． C． D． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACD=15，則∠BAD的度數為（　?。? A．15 B．30 C．60 D．75 4．如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB．其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個三角形一定是（　　） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 6．如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（　?。? A． B． C． D． 7．如圖，BC是⊙O的直徑，P是CB延長線上一點，PA切⊙O于點A，如果PA=4，PB=2，那么線段BC的長等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，且∠D=30，下列四個結論： ①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形． 其中正確結論的序號是（　?。? A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求填寫最后結果，每小題填對得3分） 9．等腰三角形底邊長10cm，周長為36cm，則一底角的正切值為　?。? 10．弧長為6π的弧所對的圓心角為60，則該弧所在圓的半徑是　?。? 11．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是　?。? 12．如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，如果，則=　　． 13．如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的一點，已知∠BAC=80，那么∠BDC=　　度． 14．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P．則點P的坐標為　?。? 　 三、解答題（本大題共7個小題，共78分）解答應寫出必要的證明過程或演算步驟 15．計算：tan30?sin60+cos230﹣sin245?tan45． 16．如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的長． 17．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的長． 18．如圖，△ABC的三頂點分別為A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．請畫出一個以原點O為位似中心，且與△ABC相似比為的位似圖形△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點的坐標．（只需畫出一種情況，A1B1：AB=） 19．如圖1表示一個時鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點A，且當鐘面顯示3點30分時，分針垂直與桌面，A點距桌面的高度為10公分．如圖2，若此鐘面顯示3點45分時，A點距離桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點50分時，A點距桌面的高度為多少公分？ 20．如圖，小明為測量某鐵塔AB的高度，他在離塔底B的10米C處測得塔頂的仰角α=43，已知小明的測角儀高CD=1.5米，求鐵塔AB的高．（精確到0.1米） （參考數據：sin43=0.6820，cos43=0.7314，tan43=0.9325） 21．如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，∠BOE=60，cosC=，BC=2． （1）求∠A的度數； （2）求證：BC是⊙O的切線； （3）求MD的長度． 22．釣魚島自古以來就是我國的神圣領土，為維護國家主權和海洋權利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域實現了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結果保留根號） 23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF． （1）求證：△DEC∽△FDC； （2）當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度． 24．（12分）如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC=12，∠C=30，D為BC的中點，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點，過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點． （1）求證：AE⊥DE； （2）計算：AC?AF的值． 　  2015-2016學年山東省菏澤市單縣九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項A、B、C、D中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項選出來并填在該題相應的括號內） 1．如果兩個相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（　?。? A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1 【考點】相似三角形的性質． 【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出． 【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是1：2， ∴（1：2）2=1：4．故選B． 【點評】本題是一道考查相似三角形性質的基本題目，比較簡單． 　 2．在△ABC中，∠C=90，sinA=，則sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【考點】互余兩角三角函數的關系． 【分析】根據互余兩角三角函數的關系：sin2A+sin2B=1解答． 【解答】解：∵在Rt△ABC，∠C=90， ∴∠A+∠B=90， ∴sin2A+sin2B=1，sinB＞0， ∵sinA=， ∴sinB==． 故選：C． 【點評】本題考查了互余兩角三角函數的關系，掌握sin2A+sin2B=1是解題的關鍵． 　 3．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACD=15，則∠BAD的度數為（　?。? A．15 B．30 C．60 D．75 【考點】圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】由AB是圓的直徑，則∠ADB=90，由圓周角定理知，∠ABD=∠ACD=15，即可求∠BAD=90﹣∠B=75． 【解答】解：連接BD， ∵AB是圓的直徑， ∴∠ADB=90， ∴∠ABD=∠ACD=15， ∴∠BAD=90﹣∠ABD=75． 故選：D． 【點評】本題考查了直徑對的圓周角定理是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 　 4．如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB．其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】相似三角形的判定． 【分析】由圖可知△ABC與△ACD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應邊成比例即可解答． 【解答】解：有三個． ①∠B=∠ACD，再加上∠A為公共角，可以根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定； ②∠ADC=∠ACB，再加上∠A為公共角，可以根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定； ③中∠A不是已知的比例線段的夾角，不正確 ④可以根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定； 故選：C． 【點評】此題主要考查學生對相似三角形的判定方法的掌握情況． 　 5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個三角形一定是（　?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【考點】特殊角的三角函數值． 【分析】根據特殊角的三角函數值和三角形的內角和定理求出角的度數，再進行判斷． 【解答】解：∵cosA=，tanB=， ∴∠A=45，∠B=60． ∴∠C=180﹣45﹣60=75． ∴△ABC為銳角三角形． 故選A． 【點評】本題考查特殊角三角函數值的計算，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主． 　 6．如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【考點】相似三角形的判定． 【專題】網格型． 【分析】本題主要應用兩三角形相似判定定理，三邊對應成比例，分別對各選項進行分析即可得出答案． 【解答】解：已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、 只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應成比例． 故選：B． 【點評】此題考查三角形相似判定定理的應用． 　 7．如圖，BC是⊙O的直徑，P是CB延長線上一點，PA切⊙O于點A，如果PA=4，PB=2，那么線段BC的長等于（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【考點】切線的性質． 【分析】如圖，連接OA．根據切線的性質得到∠OAP=90，所以在直角△AOP中，利用勾股定理來求該圓的半徑，則易求直徑BC的長度． 【解答】解：設該圓的半徑為r（r＞0）， 如圖，連接OA， ∵PA切⊙O于點A， ∴OA⊥AP，即∠OAP=90， 又∵PA=4，PB=2， ∴在直角△AOP中，利用勾股定理得到：PA2+OA2=OP2，即42+r2=（r+2）2， 則r=3， ∴⊙O的直徑BC=2r=6， 故選D． 【點評】本題考查了切線的性質．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題是解答此題的關鍵． 　 8．如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，且∠D=30，下列四個結論： ①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形． 其中正確結論的序號是（　?。? A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【考點】垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】分別根據垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數的定義對各選項進行逐一判斷即可． 【解答】解：∵點A是劣弧的中點，OA過圓心， ∴OA⊥BC，故①正確； ∵∠D=30， ∴∠ABC=∠D=30， ∴∠AOB=60， ∵點A是劣弧的中點， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OA=OB=AB=6cm， ∴BE=AB?cos30=6=3cm， ∴BC=2BE=6cm，故②正確； ∵∠AOB=60， ∴sin∠AOB=sin60=， 故③正確； ∵∠AOB=60， ∴AB=OB， ∵點A是劣弧的中點， ∴AC=AB， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四邊形ABOC是菱形， 故④正確． 故選：B． 【點評】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強，是一道好題． 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求填寫最后結果，每小題填對得3分） 9．等腰三角形底邊長10cm，周長為36cm，則一底角的正切值為　　． 【考點】解直角三角形． 【分析】易求腰長．作底邊上的高，根據三角函數的定義求解． 【解答】解：如圖，AB=AC，BC=10，AD為底邊上的高，周長為36， 則AB=AC=（36﹣10）2=13． ∵BD=5， ∴由勾股定理得，AD=12． tan∠ABC=AD：BD=12：5． 【點評】本題利用了等腰三角形的性質和銳角三角函數的概念． 　 10．弧長為6π的弧所對的圓心角為60，則該弧所在圓的半徑是　18?。? 【考點】弧長的計算． 【分析】利用底面周長=展開圖的弧長可得． 【解答】解： =6π， 解得r=18． 【點評】解答本題的關鍵是有確定底面周長=展開圖的弧長這個等量關系，然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值． 　 11．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是　?。? 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】由∠BAC=∠ACD=90，可得AB∥CD，即可證得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得：，然后利用三角函數，用AC表示出AB與CD，即可求得答案． 【解答】解：∵∠BAC=∠ACD=90， ∴AB∥CD， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∵在Rt△ACB中∠B=45， ∴AB=AC， ∵在Rt△ACD中，∠D=30， ∴CD==AC， ∴==． 故答案為：． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質與三角函數的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用． 　 12．如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，如果，則=　?。? 【考點】平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質． 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，易得△BEF∽△DAF，即可得=，然后由，求得答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴=， ∵， ∴=， ∴=． 故答案為：． 【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用． 　 13．如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的一點，已知∠BAC=80，那么∠BDC=　50　度． 【考點】切線的性質；圓周角定理． 【分析】先用切線的性質得出∠BAD=∠ACD=90，再用四邊形內角和定理得出∠BOC，∠BDC可求． 【解答】解：連接OB、OC，則∠ABO=∠ACO=90， ∠BAC+∠BOC=360﹣（∠ABO+∠ACO）=360﹣180=180， ∠BOC=180﹣∠BAC=180﹣80=100， 故∠BDC=∠BOC=100=50． 【點評】本題考查的是切線的性質及圓周角定理，四邊形內角和定理，比較簡單． 　 14．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P．則點P的坐標為?。?，4﹣2）?。? 【考點】相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；正方形的性質． 【分析】根據正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標． 【解答】解：∵四邊形OABC是邊長為2的正方形， ∴OA=OC=2，OB=2， ∵QO=OC， ∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2， ∵正方形OABC的邊AB∥OC， ∴△BPQ∽△OCQ， ∴=， 即=， 解得BP=2﹣2， ∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2， ∴點P的坐標為（2，4﹣2）． 故答案為：（2，4﹣2）． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的對角線等于邊長的倍的性質，以及坐標與圖形的性質，比較簡單，利用相似三角形的對應邊成比例求出BP的長是解題的關鍵． 　 三、解答題（本大題共7個小題，共78分）解答應寫出必要的證明過程或演算步驟 15．計算：tan30?sin60+cos230﹣sin245?tan45． 【考點】特殊角的三角函數值． 【分析】把特殊角的三角函數值代入，然后化簡求值即可． 【解答】解：原式=+（）2﹣（）21 =+﹣=． 【點評】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值． 　 16．如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的長． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】根據相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得出BC的長． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE=1，AD=2，DB=3， ∴AB=AD+DB=5， ∴BC==． 【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形對應邊的比相等是解答此題的關鍵． 　 17．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的長． 【考點】圓周角定理；解直角三角形． 【分析】根據直徑所對的圓周角等于90，得∠ACB=90，再由CD⊥AB．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，得出tanB，即可求得答案． 【解答】解：∵AB為直徑， ∴∠ACB=90， ∴∠ACD+∠BCD=90， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD=， ∴cos∠B=， ∴tan∠B=， ∵BC=4， ∴tan∠B=， ∴= ∴AC=． 【點評】本題考查了圓周角定理以及三角函數的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用． 　 18．如圖，△ABC的三頂點分別為A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．請畫出一個以原點O為位似中心，且與△ABC相似比為的位似圖形△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點的坐標．（只需畫出一種情況，A1B1：AB=） 【考點】作圖-位似變換；坐標確定位置． 【分析】先以原點O為位似中心，作△ABC的位似圖形，使相似比為，再根據所作三角形三點的位置寫出三點的坐標． 【解答】解：如圖 △A1B1C1就是所求的三角形，A1（﹣2，﹣2），B1（1，﹣1），C1（﹣1.5，0）． 【點評】此題考查位似三角形的作法和點的坐標的寫法，難度中等． 　 19．如圖1表示一個時鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點A，且當鐘面顯示3點30分時，分針垂直與桌面，A點距桌面的高度為10公分．如圖2，若此鐘面顯示3點45分時，A點距離桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點50分時，A點距桌面的高度為多少公分？ 【考點】解直角三角形的應用． 【分析】根據當鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10公分得出AD=10，進而得出A′C=16，從而得出A′A″=3，得出答案即可． 【解答】解：連接A″A′， ∵當鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10公分． ∴AD=10， ∵鐘面顯示3點45分時，A點距桌面的高度為16公分， ∴A′C=16， ∴AO=A″O=6， 則鐘面顯示3點50分時， ∠A″OA′=30， ∴A′A″=3， ∴A點距桌面的高度為：16+3=19公分． 【點評】此題主要考查了解直角三角形以及鐘面角，得出∠A′OA=30，進而得出A′A″=3，是解決問題的關鍵． 　 20．如圖，小明為測量某鐵塔AB的高度，他在離塔底B的10米C處測得塔頂的仰角α=43，已知小明的測角儀高CD=1.5米，求鐵塔AB的高．（精確到0.1米） （參考數據：sin43=0.6820，cos43=0.7314，tan43=0.9325） 【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題． 【專題】應用題． 【分析】本題是一個直角梯形的問題，可以過點D作DE⊥AB于點E，把求AB的問題轉化求AE的長，從而可以在△ADE中利用三角函數求解． 【解答】解：如圖，可知四邊形DCBE是矩形． ∴EB=DC=1.5米，DE=CB=10米． 在Rt△AED中，∠ADE=α=43． ∴tanα=． ∴AE=DE?tan43=100.9325=9.325米； ∴AB=AE+EB=9.325+1.5=10.825≈10.8（米）． 【點評】解直角梯形可以通過作高線轉化為解直角三角形和矩形的問題． 　 21．如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，∠BOE=60，cosC=，BC=2． （1）求∠A的度數； （2）求證：BC是⊙O的切線； （3）求MD的長度． 【考點】圓周角定理；切線的判定與性質；弧長的計算；特殊角的三角函數值． 【專題】計算題；證明題；壓軸題． 【分析】（1）根據三角函數的知識即可得出∠A的度數． （2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可． （3）根據切線的性質，運用三角函數的知識求出MD的長度． 【解答】（1）解：∵∠BOE=60， ∴∠A=∠BOE=30． （2）證明：在△ABC中，∵cosC=， ∴∠C=60． 又∵∠A=30， ∴∠ABC=90， ∴AB⊥BC． ∴BC是⊙O的切線． （3）解：∵點M是的中點， ∴OM⊥AE． 在Rt△ABC中，∵BC=2， ∴AB=BC?tan60=2=6． ∴OA==3， ∴OD=OA=， ∴MD=． 【點評】本題綜合考查了三角函數的知識、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可． 　 22．釣魚島自古以來就是我國的神圣領土，為維護國家主權和海洋權利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域實現了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結果保留根號） 【考點】解直角三角形的應用-方向角問題． 【專題】壓軸題． 【分析】首先過點B作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC=45，∠ABC=90+15=105，則可求得∠ACB的度數，然后利用三角函數的知識求解即可求得答案． 【解答】解：過點B作BD⊥AC于D． 由題意可知，∠BAC=45，∠ABC=90+15=105， ∴∠ACB=180﹣∠BAC﹣∠ABC=30， 在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=20=10（海里）， 在Rt△BCD中，BC===20（海里）． 答：此時船C與船B的距離是20海里． 【點評】此題考查了方向角問題．此題難度適中，注意能借助于方向角構造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵． 　 23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF． （1）求證：△DEC∽△FDC； （2）當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度． 【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質；解直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）根據題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進行相似的判定； （2）根據F為AD的中點，可得FB=FC，根據AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設EF=x，則EC=2x，利用（1）的結論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC． 【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90，∠DCE=∠FCD， ∴△DEC∽△FDC． （2）∵F為AD的中點，AD∥BC， ∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC， ∴FE：FC=1：3， ∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=； 設EF=x，則FC=3x， ∵△DEC∽△FDC， ∴=，即可得：6x2=12， 解得：x=， 則CF=3， 在Rt△CFD中，DF==， ∴BC=2DF=2． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質：對應邊成比例． 　 24．（12分）（2009?蕪湖）如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC=12，∠C=30，D為BC的中點，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點，過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點． （1）求證：AE⊥DE； （2）計算：AC?AF的值． 【考點】切線的性質；等邊三角形的性質；直角三角形的性質；圓周角定理；圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定與性質． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）連接OA、OB，證明△ABD為等邊三角形后根據三心合一的定理求出∠OAC=60，求出四邊形ABDF內接于圓O，利用切線的性質求出AE⊥DE； （2）由1可得△ABD為等邊三角形，易證△ADF∽△ACD，可得AD2=AC?AF． 【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠C=30，D為BC的中點， ∴∠ABD=60，AD=BD=DC． ∴△ABD為等邊三角形． ∴O點為△ABD的中心（內心，外心，垂心三心合一）． 連接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30， ∴∠OAC=60． 又∵AE為⊙O的切線， ∴OA⊥AE，∠OAE=90． ∴∠EAF=30． ∴AE∥BC． 又∵四邊形ABDF內接于圓O， ∴∠FDC=∠BAC=90． ∴∠AEF=∠FDC=90，即AE⊥DE． （2）解：由（1）知，△ABD為等邊三角形， ∴∠ADB=60． ∴∠ADF=∠C=30，∠FAD=∠DAC． ∴△ADF∽△ACD，則． ∴AD2=AC?AF， 又∵AD=BC=6． ∴AC?AF=36． 【點評】本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．