九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 新人教版3 (4)
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2015-2016學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)七校聯(lián)考九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分) 1.方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為( ?。? A.3和4 B.3和﹣4 C.3和﹣1 D.3和1 2.二次函數(shù)y=x2﹣2x+2的頂點坐標是( ) A.(1,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,3) 3.將△ABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)50得△A1B1C1(A、B分別對應(yīng)A1、B1),則直線AB與直線A1B1的夾角(銳角)為( ?。? A.130 B.50 C.40 D.60 4.用配方法解方程x2+6x+4=0,下列變形正確的是( ) A.(x+3)2=﹣4 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=5 D.(x+3)2= 5.下列方程中沒有實數(shù)根的是( ?。? A.x2﹣x﹣1=0 B.x2+3x+2=0 C.2015x2+11x﹣20=0 D.x2+x+2=0 6.平面直角坐標系內(nèi)一點P(﹣2,3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是( ?。? A.(3,﹣2) B.(2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3) 7.如圖,⊙O的直徑CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足為M,OM:OC=3:5,則AB的長為( ?。? A. cm B.8cm C.6cm D.4cm 8.已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c,則下列說法中錯誤的是( ?。? A.a(chǎn)確定拋物線的形狀與開口方向 B.若將拋物線C沿y軸平移,則a,b的值不變 C.若將拋物線C沿x軸平移,則a的值不變 D.若將拋物線C沿直線l:y=x+2平移,則a、b、c的值全變 9.如圖,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直,AC+BD=16,則四邊形ABCD的面積最大值是( ?。? A.64 B.16 C.24 D.32 10.已知二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0),且a2+ab+ac<0,下列說法: ①b2﹣4ac<0; ②ab+ac<0; ③方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2,且(x1﹣1)(1﹣x2)>0; ④二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個不同交點, 其中正確的個數(shù)是( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分) 11.拋物線y=﹣x2﹣x﹣1的對稱軸是_________. 12.已知x=(b2﹣4c>0),則x2+bx+c的值為_________. 13.⊙O的半徑為13cm,AB,CD是⊙O的兩條弦,AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm.則AB和CD之間的距離_________. 14.如圖,線段AB的長為1,C在AB上,D在AC上,且AC2=BC?AB,AD2=CD?AC,AE2=DE?AD,則AE的長為_________. 15.拋物線的部分圖象如圖所示,則當y<0時,x的取值范圍是_________. 16.如圖,△ABC是邊長為a的等邊三角形,將三角板的30角的頂點與A重合,三角板30角的兩邊與BC交于D、E兩點,則DE長度的取值范圍是_________. 三、解答題(共8小題,共72分) 17.解方程:x2+x﹣2=0. 18.已知拋物線的頂點坐標是(3,﹣1),與y軸的交點是(0,﹣4),求這個二次函數(shù)的解析式. 19.已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的兩實數(shù)根 (1)求x1+x2,x1x2的值; (2)求2x12+6x2﹣2015的值. 20.如圖所示,△ABC與點O在1010的網(wǎng)格中的位置如圖所示 (1)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90后的圖形; (2)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180后的圖形; (2)若⊙M能蓋住△ABC,則⊙M的半徑最小值為_________. 21.如圖,在⊙O中,半徑OA垂直于弦BC,垂足為E,點D在CA的延長線上,若∠DAB+ ∠AOB=60 (1)求∠AOB的度數(shù); (2)若AE=1,求BC的長. 22.飛機著陸后滑行的距離S(單位:m)關(guān)于滑行時間t(單位:s)的函數(shù)解析式是:S=60t﹣1.5t2 (1)直接指出飛機著陸時的速度; (2)直接指出t的取值范圍; (3)畫出函數(shù)S的圖象并指出飛機著陸后滑行多遠才能停下來? 23.如圖,△ABC是邊長為6cm的等邊三角形,點D從B點出發(fā)沿B→A方向在線段BA上以a cm/s速度運動,與此同時,點E從線段BC的某個端點出發(fā),以b cm/s速度在線段BC上運動,當D到達A點后,D、E運動停止,運動時間為t(秒) (1)如圖1,若a=b=1,點E從C出發(fā)沿C→B方向運動,連AE、CD,AE、CD交于F,連BF.當0<t<6時: ①求∠AFC的度數(shù); ②求的值; (2)如圖2,若a=1,b=2,點E從B點出發(fā)沿B→C方向運動,E點到達C點后再沿C→B方向運動.當t≥3時,連DE,以DE為邊作等邊△DEM,使M、B在DE兩側(cè),求M點所經(jīng)歷的路徑長. 24.定義:我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡(滿足條件的所有點所組成的圖形)叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線. (1)已知拋物線的焦點F(0,),準線l:,求拋物線的解析式; (2)已知拋物線的解析式為:y=x2﹣n2,點A(0,)(n≠0),B(1,2﹣n2),P為拋物線上一點,求PA+PB的最小值及此時P點坐標; (3)若(2)中拋物線的頂點為C,拋物線與x軸的兩個交點分別是D、E,過C、D、E三點作⊙M,⊙M上是否存在定點N?若存在,求出N點坐標并指出這樣的定點N有幾個;若不存在,請說明理由. 2015-2016學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)七校聯(lián)考九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分) 1.方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為( ?。? A.3和4 B.3和﹣4 C.3和﹣1 D.3和1 【考點】一元二次方程的一般形式. 【分析】根據(jù)方程的一般形式和二次項系數(shù)以及一次項系數(shù)的定義即可直接得出答案. 【解答】解:∵3x2﹣4x﹣1=0, ∴方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項系數(shù)是3,一次項系數(shù)是﹣4; 故選B. 【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)且a≠0)特別要注意a≠0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.在一般形式中ax2叫二次項,bx叫一次項,c是常數(shù)項.其中a,b,c分別叫二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項. 2.二次函數(shù)y=x2﹣2x+2的頂點坐標是( ?。? A.(1,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,3) 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)頂點坐標公式,可得答案. 【解答】解:y=x2﹣2x+2的頂點橫坐標是﹣=1,縱坐標是=1, y=x2﹣2x+2的頂點坐標是(1,1). 故選:A. 【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的頂點坐標是(﹣,). 3.將△ABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)50得△A1B1C1(A、B分別對應(yīng)A1、B1),則直線AB與直線A1B1的夾角(銳角)為( ) A.130 B.50 C.40 D.60 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 【分析】先根據(jù)題意畫出圖形,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OA=OA1,OB=OB1,AB=A1B1,那么根據(jù)SSS證明長△OAB≌△OA1B1,得到∠OAB=∠OA1B1,由等角的補角相等得出∠OAM=∠OA1M.設(shè)A1M與OA交于點D,在△OA1D與△MAD中,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠M=∠A1OD=50. 【解答】解:如圖,△ABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)50得△A1B1C1(A、B分別對應(yīng)A1、B1),則∠A1OA=50,OA=OA1,OB=OB1,AB=A1B1. 設(shè)直線AB與直線A1B1交于點M. 由SSS易得△OAB≌△OA1B1, ∴∠OAB=∠OA1B1, ∴∠OAM=∠OA1M, 設(shè)A1M與OA交于點D, 在△OA1D與△MAD中, ∵∠DAM=∠DA1O,∠ODA1=∠MDA, ∴∠M=∠A1OD=50. 故選B. 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì),補角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.證明出∠OAM=∠OA1M是解題的關(guān)鍵. 4.用配方法解方程x2+6x+4=0,下列變形正確的是( ?。? A.(x+3)2=﹣4 B.(x﹣3)2=4 C.(x+3)2=5 D.(x+3)2= 【考點】解一元二次方程-配方法. 【分析】把常數(shù)項4移到等號的右邊,再在等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)6的一半的平方,配成完全平方的形式,從而得出答案. 【解答】解:∵x2+6x+4=0, ∴x2+6x=﹣4, ∴x2+6x+9=5,即(x+3)2=5. 故選:C. 【點評】此題考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步驟:(1)把常數(shù)項移到等號的右邊;(2)把二次項的系數(shù)化為1;(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍數(shù). 5.下列方程中沒有實數(shù)根的是( ) A.x2﹣x﹣1=0 B.x2+3x+2=0 C.2015x2+11x﹣20=0 D.x2+x+2=0 【考點】根的判別式. 【分析】分別求出各個選項中一元二次方程根的判別式,進而作出判斷. 【解答】解:A、x2﹣x﹣1=0,△=(﹣1)2﹣4(﹣1)=9>0,方程有兩個不相等的根,此選項錯誤; B、x2+3x+2=0,△=32﹣42=1>0,方程有兩個不相等的根,此選項錯誤; C、2015x2+11x﹣20=0,△=112﹣42015(﹣20)>0,方程有兩個不相等的根,此選項錯誤; D、x2+x+2=0,△=12﹣42=﹣7<0,方程沒有實數(shù)根,此選項正確; 故選D. 【點評】本題主要考查了根的判別式的知識,利用一元二次方程根的判別式(△=b2﹣4ac)判斷方程的根的情況. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系: ①當△>0時,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根; ②當△=0時,方程有兩個相等的兩個實數(shù)根; ③當△<0時,方程無實數(shù)根. 6.平面直角坐標系內(nèi)一點P(﹣2,3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是( ?。? A.(3,﹣2) B.(2,3) C.(﹣2,﹣3) D.(2,﹣3) 【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標. 【專題】常規(guī)題型. 【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù),縱坐標互為相反數(shù)解答. 【解答】解:點P(﹣2,3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是(2,﹣3). 故選:D. 【點評】本題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標的特征,熟記特征是解題的關(guān)鍵. 7.如圖,⊙O的直徑CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足為M,OM:OC=3:5,則AB的長為( ?。? A. cm B.8cm C.6cm D.4cm 【考點】垂徑定理;勾股定理. 【分析】由于⊙O的直徑CD=10cm,則⊙O的半徑為5cm,又已知OM:OC=3:5,則可以求出OM=3,OC=5,連接OA,根據(jù)勾股定理和垂徑定理可求得AB. 【解答】解:如圖所示,連接OA. ⊙O的直徑CD=10cm, 則⊙O的半徑為5cm, 即OA=OC=5, 又∵OM:OC=3:5, 所以O(shè)M=3, ∵AB⊥CD,垂足為M, ∴AM=BM, 在Rt△AOM中,AM==4, ∴AB=2AM=24=8. 故選B. 【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用,解決與弦有關(guān)的問題時,往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形,若設(shè)圓的半徑為r,弦長為a,這條弦的弦心距為d,則有等式r2=d2+()2成立,知道這三個量中的任意兩個,就可以求出另外一個. 8.已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c,則下列說法中錯誤的是( ) A.a(chǎn)確定拋物線的形狀與開口方向 B.若將拋物線C沿y軸平移,則a,b的值不變 C.若將拋物線C沿x軸平移,則a的值不變 D.若將拋物線C沿直線l:y=x+2平移,則a、b、c的值全變 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換. 【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)判斷即可. 【解答】解:∵平移的基本性質(zhì):平移不改變圖形的形狀和大?。? ∴拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c,a確定拋物線的形狀與開口方向; 若將拋物線C沿y軸平移,頂點發(fā)生了變化,對稱軸沒有變化,a的值不變,則﹣不變,所以b的值不變; 若將拋物線C沿直線l:y=x+2平移,則a的值不變, 故選D. 【點評】本題考查平移的基本性質(zhì):①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮?jīng)過平移,對應(yīng)點所連的線段平行且相等,對應(yīng)線段平行且相等,對應(yīng)角相等. 9.如圖,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直,AC+BD=16,則四邊形ABCD的面積最大值是( ?。? A.64 B.16 C.24 D.32 【考點】二次函數(shù)的最值. 【分析】直接利用對角線互相垂直的四邊形面積求法得出S=AC?BD,再利用配方法求出二次函數(shù)最值. 【解答】解:設(shè)AC=x,四邊形ABCD面積為S,則BD=16﹣x, 則:S=AC?BD=x(16﹣x)=﹣(x﹣8)2+32, 當x=8時,S最大=32; 所以AC=BD=8時,四邊形ABCD的面積最大, 故選D. 【點評】本題考查了二次函數(shù)最值以及四邊形面積求法,正確掌握對角線互相垂直的四邊形面積求法是解題關(guān)鍵. 10.已知二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0),且a2+ab+ac<0,下列說法: ①b2﹣4ac<0; ②ab+ac<0; ③方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2,且(x1﹣1)(1﹣x2)>0; ④二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個不同交點, 其中正確的個數(shù)是( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系. 【分析】根據(jù)題意把a的符號分成兩種情況,再由a2+ab+ac<0判斷出a+b+c的符號,即可得出當x=1時,y的符號,從而得出b+c的符號,再得出方程ax2+bx+c=0有一個根大于1,一個根小于1,即可得出(x1﹣1)(x2﹣1)<0;b2﹣4ac>0;拋物線和坐標軸有三個交點. 【解答】解:當a>0時, ∵a2+ab+ac<0, ∴a+b+c<0, ∴b+c<0, 如圖1, ∴b2﹣4ac>0,故①錯誤; a(b+c)<0,故②正確; ∴方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2,且x1<1,x2>1, ∴(x1﹣1)(x2﹣1)<0, 即(x1﹣1)(1﹣x2)>0,故③正確; ∴二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個不同交點,故④正確; 故選C. 【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系,掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵. 二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分) 11.拋物線y=﹣x2﹣x﹣1的對稱軸是 直線x=﹣?。? 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)拋物線對稱軸公式進行計算即可得解. 【解答】解:對稱軸為直線x=﹣=﹣=﹣, 即直線x=﹣ 故答案為:直線x=﹣. 【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),主要利用了對稱軸公式,比較簡單. 12.已知x=(b2﹣4c>0),則x2+bx+c的值為 0?。? 【考點】解一元二次方程-公式法. 【分析】把x的值代入代數(shù)式,再進行計算即可. 【解答】解:∵x=(b2﹣4c>0), ∴x2+bx+c =()2+b+c =++c = = =0. 故答案為:0. 【點評】本題考查了一元二次方程,實數(shù)的運算法則,求代數(shù)式的值的應(yīng)用,能根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵. 13.⊙O的半徑為13cm,AB,CD是⊙O的兩條弦,AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm.則AB和CD之間的距離 7cn或17cm?。? 【考點】垂徑定理;勾股定理. 【專題】分類討論. 【分析】作OE⊥AB于E,交CD于F,連結(jié)OA、OC,如圖,根據(jù)平行線的性質(zhì)得OF⊥CD,再利用垂徑定理得到AE=AB=12,CF=CD=5,接著根據(jù)勾股定理,在Rt△OAE中計算出OE=5,在Rt△OCF中計算出OF=12,然后分類討論:當圓心O在AB與CD之間時,EF=OF+OE;當圓心O不在AB與CD之間時,EF=OF﹣OE. 【解答】解:作OE⊥AB于E,交CD于F,連結(jié)OA、OC,如圖, ∵AB∥CD, ∴OF⊥CD, ∴AE=BE=AB=12,CF=DF=CD=5, 在Rt△OAE中,∵OA=13,AE=12, ∴OE==5, 在Rt△OCF中,∵OC=13,CF=5, ∴OF==12, 當圓心O在AB與CD之間時,EF=OF+OE=12+5=17; 當圓心O不在AB與CD之間時,EF=OF﹣OE=12﹣5=7; 即AB和CD之間的距離為7cn或17cm. 故答案為7cn或17cm. 【點評】本題考查了垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚畬W(xué)會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題. 14.如圖,線段AB的長為1,C在AB上,D在AC上,且AC2=BC?AB,AD2=CD?AC,AE2=DE?AD,則AE的長為 ﹣2 . 【考點】黃金分割. 【分析】設(shè)AC=x,則BC=AB﹣AC=2﹣x,根據(jù)AC2=BC?AB求出AC,同理可得出AD和AE,從而得出答案. 【解答】解:設(shè)AC=x,則BC=AB﹣AC=1﹣x, ∵AC2=BC?AB, ∴x2=1﹣x, 解得:x1=,x2=(不合題意,舍去), ∴AC=, ∵AD2=CD?AC, ∴AD==, ∵AE2=DE?AD, ∴AE==﹣2; 故答案為:﹣2. 【點評】本題考查了黃金分割的應(yīng)用,關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比. 15.拋物線的部分圖象如圖所示,則當y<0時,x的取值范圍是 x>3或x<﹣1?。? 【考點】二次函數(shù)與不等式(組). 【分析】由函數(shù)圖象可知拋物線的對稱軸為x=1,從而可得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為(3,0),y<0,找出拋物線位于x軸下方部分x的取值范圍即可. 【解答】解:根據(jù)函數(shù)圖象可知:拋物線的對稱軸為x=1,拋物線與x軸一個交點的坐標為(﹣1,0), 由拋物線的對稱性可知:拋物線與x軸的另一個交點坐標為(3,0). ∵y<0, ∴x>3或x<﹣1. 故答案為:x>3或x<﹣1. 【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)圖象確定出拋物線與x軸兩個交點的坐標是解題的關(guān)鍵. 16.如圖,△ABC是邊長為a的等邊三角形,將三角板的30角的頂點與A重合,三角板30角的兩邊與BC交于D、E兩點,則DE長度的取值范圍是?。?﹣3)a≤DE≤a. . 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì). 【分析】當B、D重合或C、E重合時DE長度最大,解直角三角形即可求得DE的最大值;當∠BAD=∠CAE=15時,DE長度最小,作AF⊥BC,且AF=AB,連接DF、CF,證明△ABD≌△ADF,則∠B=∠AFD,BD=DF,然后證明△ABH∽△DFH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DH==a,即可求得DE的最小值. 【解答】解:當B、D重合或C、E重合時DE長度最大,如圖1, ∵∠BAE=30,∠AEB=90, ∴DE=AB=a, 當∠BAD=∠CAE=15時,DE長度最小,如圖2, 作AF⊥BC,且AF=AB,連接DF、CF, ∵AF⊥BC, ∴∠BAF=∠CAF=30, ∵∠BAD=∠CAE=15, ∴∠DAH=∠EAH=15, ∴∠BAD=∠DAH, 在△ADB和△ADF中, , ∴△ABD≌△ADF, ∴∠B=∠AFD,BD=DF, ∵∠AHB=∠DHF=90, ∴△ABH∽△DFH, AB:AH=DF:DH, ∴=, ∴=, ∴DH=,其中BD+DH=a、AH=a, ∴DH==a ∴DE=(2﹣3)a, 故DE長度的取值范圍是(2﹣3)a≤DE≤a. 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的和性質(zhì),分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵. 三、解答題(共8小題,共72分) 17.解方程:x2+x﹣2=0. 【考點】解一元二次方程-因式分解法. 【專題】計算題. 【分析】方程左邊利用十字相乘法分解因式后,利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解. 【解答】解:分解因式得:(x﹣1)(x+2)=0, 可得x﹣1=0或x+2=0, 解得:x1=1,x2=﹣2. 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟練掌握因式分解的解法是解本題的關(guān)鍵. 18.已知拋物線的頂點坐標是(3,﹣1),與y軸的交點是(0,﹣4),求這個二次函數(shù)的解析式. 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. 【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點坐標設(shè)出頂點形式,把(0,﹣4)代入求出a的值,即可確定出解析式. 【解答】解:設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣3)2﹣1, 把(0,﹣4)代入得:﹣4=9a﹣1,即a=﹣, 則拋物線解析式為y=﹣(x﹣3)2﹣1. 【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵. 19.已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的兩實數(shù)根 (1)求x1+x2,x1x2的值; (2)求2x12+6x2﹣2015的值. 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系. 【分析】(1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出方程的兩根之和和兩根之積即可; (2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出方程的兩根之和和兩根之積,再將代數(shù)式加以整理代入數(shù)值即可. 【解答】解:(1)∵∴x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的兩實數(shù)根, ∴x1+x2=3,x1x2=﹣5,; (2)∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的兩實數(shù)根, ∴x12﹣3x1﹣5=0, ∴x12=3x1+5, ∴2x12+6x2﹣2015=2(3x1+5)+6x2﹣2015=6(x1+x2)﹣2015=﹣1987. 【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程解的意義,遇到此類求代數(shù)式求值問題,應(yīng)對代數(shù)式進行適當?shù)淖冃危蛊浜袃筛?、兩根積的形式,再求得其值. 20.如圖所示,△ABC與點O在1010的網(wǎng)格中的位置如圖所示 (1)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90后的圖形; (2)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180后的圖形; (2)若⊙M能蓋住△ABC,則⊙M的半徑最小值為 ?。? 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換;三角形的外接圓與外心. 【專題】作圖題. 【分析】(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點A、B、C的對應(yīng)點A′、B′、C′,于是可得到△A′B′C′; (2)利用網(wǎng)格特點和中心對稱的性質(zhì)畫出點A、B、C的對應(yīng)點A″、B″、C″,于是可得到△A″B″C″; (3)△ABC的外接圓是能蓋住△ABC得最小圓,畫AB和AC的垂中平分線,兩垂直平分線的交點為M,則點M為△ABC的外接圓的圓心,然后利用勾股定理計算出MA即可. 【解答】解:(1)如圖,△A′B′C′為所作; (2)如圖,△A″B″C″為所求; (3)如圖,點M為△ABC的外接圓的圓心,此時⊙M是能蓋住△ABC的最小的圓,⊙M的半徑為=. 故答案為. 【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)線段也相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應(yīng)點,順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.也考查了三角形的外心. 21.如圖,在⊙O中,半徑OA垂直于弦BC,垂足為E,點D在CA的延長線上,若∠DAB+ ∠AOB=60 (1)求∠AOB的度數(shù); (2)若AE=1,求BC的長. 【考點】圓周角定理;勾股定理;垂徑定理. 【分析】(1)連接OC,根據(jù)垂徑定理和三角形的外角的性質(zhì)證明∠DAB=∠AOB,求出∠AOB的度數(shù); (2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=OB,設(shè)⊙O的半徑為r,根據(jù)勾股定理求出r,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到答案. 【解答】解:(1)連接OC, ∵OA⊥BC,OC=OB, ∴∠AOC=∠AOB,∠ACO=∠ABO, ∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB,∠ACO=∠OAB, ∴∠DAB=∠AOC, ∴∠DAB=∠AOB,又∠DAB+∠AOB=60, ∴∠AOB=30; (2)∵∠AOB=30, ∴BE=OB, 設(shè)⊙O的半徑為r,則BE=r,OE=r﹣1, 由勾股定理得,r2=(r)2+(r﹣1)2, 解得r=4, ∵OB=OC,∠BOC=2∠AOB=60, ∴BC=r=4. 【點評】本題考查的是勾股定理、圓周角定理和垂徑定理的應(yīng)用,正確作出輔助線、理解垂直于弦的直徑平分這條弦、等邊對等角是解題的關(guān)鍵. 22.飛機著陸后滑行的距離S(單位:m)關(guān)于滑行時間t(單位:s)的函數(shù)解析式是:S=60t﹣1.5t2 (1)直接指出飛機著陸時的速度; (2)直接指出t的取值范圍; (3)畫出函數(shù)S的圖象并指出飛機著陸后滑行多遠才能停下來? 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用. 【分析】(1)直接由函數(shù)解析式得出答案即可; (2)由于飛機著陸,不會倒著跑,所以當S取得最大值時,t也取得最大值,求得t的取值范圍即可; (3)利用配方法求得函數(shù)的最值,也就是飛機著陸后滑行的最遠距離. 【解答】解:(1)飛機著陸時的速度V=60; (2)當S取得最大值時,飛機停下來, 則S=60t﹣1.5t2=﹣1.5(x﹣20)2+600, 此時t=20 因此t的取值范圍是0≤t≤20; (3)如圖, S=60t﹣1.5t2=﹣1.5(x﹣20)2+600. 飛機著陸后滑行600米才能停下來. 【點評】此題考查二次函數(shù)的實際運用,運用二次函數(shù)求最值問題常用公式法或配方法是解題關(guān)鍵. 23.如圖,△ABC是邊長為6cm的等邊三角形,點D從B點出發(fā)沿B→A方向在線段BA上以a cm/s速度運動,與此同時,點E從線段BC的某個端點出發(fā),以b cm/s速度在線段BC上運動,當D到達A點后,D、E運動停止,運動時間為t(秒) (1)如圖1,若a=b=1,點E從C出發(fā)沿C→B方向運動,連AE、CD,AE、CD交于F,連BF.當0<t<6時: ①求∠AFC的度數(shù); ②求的值; (2)如圖2,若a=1,b=2,點E從B點出發(fā)沿B→C方向運動,E點到達C點后再沿C→B方向運動.當t≥3時,連DE,以DE為邊作等邊△DEM,使M、B在DE兩側(cè),求M點所經(jīng)歷的路徑長. 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);勾股定理;特殊角的三角函數(shù)值. 【專題】壓軸題. 【分析】(1)①如圖1,由題可得BD=CE=t,易證△BDC≌△CEA,則有∠BCD=∠CAE,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠EFC=60,即可得到∠AFC=120;②延長FD到G,使得FG=FA,連接GA、GB,過點B作BH⊥FG于H,如圖2,易證△FAG是等邊三角形,結(jié)合△ABC是等邊三角形可證到△AGB≌△AFC,則有GB=FC,∠AGB=∠AFC=120,從而可得∠BGF=60.設(shè)AF=x,F(xiàn)C=y,則有FG=AF=x,BG=CF=y.在Rt△BHG中運用三角函數(shù)可得BH=y,GH=y,從而有FH=x﹣y.在Rt△BHF中根據(jù)勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2,代入所求代數(shù)式就可解決問題; (2)過點E作EN⊥AB于N,連接MC,如圖3,由題可得∠BEN=30,BD=t,CE=2t﹣6,從而有BE=12﹣2t,BN=6﹣t,進而可得DN=EC.由△DEM是等邊三角形可得DE=EM,∠DEM=60,從而可得∠NDE=∠MEC,進而可證到△DNE≌△ECM,則有∠DNE=∠ECM=90,故M點運動的路徑為過點C垂直于BC的一條線段. 然后只需確定點M的始點和終點位置,就可解決問題. 【解答】解:(1)如圖1, 由題可得BD=CE=t. ∵△ABC是等邊三角形, ∴BC=AC,∠B=∠ECA=60. 在△BDC和△CEA中, , ∴△BDC≌△CEA, ∴∠BCD=∠CAE, ∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60, ∴∠AFC=120; ②延長FD到G,使得FG=FA,連接GA、GB,過點B作BH⊥FG于H,如圖2, ∵∠AFG=180﹣120=60,F(xiàn)G=FA, ∴△FAG是等邊三角形, ∴AG=AF=FG,∠AGF=∠GAF=60. ∵△ABC是等邊三角形, ∴AB=AC,∠BAC=60, ∴∠GAF=∠BAC, ∴∠GAB=∠FAC. 在△AGB和△AFC中, , ∴△AGB≌△AFC, ∴GB=FC,∠AGB=∠AFC=120, ∴∠BGF=60. 設(shè)AF=x,F(xiàn)C=y, 則有FG=AF=x,BG=CF=y. 在Rt△BHG中, BH=BG?sin∠BGH=BG?sin60=y, GH=BG?cos∠BGH=BG?cos60=y, ∴FH=FG﹣GH=x﹣y. 在Rt△BHF中,BF2=BH2+FH2 =(y)2+(x﹣y)2=x2﹣xy+y2. ∴==1; (2)過點E作EN⊥AB于N,連接MC,如圖3, 由題可得:∠BEN=30,BD=1t=t,CE=2(t﹣3)=2t﹣6. ∴BE=6﹣(2t﹣6)=12﹣2t,BN=BE?cosB=BE=6﹣t, ∴DN=t﹣(6﹣t)=2t﹣6, ∴DN=EC. ∵△DEM是等邊三角形, ∴DE=EM,∠DEM=60. ∵∠NDE+∠NED=90,∠NED+∠MEC=180﹣30﹣60=90, ∴∠NDE=∠MEC. 在△DNE和△ECM中, , ∴△DNE≌△ECM, ∴∠DNE=∠ECM=90, ∴M點運動的路徑為過點C垂直于BC的一條線段. 當t=3時,E在點B,D在AB的中點, 此時CM=EN=CD=BC?sinB=6=3; 當t=6時,E在點C,D在點A, 此時點M在點C. ∴當3≤t≤6時,M點所經(jīng)歷的路徑長為3. 【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)等知識,綜合性比較強,有一定的難度;構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形(由共頂點的兩個等邊三角形組成)是解決第1(2)小題的關(guān)鍵,證到∠ECM=90是解決第(2)小題的關(guān)鍵. 24.定義:我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡(滿足條件的所有點所組成的圖形)叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線. (1)已知拋物線的焦點F(0,),準線l:,求拋物線的解析式; (2)已知拋物線的解析式為:y=x2﹣n2,點A(0,)(n≠0),B(1,2﹣n2),P為拋物線上一點,求PA+PB的最小值及此時P點坐標; (3)若(2)中拋物線的頂點為C,拋物線與x軸的兩個交點分別是D、E,過C、D、E三點作⊙M,⊙M上是否存在定點N?若存在,求出N點坐標并指出這樣的定點N有幾個;若不存在,請說明理由. 【考點】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)直接根據(jù)新定義即可求出拋物線的解析式; (2)首先求出拋物線的焦點坐標以及準線方程,根據(jù)PA+PH最短時,P、B、A共線,據(jù)此求出PA+PB的最小值及此時P點坐標; (3)設(shè)OQ=m(m>0),則CQ=QE=n2﹣m,在Rt△OQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2,進而求出ON是定值,據(jù)此作出判斷. 【解答】解:(1)設(shè)拋物線上有一點(x,y), 由定義知:x2+(y﹣)2=|y+|2, 解得y=ax2; (2)如圖1,由(1)得拋物線y=x2的焦點為(0,),準線為y=﹣, ∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2個單位所得, ∴其焦點為A(0,﹣n2),準線為y=﹣﹣n2, 由定義知P為拋物線上的點,則PA=PH, ∴PA+PH最短為P、B、A共線,此時P在P′處, ∵x=1, ∴y=1﹣n2<2﹣n2, ∴點B在拋物線內(nèi), ∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣(﹣﹣n2)=, ∴PA+PB的最小值為,此時P點坐標為(1,1﹣n2); (3)由(2)知E(|n|,0),C(0,n2), 設(shè)OQ=m(m>0),則CQ=QE=n2﹣m, 在Rt△OQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2﹣m)2, 解得m=﹣, 則QC=+=QN, ∴ON=QN﹣m=1, 即點N(0,1), 故AM過定點N(0,1). 【點評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識,此題涉及到求拋物線解析式、平移的知識、點的共線、勾股定理等知識,解答本題的關(guān)鍵是新定義,拋物線焦點、拋物線的準線等知識,此題難度不大.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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