九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 蘇科版 (4)
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2016-2017學(xué)年江蘇省無(wú)錫市江陰市南菁中學(xué)九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 1.方程(x﹣2)(x+3)=0的解是( ?。? A.x=2 B.x=﹣3 C.x1=﹣2,x2=3 D.x1=2,x2=﹣3 2.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是( ?。? A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 3.學(xué)校組織才藝表演比賽,前6名獲獎(jiǎng).有13位同學(xué)參加比賽且他們所得的分?jǐn)?shù)互不相同.某同學(xué)知道自己的比賽分?jǐn)?shù)后,要判斷自己能否獲獎(jiǎng),在這13名同學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)量中只需知道一個(gè)量,它是( ?。? A.眾數(shù) B.方差 C.中位數(shù) D.平均數(shù) 4.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠OCB=40,則∠A的度數(shù)等于( ?。? A.60 B.50 C.40 D.30 5.設(shè)α、β是方程x2+x﹣2015=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則α+β的值為( ?。? A.2015 B.﹣2015 C.1 D.﹣1 6.如圖所示,△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn),則sinA的值為( ?。? A. B. C. D. 7.一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍,則這個(gè)正多邊形的半徑是( ) A.2 B. C.1 D. 8.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠B=30,BC=4cm,以點(diǎn)C為圓心,以2cm的長(zhǎng)為半徑作圓,則⊙C與AB的位置關(guān)系是( ?。? A.相離 B.相切 C.相交 D.相切或相交 9.一張長(zhǎng)方形桌子的長(zhǎng)是150cm,寬是100cm,現(xiàn)在要設(shè)計(jì)一塊長(zhǎng)方形桌布,面積是桌面的2倍,且使四周垂下的邊寬是xcm.根據(jù)題意,得( ?。? A.(150+x)(100+x)=1501002 B.(150+2x)(100+2x)=1501002 C.(150+x)(100+x)=150100 D.2(150x+100x)=150100 10.如圖,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直線上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90至圖①位置,再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90至圖②位置,…,以此類推,這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2016次后,頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是( ) A.2015π B.3019.5π C.3018π D.3024π 二、填空題(本大題共8小題,每空2分,共16分,把答案填在相應(yīng)橫線上) 11.已知x=﹣1是關(guān)于x的方程2x2﹣ax+a=0的一個(gè)根,則a= ?。? 12.在Rt△ABC中,∠ACB=90,BC=1,AB=2,則sinA= ?。? 13.如圖,在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,則⊙O的半徑是 cm. 14.如圖,AB、AC、BD是⊙O的切線,P、C、D為切點(diǎn),如果AB=5,AC=3,則BD的長(zhǎng)為 . 15.一個(gè)扇形半徑30cm,圓心角120,用它作一個(gè)圓錐的側(cè)面,則圓錐底面半徑為 ?。? 16.小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn),用折紙的方法可求出tan22.5,方法如下:將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處,還原后,再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處,這樣就可以知道tan22.5= ?。? 17.在Rt△ABC中,斜邊AB=10,直角邊AC=8,以C為圓心,r為半徑,若要使⊙C與邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn),則r的取值范圍是 ?。? 18.如圖,P1是一塊半徑為1的半圓形紙板,在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形P2,然后依次剪去一個(gè)更小的半圓(其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑)得圖形P3,P4,…,Pn,…,記紙板Pn的面積為Sn,試通過(guò)計(jì)算S1,S2,猜想得到Sn﹣1﹣Sn= ?。╪≥2). 三、解答題(本大題共10小題,共84分,寫出必要的解題步驟和過(guò)程) 19.解方程 (1)x2+3x﹣4=0 (2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣1. 20.計(jì)算: (1)tan30?sin60+cos230﹣sin245?cos60 (2)﹣|﹣3|+()﹣2﹣4cos30. 21.為切實(shí)減輕中小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)、全面實(shí)施素質(zhì)教育,某中學(xué)對(duì)本校學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況進(jìn)行調(diào)查.在本校隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)被抽查的學(xué)生中,每天完成課外作業(yè)時(shí)間,最長(zhǎng)不足120分鐘,沒(méi)有低于40分鐘的,且完成課外作業(yè)時(shí)間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%.現(xiàn)將抽查結(jié)果繪制成了一個(gè)不完整的頻數(shù)分布直方圖,如圖所示. (1)這次被抽查的學(xué)生有 人; (2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖; (3)被調(diào)查這些學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)在 組(填時(shí)間范圍); (4)若該校共有3600名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校大約有多少名學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上(包括80分鐘). 22.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O交于BC于D,DE⊥AC于E. 求證:DE是⊙O的切線. 23.如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,已知∠D=30. (1)求∠A的度數(shù); (2)若點(diǎn)F在⊙O上,CF⊥AB,垂足為E,CF=,求圖中陰影部分的面積. 24.如圖,海上有一燈塔P,在它周圍3海里處有暗礁.一艘客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行,行至A點(diǎn)處測(cè)得P在它的北偏東60的方向,繼續(xù)行駛20分鐘后,到達(dá)B處又測(cè)得燈塔P在它的北偏東45方向.問(wèn)客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)? 25.2013年,無(wú)錫市蠡湖新城某樓盤以每平方米12000元的均價(jià)對(duì)外銷售.由于樓盤滯銷,房地產(chǎn)商為了加快資金周轉(zhuǎn),決定進(jìn)行降價(jià)促銷,經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年下調(diào)后,2015年該樓盤的均價(jià)為每平方米9720元. (1)求平均每年下調(diào)的百分率; (2)假設(shè)2016年該樓盤的均價(jià)仍然下調(diào)相同的百分率,李強(qiáng)準(zhǔn)備購(gòu)買一套100平方米的住房,他持有現(xiàn)金30萬(wàn)元,可在銀行貸款50萬(wàn)元,李強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)?(房?jī)r(jià)按照均價(jià)計(jì)算,不考慮其它因素.) 26.如圖1,在直角坐標(biāo)系xoy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x正半軸上,OA=12cm,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,OB=12cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng).如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng),移動(dòng)時(shí)間為t(0<t<6)s. (1)求∠OAB的度數(shù). (2)以O(shè)B為直徑的⊙O′與AB交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),PM與⊙O′相切? (3)是否存在△RPQ為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 27.如圖,已知l1⊥l2,⊙O與l1,l2都相切,⊙O的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若⊙O與矩形ABCD沿l1同時(shí)向右移動(dòng),⊙O的移動(dòng)速度為3cm/s,矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s) (1)如圖①,連接OA、AC,則∠OAC的度數(shù)為 ; (2)如圖②,兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后,⊙O到達(dá)⊙O1的位置,矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置,此時(shí)點(diǎn)O1,A1,C1恰好在同一直線上,求圓心O移動(dòng)的距離(即OO1的長(zhǎng)); (3)在移動(dòng)過(guò)程中,圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化,設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d<2時(shí),求t的取值范圍(解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖). 28.已知,如圖,直線y=x﹣4與x軸,y軸分別交于B、A,將該直線繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α,且tanα=,旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點(diǎn). (1)求A、B、C的坐標(biāo); (2)在x軸上找一點(diǎn)P,使有一動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著A﹣P﹣C的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),并且在AP上以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),在PC上以每秒個(gè)單位移動(dòng),試用尺規(guī)作圖找到P點(diǎn)的位置(不寫作法,保留作圖痕跡),并求出所用的最短時(shí)間t. 2016-2017學(xué)年江蘇省無(wú)錫市江陰市南菁中學(xué)九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 1.方程(x﹣2)(x+3)=0的解是( ?。? A.x=2 B.x=﹣3 C.x1=﹣2,x2=3 D.x1=2,x2=﹣3 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】根據(jù)已知得出兩個(gè)一元一次方程,求出方程的解即可. 【解答】解:(x﹣2)(x+3)=0, x﹣2=0,x+3=0, x1=2,x2=﹣3, 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元關(guān)鍵是能把一元一次方程和解一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程. 2.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是( ) A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義. 【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關(guān)于k的不等式組,求出k的取值范圍即可. 【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, ∴,即, 解得k>﹣1且k≠0. 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式,熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵. 3.學(xué)校組織才藝表演比賽,前6名獲獎(jiǎng).有13位同學(xué)參加比賽且他們所得的分?jǐn)?shù)互不相同.某同學(xué)知道自己的比賽分?jǐn)?shù)后,要判斷自己能否獲獎(jiǎng),在這13名同學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)量中只需知道一個(gè)量,它是( ) A.眾數(shù) B.方差 C.中位數(shù) D.平均數(shù) 【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇. 【分析】由于比賽設(shè)置了6個(gè)獲獎(jiǎng)名額,共有13名選手參加,故應(yīng)根據(jù)中位數(shù)的意義分析. 【解答】解:因?yàn)?位獲獎(jiǎng)?wù)叩姆謹(jǐn)?shù)肯定是13名參賽選手中最高的, 而且13個(gè)不同的分?jǐn)?shù)按從小到大排序后,中位數(shù)及中位數(shù)之后的共有6個(gè)數(shù), 故只要知道自己的分?jǐn)?shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎(jiǎng)了. 故選C. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí),主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義.反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計(jì)量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等,各有局限性,因此要對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用. 4.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠OCB=40,則∠A的度數(shù)等于( ?。? A.60 B.50 C.40 D.30 【考點(diǎn)】圓周角定理. 【分析】由OB=OC,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì),可求得∠OBC的度數(shù),繼而求得∠BOC的度數(shù),然后由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半,即可求得答案. 【解答】解:∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB=40, ∴∠BOC=180﹣∠OBC﹣∠OCB=100, ∴∠A=∠BOC=50. 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).注意在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半. 5.設(shè)α、β是方程x2+x﹣2015=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則α+β的值為( ) A.2015 B.﹣2015 C.1 D.﹣1 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系. 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,即可得出α+β的值,此題得解. 【解答】解:∵α、β是方程x2+x﹣2015=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, ∴α+β=﹣=﹣1. 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,熟練掌握兩根之和為﹣是解題的關(guān)鍵. 6.如圖所示,△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn),則sinA的值為( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理. 【專題】網(wǎng)格型. 【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答. 【解答】解:如圖:在B點(diǎn)正上方找一點(diǎn)D,使BD=BC,連接CD交AB于O, 根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn),CD⊥AB, 在Rt△AOC中, CO==; AC==; 則sinA===. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理,作出輔助線CD并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵. 7.一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍,則這個(gè)正多邊形的半徑是( ?。? A.2 B. C.1 D. 【考點(diǎn)】正多邊形和圓;多邊形內(nèi)角與外角. 【專題】壓軸題. 【分析】先判斷出多邊形的邊數(shù),再求多邊形的半徑. 【解答】解:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n. 因?yàn)檎噙呅蝺?nèi)角和為(n﹣2)?180, 正多邊形外角和為360,根據(jù)題意得: (n﹣2)?180=3602, n﹣2=22, n=6. 故正多邊形為6邊形. 邊長(zhǎng)為2的正六邊形可以分成六個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形, 所以正多邊形的半徑等于2, 故選A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力,要注意利用特殊角的正多邊形,以簡(jiǎn)化計(jì)算. 8.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠B=30,BC=4cm,以點(diǎn)C為圓心,以2cm的長(zhǎng)為半徑作圓,則⊙C與AB的位置關(guān)系是( ?。? A.相離 B.相切 C.相交 D.相切或相交 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系. 【專題】壓軸題. 【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D.根據(jù)三角函數(shù)求CD的長(zhǎng),與圓的半徑比較,作出判斷. 【解答】解:作CD⊥AB于點(diǎn)D. ∵∠B=30,BC=4cm, ∴CD=BC=2cm, 即CD等于圓的半徑. ∵CD⊥AB, ∴AB與⊙C相切. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.通常根據(jù)圓的半徑R與圓心到直線的距離d的大小判斷: 當(dāng)R>d時(shí),直線與圓相交;當(dāng)R=d時(shí),直線與圓相切;當(dāng)R<d時(shí),直線與圓相離. 9.一張長(zhǎng)方形桌子的長(zhǎng)是150cm,寬是100cm,現(xiàn)在要設(shè)計(jì)一塊長(zhǎng)方形桌布,面積是桌面的2倍,且使四周垂下的邊寬是xcm.根據(jù)題意,得( ?。? A.(150+x)(100+x)=1501002 B.(150+2x)(100+2x)=1501002 C.(150+x)(100+x)=150100 D.2(150x+100x)=150100 【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程. 【專題】應(yīng)用題. 【分析】設(shè)四周垂下的邊寬度為xcm,求得桌布的面積,根據(jù)桌布面積是桌面的2倍列方程解答時(shí)即可. 【解答】解:設(shè)四周垂下的邊寬度為xcm, 桌布的長(zhǎng)為(150+2x),寬為(100+2x), 根據(jù)桌布面積是桌面的2倍可得:(150+2x)(100+2x)=1501002, 故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程的知識(shí)點(diǎn),解答此題的關(guān)鍵是求得桌布的長(zhǎng)和寬,進(jìn)一步運(yùn)用長(zhǎng)方形的面積解決問(wèn)題. 10.如圖,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直線上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90至圖①位置,再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90至圖②位置,…,以此類推,這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2016次后,頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是( ?。? A.2015π B.3019.5π C.3018π D.3024π 【考點(diǎn)】軌跡;矩形的性質(zhì);旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線的長(zhǎng),發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán),找到規(guī)律然后計(jì)算即可. 【解答】解:∵AB=4,BC=3, ∴AC=BD=5, 轉(zhuǎn)動(dòng)一次A的路線長(zhǎng)是: =2π, 轉(zhuǎn)動(dòng)第二次的路線長(zhǎng)是: =π, 轉(zhuǎn)動(dòng)第三次的路線長(zhǎng)是: =π, 轉(zhuǎn)動(dòng)第四次的路線長(zhǎng)是:0, 以此類推,每四次循環(huán), 故頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為:π+π+2π=6π, 20164=504, 頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為:6π504=3024π. 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了探索規(guī)律問(wèn)題和弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用,掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 二、填空題(本大題共8小題,每空2分,共16分,把答案填在相應(yīng)橫線上) 11.已知x=﹣1是關(guān)于x的方程2x2﹣ax+a=0的一個(gè)根,則a= ﹣1?。? 【考點(diǎn)】一元二次方程的解. 【分析】把x=﹣1代入方程,即可求出答案. 【解答】解:把x=﹣1代入方程2x2﹣ax+a=0得:2+a+a=0, 解得:a=﹣1, 故答案為:﹣1. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的應(yīng)用,能理解一元二次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵. 12.在Rt△ABC中,∠ACB=90,BC=1,AB=2,則sinA= . 【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義. 【分析】根據(jù)銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,可得答案. 【解答】解:sinA==, 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用:在直角三角形中,銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊,正切為對(duì)邊比鄰邊. 13.如圖,在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,則⊙O的半徑是 5 cm. 【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理. 【專題】壓軸題. 【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解. 【解答】解:在直角△AOE中,AE=4cm,OE=3cm,根據(jù)勾股定理得到OA=5,則⊙O的半徑是5cm. 【點(diǎn)評(píng)】此題涉及圓中求半徑的問(wèn)題,此類在圓中涉及弦長(zhǎng)、半徑、圓心角的計(jì)算的問(wèn)題,常把半弦長(zhǎng),半圓心角,圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中,然后通過(guò)直角三角形予以求解. 14.如圖,AB、AC、BD是⊙O的切線,P、C、D為切點(diǎn),如果AB=5,AC=3,則BD的長(zhǎng)為 2?。? 【考點(diǎn)】切線長(zhǎng)定理. 【專題】計(jì)算題. 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切線,則AC=AP,BP=BD,求出BP的長(zhǎng)即可求出BD的長(zhǎng). 【解答】解:∵AC、AP為⊙O的切線, ∴AC=AP, ∵BP、BD為⊙O的切線, ∴BP=BD, ∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2. 故答案為:2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長(zhǎng)定理,兩次運(yùn)用切線長(zhǎng)定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 15.一個(gè)扇形半徑30cm,圓心角120,用它作一個(gè)圓錐的側(cè)面,則圓錐底面半徑為 10cm . 【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算. 【專題】計(jì)算題. 【分析】求出扇形的弧長(zhǎng),此弧長(zhǎng)即為圓錐底面圓的周長(zhǎng),據(jù)此即可求出圓錐底面半徑. 【解答】解:扇形弧長(zhǎng)為=20πcm; 設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則r==10cm. 故答案為:10cm. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算,要明確,扇形的弧長(zhǎng)即為其圍成圓錐的底面圓周長(zhǎng). 16.小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn),用折紙的方法可求出tan22.5,方法如下:將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處,還原后,再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處,這樣就可以知道tan22.5= ﹣1?。? 【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);矩形的性質(zhì);解直角三角形. 【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出AB=BE,∠AEB=∠EAB=45,∠AFB=22.5,進(jìn)而得出tan∠AFB=tan22.5=得出答案即可. 【解答】解:∵將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處, ∴AB=BE,∠AEB=∠EAB=45, ∵還原后,再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處, ∴AE=EF,∠EAF=∠EFA==22.5, 設(shè)AB=x, 則AE=EF=x, ∴tan∠AFB=tan22.5===﹣1. 故答案是:﹣1. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì),根據(jù)已知得出∠AFB=22.5以及AE=EF是解題關(guān)鍵. 17.在Rt△ABC中,斜邊AB=10,直角邊AC=8,以C為圓心,r為半徑,若要使⊙C與邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn),則r的取值范圍是 r=或6<r≤8?。? 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;勾股定理. 【分析】因?yàn)橐箞A與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn),所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上.若d<r,則直線與圓相交;若d=r,則直線于圓相切;若d>r,則直線與圓相離. 【解答】解:如圖,∵斜邊AB=10,直角邊AC=8, ∴BC==6. 當(dāng)圓和斜邊相切時(shí),則半徑即是斜邊上的高,r=CD==; 當(dāng)圓和斜邊相交,且只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上時(shí),可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長(zhǎng)直角邊,則6<r≤8. 故答案為:r=或6<r≤8. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,在解答此題時(shí)要注意分兩種情況進(jìn)行討論,不要漏解. 18.如圖,P1是一塊半徑為1的半圓形紙板,在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形P2,然后依次剪去一個(gè)更小的半圓(其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑)得圖形P3,P4,…,Pn,…,記紙板Pn的面積為Sn,試通過(guò)計(jì)算S1,S2,猜想得到Sn﹣1﹣Sn=?。ǎ?n﹣1π. (n≥2). 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算. 【專題】規(guī)律型. 【分析】由P1是一塊半徑為1的半圓形紙板,在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形P2,得到S1=π12=π,S2=π﹣π()2.同理可得Sn﹣1=π﹣π()2﹣π[()2]2﹣…﹣π[()n﹣2]2,Sn=π﹣π()2﹣π[()2]2﹣…﹣π[()n﹣2]2﹣π[()n﹣1]2,它們的差即可得到. 【解答】解:根據(jù)題意得,n≥2. S1=π12=π, S2=π﹣π()2, … Sn﹣1=π﹣π()2﹣π[()2]2﹣…﹣π[()n﹣2]2, Sn=π﹣π()2﹣π[()2]2﹣…﹣π[()n﹣2]2﹣π[()n﹣1]2, ∴Sn﹣1﹣Sn=π()2n﹣2=()2n﹣1π. 故答案為()2n﹣1π. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的面積公式:S=πR2.以及規(guī)律性題目的解題一般方法:從特殊到一般. 三、解答題(本大題共10小題,共84分,寫出必要的解題步驟和過(guò)程) 19.解方程 (1)x2+3x﹣4=0 (2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣1. 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】(1).因式分解法求解可得; (2)整理成一般式后利用公式法求解可得 【解答】解:(1)∵(x﹣1)(x+4)=0, ∴x﹣1=0或x+4=0, 解得:x=1或x=﹣4; (2)整理得:x2﹣7x+11=0, ∵a=1,b=﹣7,c=11, ∴△=49﹣4111=5>0, ∴x=. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法. 20.計(jì)算: (1)tan30?sin60+cos230﹣sin245?cos60 (2)﹣|﹣3|+()﹣2﹣4cos30. 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值. 【專題】計(jì)算題;實(shí)數(shù). 【分析】(1)原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果; (2)原式利用二次根式性質(zhì),絕對(duì)值的代數(shù)意義,負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則,以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果. 【解答】解:(1)原式=+﹣=1; (2)原式=2﹣3+4﹣2=1. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵. 21.為切實(shí)減輕中小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)、全面實(shí)施素質(zhì)教育,某中學(xué)對(duì)本校學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況進(jìn)行調(diào)查.在本校隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)被抽查的學(xué)生中,每天完成課外作業(yè)時(shí)間,最長(zhǎng)不足120分鐘,沒(méi)有低于40分鐘的,且完成課外作業(yè)時(shí)間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%.現(xiàn)將抽查結(jié)果繪制成了一個(gè)不完整的頻數(shù)分布直方圖,如圖所示. (1)這次被抽查的學(xué)生有 50 人; (2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖; (3)被調(diào)查這些學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)在 80﹣100 組(填時(shí)間范圍); (4)若該校共有3600名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校大約有多少名學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上(包括80分鐘). 【考點(diǎn)】頻數(shù)(率)分布直方圖;用樣本估計(jì)總體;中位數(shù). 【專題】圖表型. 【分析】(1)根據(jù)完成課外作業(yè)時(shí)間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%.可求出抽查的學(xué)生人數(shù); (2)根據(jù)總?cè)藬?shù),現(xiàn)有人數(shù)為補(bǔ)上那15人; (3)50個(gè)數(shù)據(jù),第25和26的平均數(shù)就是中位數(shù),從表中可看出第25、26人在80﹣100段里; (4)先求出50人里學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上的人的比例,再按比例估算全校的人數(shù). 【解答】解:(1)510%=50 這次被抽查的學(xué)生有50人; (2)如圖所示;50﹣35=15 (3)中位數(shù)在80至100分鐘這一小組內(nèi); (4)由樣本知,每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上(包括80分鐘)的人數(shù)有35人,占被調(diào)查人數(shù)的, 故全校學(xué)生中每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上(包括80分鐘)的人數(shù)約有人. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力.同時(shí)考查中位數(shù)、眾數(shù)的求法:給定n個(gè)數(shù)據(jù),按從小到大排序,如果n為奇數(shù),位于中間的那個(gè)數(shù)就是中位數(shù);如果n為偶數(shù),位于中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù).任何一組數(shù)據(jù),都一定存在中位數(shù)的,但中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)量的數(shù).給定一組數(shù)據(jù),出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù),稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù). 22.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O交于BC于D,DE⊥AC于E. 求證:DE是⊙O的切線. 【考點(diǎn)】切線的判定;等腰三角形的性質(zhì). 【分析】直接利用圓周角定理進(jìn)而得出∠ADB=90,再利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理得出OD⊥DE,即可得出答案. 【解答】證明:連接OD, ∵以AB為直徑作⊙O交于BC于D, ∴∠ADB=90, ∵AB=AC, ∴BD=DC, ∵AO=BO, ∴DO是△ABC的中位線, ∴DO∥AC, ∵DE⊥AC, ∴OD⊥DE, ∴DE是⊙O的切線. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定以及等腰三角形的性質(zhì),正確得出DO是△ABC的中位線是解題關(guān)鍵. 23.如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,已知∠D=30. (1)求∠A的度數(shù); (2)若點(diǎn)F在⊙O上,CF⊥AB,垂足為E,CF=,求圖中陰影部分的面積. 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算. 【分析】(1)連接OC,則△OCD是直角三角形,可求出∠COD的度數(shù);由于∠A與∠COD是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角.根據(jù)圓周角定理即可求得∠A的度數(shù); (2)由圖可知:陰影部分的面積是扇形OCB和Rt△OEC的面積差;那么解決問(wèn)題的關(guān)鍵是求出半徑和OE的長(zhǎng);在Rt△OCE中,∠OCE=∠D=30,已知了CE的長(zhǎng),通過(guò)解直角三角形,即可求出OC、OE的長(zhǎng),由此得解. 【解答】解:(1)連接OC, ∵CD切⊙O于點(diǎn)C ∴∠OCD=90(1分) ∵∠D=30 ∴∠COD=60 ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO=30;(4分) (2)∵CF⊥直徑AB,CF= ∴CE=(5分) ∴在Rt△OCE中,tan∠COE=, OE===2, ∴OC=2OE=4(6分) ∴S扇形BOC=, ∴S陰影=S扇形BOC﹣S△EOC=. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及扇形面積的計(jì)算方法.不規(guī)則圖形的面積,可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差來(lái)求. 24.如圖,海上有一燈塔P,在它周圍3海里處有暗礁.一艘客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行,行至A點(diǎn)處測(cè)得P在它的北偏東60的方向,繼續(xù)行駛20分鐘后,到達(dá)B處又測(cè)得燈塔P在它的北偏東45方向.問(wèn)客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)? 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題. 【專題】應(yīng)用題. 【分析】要得出有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)需求出輪船在航行過(guò)程中離點(diǎn)P的最近距離,然后與暗礁區(qū)的半徑進(jìn)行比較,若大于則無(wú)觸礁的危險(xiǎn),若小于則有觸礁的危險(xiǎn). 【解答】解:過(guò)P作PC⊥AB于C點(diǎn),據(jù)題意知: AB=9=3,∠PAB=90﹣60=30, ∠PBC=90﹣45=45,∠PCB=90, ∴PC=BC, 在Rt△APC中:tan30=, 即:, ∴PC=>3, ∴客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)無(wú)觸礁危險(xiǎn). 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查解直角三角形的有關(guān)知識(shí).通過(guò)數(shù)學(xué)建模把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題. 25.2013年,無(wú)錫市蠡湖新城某樓盤以每平方米12000元的均價(jià)對(duì)外銷售.由于樓盤滯銷,房地產(chǎn)商為了加快資金周轉(zhuǎn),決定進(jìn)行降價(jià)促銷,經(jīng)過(guò)連續(xù)兩年下調(diào)后,2015年該樓盤的均價(jià)為每平方米9720元. (1)求平均每年下調(diào)的百分率; (2)假設(shè)2016年該樓盤的均價(jià)仍然下調(diào)相同的百分率,李強(qiáng)準(zhǔn)備購(gòu)買一套100平方米的住房,他持有現(xiàn)金30萬(wàn)元,可在銀行貸款50萬(wàn)元,李強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)?(房?jī)r(jià)按照均價(jià)計(jì)算,不考慮其它因素.) 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用. 【專題】增長(zhǎng)率問(wèn)題. 【分析】(1)設(shè)平均每年下調(diào)的百分率為x,根據(jù)題意列出方程,求出方程的解即可得到結(jié)果; (2)如果下調(diào)的百分率相同,求出2016年的房?jī)r(jià),進(jìn)而確定出100平方米的總房款,即可做出判斷. 【解答】解(1)設(shè)平均每年下調(diào)的百分率x,由題意得: 12000(1﹣x)2=9720, (1﹣x)2=0.81. ∴1﹣x=0.9或1﹣x=﹣0.9, ∴x1=0.1,x2=1.9(舍去), 答:平均每年下調(diào)的百分率10%. (2)由(1)得:9720(1﹣10%)=8748(元), 8748100=874800(元), 500000+300000=800000(元), ∵874800>800000, ∴李強(qiáng)的愿望不能實(shí)現(xiàn). 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,基本數(shù)量關(guān)系:預(yù)訂每平方米銷售價(jià)格(1﹣每次下調(diào)的百分率)2=開(kāi)盤每平方米銷售價(jià)格. 26.如圖1,在直角坐標(biāo)系xoy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x正半軸上,OA=12cm,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,OB=12cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng).如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng),移動(dòng)時(shí)間為t(0<t<6)s. (1)求∠OAB的度數(shù). (2)以O(shè)B為直徑的⊙O′與AB交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),PM與⊙O′相切? (3)是否存在△RPQ為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【考點(diǎn)】圓的綜合題. 【分析】(1)在Rt△OAB中,已知了OA、OB的長(zhǎng),即可求出∠OAB的正切值,由此可得到∠OAB的度數(shù); (2)連接O′M,當(dāng)PM與⊙O′相切時(shí),PM、PO同為⊙O′的切線,易證得△OO′P≌△MO′P,則∠OO′P=∠MO′P;在(1)中易得∠OBA=60,即△O′BM是等邊三角形,由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60;在Rt△OPO′中,根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長(zhǎng)即可求得OP的長(zhǎng),已知了P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,即可根據(jù)時(shí)間=路程速度求得t的值; (3)存在△RPQ為等腰三角形,由于△QPQ的腰和底不確定,需分類討論:①PR=RQ,②PR=PQ,③RQ=PQ時(shí)分別求出符合題意的t值即可, 【解答】解:(1)在Rt△AOB中: tan∠OAB===, ∴∠OAB=30. (2)如圖,連接O′P,O′M. 當(dāng)PM與⊙O′相切時(shí),有: ∠PMO′=∠POO′=90, △PMO′≌△POO′. 由(1)知∠OBA=60, ∵O′M=O′B, ∴△O′BM是等邊三角形, ∴∠BO′M=60. 可得∠OO′P=∠MO′P=60. ∴OP=OO′?tan∠OO′P =6tan60=6, 又∵OP=2t, ∴2t=6,t=3. 即:t=3時(shí),PM與⊙O‘相切. (3)存在△RPQ為等腰三角形, 理由如下:由題意可知:PR2=16t2﹣48t,PQ2=52t2﹣288t,RQ2=28t2﹣240t+576, 當(dāng)①PR=RQ時(shí),可得t=8﹣2(t=8+舍去); 當(dāng)②PR=PQ時(shí),可得t=; 當(dāng)③RQ=PQ時(shí),可得t=1+(t=1﹣舍去) 綜上可知:當(dāng)t=8﹣2,,1+時(shí),△RPQ為等腰三角形. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),需注意的是(3)題在不確定等腰三角形腰和底的情況下,要充分考慮到各種可能的情況,以免漏解. 27.如圖,已知l1⊥l2,⊙O與l1,l2都相切,⊙O的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若⊙O與矩形ABCD沿l1同時(shí)向右移動(dòng),⊙O的移動(dòng)速度為3cm/s,矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s) (1)如圖①,連接OA、AC,則∠OAC的度數(shù)為 105 ; (2)如圖②,兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后,⊙O到達(dá)⊙O1的位置,矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置,此時(shí)點(diǎn)O1,A1,C1恰好在同一直線上,求圓心O移動(dòng)的距離(即OO1的長(zhǎng)); (3)在移動(dòng)過(guò)程中,圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化,設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d<2時(shí),求t的取值范圍(解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖). 【考點(diǎn)】圓的綜合題. 【專題】幾何綜合題;壓軸題. 【分析】(1)利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出∠OAD=45,∠DAC=60,進(jìn)而得出答案; (2)首先得出,∠C1A1D1=60,再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2,求出t的值,進(jìn)而得出OO1=3t得出答案即可; (3)①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t1,②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t2,分別求出即可. 【解答】解:(1)∵l1⊥l2,⊙O與l1,l2都相切, ∴∠OAD=45, ∵AB=4cm,AD=4cm, ∴CD=4cm, ∴tan∠DAC===, ∴∠DAC=60, ∴∠OAC的度數(shù)為:∠OAD+∠DAC=105, 故答案為:105; (2)如圖位置二,當(dāng)O1,A1,C1恰好在同一直線上時(shí),設(shè)⊙O1與l1的切點(diǎn)為E, 連接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1, 在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4, ∴tan∠C1A1D1=,∴∠C1A1D1=60, 在Rt△A1O1E中,∠O1A1E=∠C1A1D1=60, ∴A1E==, ∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2, ∴t﹣2=, ∴t=+2, ∴OO1=3t=2+6; (3)①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t1, 如圖位置一,此時(shí)⊙O移動(dòng)到⊙O2的位置,矩形ABCD移動(dòng)到A2B2C2D2的位置, 設(shè)⊙O2與直線l1,A2C2分別相切于點(diǎn)F,G,連接O2F,O2G,O2A2, ∴O2F⊥l1,O2G⊥A2C2, 由(2)得,∠C2A2D2=60,∴∠GA2F=120, ∴∠O2A2F=60, 在Rt△A2O2F中,O2F=2,∴A2F=, ∵OO2=3t1,AF=AA2+A2F=4t1+, ∴4t1+﹣3t1=2, ∴t1=2﹣, ②當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t2, 記第一次相切時(shí)為位置一,點(diǎn)O1,A1,C1共線時(shí)位置二,第二次相切時(shí)為位置三, 由題意知,從位置一到位置二所用時(shí)間與位置二到位置三所用時(shí)間相等, ∴+2﹣(2﹣)=t2﹣(+2), 解得:t2=2+2, 綜上所述,當(dāng)d<2時(shí),t的取值范圍是:2﹣<t<2+2. 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí),利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)鍵. 28.(2016秋?江陰市校級(jí)期中)已知,如圖,直線y=x﹣4與x軸,y軸分別交于B、A,將該直線繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α,且tanα=,旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點(diǎn). (1)求A、B、C的坐標(biāo); (2)在x軸上找一點(diǎn)P,使有一動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著A﹣P﹣C的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),并且在AP上以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),在PC上以每秒個(gè)單位移動(dòng),試用尺規(guī)作圖找到P點(diǎn)的位置(不寫作法,保留作圖痕跡),并求出所用的最短時(shí)間t. 【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)過(guò)B作BD⊥AB交AC于D,過(guò)D作DE⊥x軸于E,則△AOB∽△BED,得到==,求出點(diǎn)D坐標(biāo),求出AC的解析式即可求出點(diǎn)C坐標(biāo). (2)過(guò)點(diǎn)(0,4)作AC的垂線垂足為Q,該垂線與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn).設(shè)點(diǎn)F(0,4),則A、F關(guān)于x軸對(duì)稱,所以AP=FP,首先證明t=,由此推出 點(diǎn)P就是所求的點(diǎn),此時(shí)動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著A﹣P﹣C的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),求出FQ的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題. 【解答】解:(1)∵直線y=x﹣4與x軸,y軸分別交于B、A, ∴A(0,﹣4),B(8,0), 過(guò)B作BD⊥AB交AC于D,過(guò)D作DE⊥x軸于E,則△AOB∽△BED ∴==, ∵OA=4,OB=8,∠BAD=α,tanα==, ∴BE=1,DE=2 ∴D(9,﹣2)∴直線AC解析式為y=x﹣4 ∴C(18,0). (2)過(guò)點(diǎn)(0,4)作AC的垂線垂足為Q,該垂線與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)F(0,4),則A、F關(guān)于x軸對(duì)稱,所以AP=FP, ∵S△ACF=AF?OC=AC?FQ,AF=8,OC=18,AC===2, ∴FQ=, ∵△CQP∽△COA, ∴=, ∴=, ∴=, ∴t=+=+=, ∵FQ是垂線段, ∴點(diǎn)P就是所求的點(diǎn),此時(shí)動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著A﹣P﹣C的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn), ∴t=. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用相似三角形性質(zhì),根據(jù)垂線段最短,找到點(diǎn)P的位置,屬于中考?jí)狠S題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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