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2015-2016學年湖南省株洲市攸縣丫江橋中學九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（每小題3分，共計30分） 1．一元二次方程x2﹣3x﹣5=0中的一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（　?。? A．1，﹣5 B．1，5 C．﹣3，﹣5 D．﹣3，5 2．sin30的值為（　　） A． B． C． D． 3．方程x2﹣6x﹣5=0左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是（　　） A．（x﹣6）2=41 B．（x﹣3）2=4 C．（x﹣3）2=14 D．（x﹣6）2=36 4．若點A（a，b）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則代數(shù)式ab﹣4的值為（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6 5．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90，則sinA等于（　?。? A． B． C． D．1 6．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 7．如圖：點O是等邊△ABC的中心，A′、B′、C′分別是OA，OB，OC的中點，則△ABC與△A′B′C′是位似三角形，此時，△A′B′C′與△ABC的位似比、位似中心分別為（　?。? A．，點A′ B．2，點A C．，點O D．2，點O 8．如圖，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分別交BC于點G，H，則圖中與△ABG相似的三角形共有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 9．某鋼鐵廠去年1月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月份上升到7200噸，設(shè)平均每月的增長率為x，根據(jù)題意，得（　?。? A．5000（1+x2）=7200 B．5000（1+x）+5000（1+x）2=7200 C．5000（1+x）2=7200 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2=7200 10．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，AC=8，BC=6，則cos∠BCD的值是（　?。? A． B． C． D． 　 二、填空題（每小題3分，共24分） 11．方程x2=2x的解是______． 12．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=2，AC=1，則sinB=______． 13．已知，且x+y+z=28，則x=______、y=______、z=______． 14．若方程x2﹣4x+m=0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是______． 15．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：DA=2：5，EF=4，則CD的長為______． 16．當x=______時，代數(shù)式2x2﹣4x與代數(shù)式x2﹣2x+8的值相等． 17．已知∠α為銳角，且sinα=，則cosα=______． 18．如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2米，CD=5米，點P到CD的距離是3米，則P到AB的距離是______米． 　 三、計算題（共66分） 19．計算：﹣2cos60． 20．已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一個解，且a≠b，求的值． 21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0． （1）請你為m選取一個合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）設(shè)α，β是（1）中你所得到的方程的兩個實數(shù)根，求α2+β2+αβ的值． 22．如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，且DE∥BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm． （1）求CE的長； （2）若△ABC的面積為9cm2，求△ADE的面積． 23．如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個斜三角形： ①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF 請在三角形②～⑥中，找出與①相似的三角形的序號是______（把你認為正確的一個三角形的序號填上）并證明你的結(jié)論． 24．已知：反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=2x﹣1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（k，5）． （1）試求反比例函數(shù)的解析式； （2）若點A在第一象限，且同時在上述兩函數(shù)的圖象上，求A點的坐標． 25．經(jīng)調(diào)查研究，某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的總利潤y（元）與銷售價格x（元/件）的關(guān)系式為y=﹣4x2+1360x﹣93200，其中100≤x＜245 （1）銷售價格x是為多少元時，可以使總利潤達到22400元？ （2）總利潤可不可能達到22500元？ 26．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，DQ⊥AP于點Q （1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說明理由． （2）當點P在BC上移動時，線段DQ也隨之變化，設(shè)PA=x，DQ=y，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍． 　  2015-2016學年湖南省株洲市攸縣丫江橋中學九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共計30分） 1．一元二次方程x2﹣3x﹣5=0中的一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（　?。? A．1，﹣5 B．1，5 C．﹣3，﹣5 D．﹣3，5 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答． 【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0中的一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是﹣3、﹣5． 故選C． 　 2．sin30的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可． 【解答】解：sin30=． 故選C． 　 3．方程x2﹣6x﹣5=0左邊配成一個完全平方式后，所得的方程是（　　） A．（x﹣6）2=41 B．（x﹣3）2=4 C．（x﹣3）2=14 D．（x﹣6）2=36 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項移到等號的右邊； （2）把二次項的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣5=0 ∴x2﹣6x=5 ∴x2﹣6x+9=5+9 ∴（x﹣3）2=14 故選C． 　 4．若點A（a，b）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則代數(shù)式ab﹣4的值為（　?。? A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】先把點（a，b）代入反比例函數(shù)y=求出ab的值，再代入代數(shù)式進行計算即可． 【解答】解：∵點（a，b）反比例函數(shù)y=上， ∴b=，即ab=2， ∴原式=2﹣4=﹣2． 故選B． 　 5．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90，則sinA等于（　?。? A． B． C． D．1 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值解答． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90， ∴∠A=45，sinA=． 故選B． 　 6．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為1：2， ∴其面積之比為1：4．故選B． 　 7．如圖：點O是等邊△ABC的中心，A′、B′、C′分別是OA，OB，OC的中點，則△ABC與△A′B′C′是位似三角形，此時，△A′B′C′與△ABC的位似比、位似中心分別為（　?。? A．，點A′ B．2，點A C．，點O D．2，點O 【考點】位似變換；三角形中位線定理． 【分析】任意一對對應(yīng)邊的比即為兩三角形的位似比；各對應(yīng)點連線的交點即為位似中心． 【解答】解：利用三角形中位線定理易得A′C′=AC，那么相似比為； 各對應(yīng)點的連線交于點O，那么位似中心為點O； 故選C． 　 8．如圖，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分別交BC于點G，H，則圖中與△ABG相似的三角形共有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)AB∥CD，AE∥FD可以判定圖中所有的三角形相似，即可得出與△CEG相似的三角形． 【解答】解：由題意結(jié)合圖形可得：圖中所有的三角形相似， 故△ABG相似三角形有：△FBH，△ECG，△DCH，共3個． 故選B． 　 9．某鋼鐵廠去年1月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月份上升到7200噸，設(shè)平均每月的增長率為x，根據(jù)題意，得（　?。? A．5000（1+x2）=7200 B．5000（1+x）+5000（1+x）2=7200 C．5000（1+x）2=7200 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2=7200 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1+增長率），如果設(shè)平均每月的增長率為x，根據(jù)題意即可列出方程． 【解答】解：設(shè)平均每月的增長率為x， 根據(jù)題意列出方程為5000（1+x）2=7200． 故選C． 　 10．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，AC=8，BC=6，則cos∠BCD的值是（　?。? A． B． C． D． 【考點】銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得AD的長，根據(jù)勾股定理，可得BD的長， 【解答】解：由勾股定理，得 AB==10， 由三角形的面積，得 AD?AB=AC?BC， 解得AD=4.8， cos∠BCD===． 故選：D． 　 二、填空題（每小題3分，共24分） 11．方程x2=2x的解是　x1=0，x2=2?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先移項得到x2﹣2x=0，再把方程左邊進行因式分解得到x（x﹣2）=0，方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程：x=0或x﹣2=0，即可得到原方程的解為x1=0，x2=2． 【解答】解：∵x2﹣2x=0， ∴x（x﹣2）=0， ∴x=0或x﹣2=0， ∴x1=0，x2=2． 故答案為x1=0，x2=2． 　 12．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=2，AC=1，則sinB=　　． 【考點】含30度角的直角三角形；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】由三角形ABC為直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，一個角的正弦值即為在直角三角形中，這個角的對邊與斜邊的比值，根據(jù)圖形及已知即可求出sinB的值． 【解答】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示： ∵在Rt△ABC，∠C=90，AB=2，AC=1， ∴sinB==． 故答案為： 　 13．已知，且x+y+z=28，則x=　6　、y=　10　、z=　12?。? 【考點】比例的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，可用z表示x，用z表示y，根據(jù)解方程，可得z，x，y的值，可得答案． 【解答】解：∵， ∴x=z，y=z， ∵x+y+z=28， ∴z+z+z=28， 解得z=12， 則x=z=6， y=z=10． 故答案為：6，10，12． 　 14．若方程x2﹣4x+m=0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是　m≤4　． 【考點】根的判別式． 【分析】由于方程x2﹣4x+m=0有兩個實數(shù)根，那么其判別式是非負數(shù)，由此得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍． 【解答】解：∵方程x2﹣4x+m=0有兩個實數(shù)根， ∴△=b2﹣4ac=16﹣4m≥0， ∴m≤4． 故填空答案：m≤4． 　 15．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：DA=2：5，EF=4，則CD的長為　10?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】首先根據(jù)EF∥AB可得△DEF∽△DAB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，再把DE：DA=2：5，EF=4代入即可算出AB的值，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得CD的長． 【解答】解：∵EF∥AB， ∴△DEF∽△DAB， ∴=， ∵DE：DA=2：5，EF=4， ∴=， ∴AB=10， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC=AB=10， 故答案為：10． 　 16．當x=　4或﹣2　時，代數(shù)式2x2﹣4x與代數(shù)式x2﹣2x+8的值相等． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求得x的值． 【解答】解：由題意，得：2x2﹣4x=x2﹣2x+8， x2﹣2x﹣8=0， （x﹣4）（x+2）=0， x﹣4=0或x+2=0， 解得：x1=4，x2=﹣2； 故當x=4或﹣2時，兩個代數(shù)式的值相等． 　 17．已知∠α為銳角，且sinα=，則cosα=　?。? 【考點】同角三角函數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)sinα2+coaα2=1可求出coaα的值． 【解答】解：∵sin2α+coa2α=1，sinα=， ∴cosα=， 又∵∠α為銳角， ∴cosα=． 故答案為：． 　 18．如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2米，CD=5米，點P到CD的距離是3米，則P到AB的距離是　　米． 【考點】相似三角形的應(yīng)用． 【分析】利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，列出方程即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD ∴△PAB∽△PCD ∴AB：CD=P到AB的距離：點P到CD的距離． ∴2：5=P到AB的距離：3 ∴P到AB的距離為m， 故答案為． 　 三、計算題（共66分） 19．計算：﹣2cos60． 【考點】實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】原式利用算術(shù)平方根的定義，負整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果． 【解答】解：原式=2+2﹣2 =2+2﹣1 =3． 　 20．已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一個解，且a≠b，求的值． 【考點】分式的化簡求值；一元二次方程的解． 【分析】方程的解是使方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值．同時注意根據(jù)分式的基本性質(zhì)化簡分式． 【解答】解：由x=1是一元二次方程ax2+bx﹣40=0的一個解， 得：a+b=40，又a≠b， 得：． 故的值是20． 　 21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0． （1）請你為m選取一個合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）設(shè)α，β是（1）中你所得到的方程的兩個實數(shù)根，求α2+β2+αβ的值． 【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】（1）根據(jù)△＞0求得m的取值范圍，再進一步在范圍之內(nèi)確定m的一個整數(shù)值； （2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，對α2+β2+αβ進行變形求解． 【解答】解：（1）根據(jù)題意，得△=b2﹣4ac=16﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜5． ∴只要是m＜5的整數(shù)即可． 如：令m=1． （2）當m=1時，則得方程x2+4x=0， ∵α，β是方程x2+4x=0的兩個實數(shù)根， ∴α+β=﹣4，αβ=0， ∴α2+β2+αβ=（α+β）2﹣αβ=（﹣4）2﹣0=16． 　 22．如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在AC上，且DE∥BC，AD=CE，DB=1cm，AE=4cm． （1）求CE的長； （2）若△ABC的面積為9cm2，求△ADE的面積． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例． 【分析】（1）設(shè)CE=xcm，根據(jù)平行線分線段成比例定理得，代入可得結(jié)論； （2）根據(jù)平行得相似，則面積比等于相似比的平方，可得結(jié)論． 【解答】解：（1）設(shè)CE=xcm，則AD=xcm， ∵DE∥BC， ∴， ∵DB=1cm，AE=4cm， ∴， x2=4， x=2， ∴CE=2， （2）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴===， ∵△ABC的面積為9cm2， ∴△ADE的面積為4cm2． 　 23．如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個斜三角形： ①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF 請在三角形②～⑥中，找出與①相似的三角形的序號是?、邰堍荨。ò涯阏J為正確的一個三角形的序號填上）并證明你的結(jié)論． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】兩個三角形三條邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似，據(jù)此即可解答． 【解答】解：設(shè)第個小正方形的邊長為1，則△ABC的各邊長分別為1、、．則 ②△BCD的各邊長分別為1、、2； ③△BDE的各邊長分別為2、2、2（為△ABC對應(yīng)各邊長的2倍）； ④△BFG的各邊長分別為5、、（為△ABC對應(yīng)各邊長的倍）； ⑤△FGH的各邊長分別為2、、（為△ABC對應(yīng)各邊長的倍）； ⑥△EFK的各邊長分別為3、、． 根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似得到與三角形①相似的是③④⑤． 故答案為：③④⑤． 　 24．已知：反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=2x﹣1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（k，5）． （1）試求反比例函數(shù)的解析式； （2）若點A在第一象限，且同時在上述兩函數(shù)的圖象上，求A點的坐標． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）直接把點（k，5）代入一次函數(shù)y=2x﹣1可得k=3，所以反比例函數(shù)的解析式為y=； （2）求反比例函數(shù)的解析式為y=和一次函數(shù)y=2x﹣1的交點坐標即可．注意點A在第一象限，則x＞0，y＞0． 【解答】解：（1）因為一次函數(shù)y=2x﹣1的圖象經(jīng)過點（k，5） 所以有5=2k﹣1 解得k=3 所以反比例函數(shù)的解析式為y=； （2）由題意得： 解這個方程組得：， 因為點A在第一象限，則x＞0，y＞0 所以點A的坐標為（，2）． 　 25．經(jīng)調(diào)查研究，某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的總利潤y（元）與銷售價格x（元/件）的關(guān)系式為y=﹣4x2+1360x﹣93200，其中100≤x＜245 （1）銷售價格x是為多少元時，可以使總利潤達到22400元？ （2）總利潤可不可能達到22500元？ 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）由題已知的函數(shù)關(guān)系式，把y值代入解析式，即可求出銷售價格；（2）先假設(shè)能達到，把y=22500代入解析式，看x值是否存在． 【解答】解：（1）由題意， 把y=22400代入y=﹣4x2+1360x﹣93200， 方程為寫成：x2﹣340x+28900=0， 解得x1=x2=170； （2）把y=22500代入y=﹣4x2+1360x﹣93200得， x2﹣340x+28925=0， ∵a=1b=﹣340c=28925， ∴b2﹣4ac=（﹣340）2﹣4128925=﹣100＜0， ∴方程沒有實數(shù)根 故總利潤可不可能達到22500元． 　 26．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，DQ⊥AP于點Q （1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說明理由． （2）當點P在BC上移動時，線段DQ也隨之變化，設(shè)PA=x，DQ=y，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B=90，∠DAP=∠APB，根據(jù)DQ⊥AP，得∠B=∠AQD，即可證出△DAQ∽△APB； （2）根據(jù)△DAQ∽△APB，得=，再把AB=2，DA=2，PA=x，DQ=y代入得出=，y=．根據(jù)點P在BC上移到C點時，PA最長，求出此時PA的長即可得出x的取值范圍． 【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠B=90， ∴∠DAP=∠APB， ∵DQ⊥AP， ∴∠AQD=90， ∴∠B=∠AQD， ∴△DAQ∽△APB； （2）∵△DAQ∽△APB， ∴=， ∵AB=2， ∴DA=2， ∵PA=x，DQ=y， ∴=， ∴y=． ∵點P在BC上移到C點時，PA最長，此時PA==2， 又∵P是BC邊上與B、C不重合的任意一點， ∴x的取值范圍是；2＜x＜2．