《八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版31》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版31（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2015-2016學(xué)年江西省宜春市豐城市孺子學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 1．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．將下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾順次連接，不能組成直角三角形的是（　?。? A．8，15，17 B．0.9，1.2，1.5 C．，， D．，， 3．若=a，則等于（　?。? A．3a B．5a C．15a D．25a 4．矩形各內(nèi)角的平分線能圍成一個(gè)（　?。? A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 5．二次根式中x的取值范圍是（　?。? A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．一切實(shí)數(shù) 6．將（c﹣1）中的根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)后為（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 　 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分） 7．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　　　　　?。? 8．若實(shí)數(shù)a、b滿足，則=　　　　　?。? 9．如圖，□ABCD與□DCFE的周長(zhǎng)相等，且∠BAD=60，∠F=110，則∠DAE的度數(shù)為　　　　　?。? 10．計(jì)算：5+﹣=　　　　　　． 11．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是　　　　　　cm． 12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE=22.5，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長(zhǎng)為　　　　　?。? 13．若=a﹣5成立，則a的取值范圍是　　　　　?。? 14．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，0）、B（0，4），對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到△1、△2、△3、△4…，則△2013的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　　?。? 　 三．（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 15．先化簡(jiǎn)，再求值：（1+），其中x=﹣1． 16．（1）計(jì)算：（﹣1）2﹣（）（）； （2）已知y=++9，求的值． 17．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，E是BC上的一點(diǎn)，且EC=BC=1，試判斷AF與EF是否垂直，并說(shuō)明理由． 18．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形： （1）使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、2、（在圖（1））中畫(huà)一個(gè)即可）； （2）使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖2）中畫(huà)一個(gè)即可）． 　 四．（本大題4小題，每小題7分，共28分） 19．如圖，甲輪船以16海里/小時(shí)的速度離開(kāi)港口O向東南方向航行，乙輪船同時(shí)同地向西南方向航行，已知他們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別到達(dá)B、A兩點(diǎn)，且知AB=30海里，問(wèn)乙輪船每小時(shí)航行多少海里？ 20．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線交AB于E，交CD于F． 求證：OE=OF． 21．四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分線段BD，∠BAC=90，AC交BD于O， （1）求證：四邊形ABCD是矩形； （2）若AE⊥BD于E，AE=4，DE=2，求BD的長(zhǎng)． 22．△ABC中，中線BE、CF相交于O，M是BO的中點(diǎn)，N是CO的中點(diǎn)， 求證：四邊形MNEF是平行四邊形． 　 五、解答題（共2小題，滿分16分） 23．如圖1，在△OAB中，∠OAB=90，∠AOB=30，OB=8．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E． （1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形； （2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)． 24．如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)D． （1）求證：BE=CF； （2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)． 　 六、解答題（共1小題，滿分10分） 25．如圖1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程） （1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N，其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明； （2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，其余條件不變，探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出猜想． 　  2015-2016學(xué)年江西省宜春市豐城市孺子學(xué)校八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 1．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次根式的定義． 【分析】根據(jù)二次根式的概念和性質(zhì)，逐一判斷． 【解答】解：A、二次根式無(wú)意義，故A錯(cuò)誤； B、是三次根式，故B錯(cuò)誤； C、被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)，故C正確； D、當(dāng)b=0或a、b異號(hào)時(shí)，根式無(wú)意義，故D錯(cuò)誤． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．當(dāng)二次根式在分母上時(shí)還要考慮分母不等于零，此時(shí)被開(kāi)方數(shù)大于0． 　 2．將下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾順次連接，不能組成直角三角形的是（　　） A．8，15，17 B．0.9，1.2，1.5 C．，， D．，， 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】分別求出兩小邊的平方和和大邊的平方，看看是否相等即可． 【解答】解：A、∵82+152=172， ∴以8、15、17為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、∵0.92+1.22=1.52， ∴以0.9、1.2、1.5為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、∵（）2+（）2=（）2， ∴以、、為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、∵（）2+（）2=（）2， ∴以、、為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)正確； 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，能熟記定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形． 　 3．若=a，則等于（　　） A．3a B．5a C．15a D．25a 【考點(diǎn)】算術(shù)平方根． 【分析】利用算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可． 【解答】解： =5， ∵， ∴=5a， 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根的定義，掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵． 　 4．矩形各內(nèi)角的平分線能圍成一個(gè)（　?。? A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 【考點(diǎn)】正方形的判定；矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)進(jìn)行分析即可． 【解答】解：矩形的四個(gè)角平分線將矩形的四個(gè)角分成8個(gè)45的角，因此形成的四邊形每個(gè)角是90 又知兩條角平分線與矩形的一邊構(gòu)成等腰直角三角形， 所以這個(gè)四邊形鄰邊相等，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，得到該四邊形是正方形． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題是考查正方形的判別方法，判別一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：①先說(shuō)明它是矩形，再說(shuō)明有一組鄰邊相等；②先說(shuō)明它是菱形，再說(shuō)明它有一個(gè)角為直角 　 5．二次根式中x的取值范圍是（　?。? A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≠﹣1 D．一切實(shí)數(shù) 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】先判斷二次根式被開(kāi)方數(shù)的符號(hào)，保證為非負(fù)數(shù)即可． 【解答】解：∵x2為非負(fù)數(shù)， ∴x2+1＞0， ∴x為一切實(shí)數(shù)，二次根式均有意義，故選D． 【點(diǎn)評(píng)】二次根式的被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)，如果已知是非負(fù)數(shù)，那么x的取值為一切實(shí)數(shù)． 　 6．將（c﹣1）中的根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)后為（　?。? A． B． C．﹣ D．﹣ 【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)． 【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)，首先判斷根號(hào)外的因式符號(hào)，進(jìn)而平方后移入根號(hào)內(nèi)，再化簡(jiǎn)求出答案． 【解答】解：由題意得：c﹣1＜0， 則（c﹣1）=﹣=﹣， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確判斷出二次根式的符號(hào)是解題關(guān)鍵． 　 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分） 7．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是　x≤2且x≠1　． 【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由題意得，2﹣x≥0，x﹣1≠0， 解得，x≤2且x≠1， 故答案為：x≤2且x≠1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)、分式分母不為0是解題的關(guān)鍵． 　 8．若實(shí)數(shù)a、b滿足，則=　　． 【考點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值． 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可． 【解答】解：根據(jù)題意得：， 解得：， 則原式=﹣． 故答案是：﹣． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0 　 9．如圖，□ABCD與□DCFE的周長(zhǎng)相等，且∠BAD=60，∠F=110，則∠DAE的度數(shù)為　25?。? 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】由，□ABCD與□DCFE的周長(zhǎng)相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60，∠F=110，即可求出∠DAE的度數(shù)． 【解答】解：∵□ABCD與□DCFE的周長(zhǎng)相等，且CD=CD， ∴AD=DE， ∵∠DAE=∠DEA， ∵∠BAD=60，∠F=110， ∴∠ADC=120，∠CDE═∠F=110， ∴∠ADE=360﹣120﹣110=130， ∴∠DAE==25， 故答案為：25． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等、平行四邊形的對(duì)角相等以及鄰角互補(bǔ)和等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理． 　 10．計(jì)算：5+﹣=　6?。? 【考點(diǎn)】二次根式的加減法． 【分析】首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而合并同類二次根式進(jìn)而得出答案 【解答】解：5+﹣ =5+3﹣2 =6． 故答案為：6． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵． 　 11．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是　8　cm． 【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問(wèn)題． 【分析】利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高線AD的長(zhǎng)度． 【解答】解：如圖，AD是BC邊上的高線． ∵AB=AC=10cm，BC=12cm， ∴BD=CD=6cm， ∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）． 故答案是：8． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理．等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形． 　 12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE=22.5，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長(zhǎng)為　4﹣2　． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ABD=∠ADB=45，再求出∠DAE的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠AED，從而得到∠DAE=∠AED，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)得到AD=DE，然后求出正方形的對(duì)角線BD，再求出BE，最后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍計(jì)算即可得解． 【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45， ∵∠BAE=22.5， ∴∠DAE=90﹣∠BAE=90﹣22.5=67.5， 在△ADE中，∠AED=180﹣45﹣67.5=67.5， ∴∠DAE=∠AED， ∴AD=DE=4， ∵正方形的邊長(zhǎng)為4， ∴BD=4， ∴BE=BD﹣DE=4﹣4， ∵EF⊥AB，∠ABD=45， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF=BE=（4﹣4）=4﹣2． 故答案為：4﹣2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)角的度數(shù)的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 　 13．若=a﹣5成立，則a的取值范圍是　a≥5?。? 【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)． 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出a﹣5≥0，求解即可． 【解答】解：∵ =a﹣5成立， ∴a﹣5≥0， ∴a≥5． 故答案為：a≥5． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解答本題的關(guān)鍵在于得出不等式a﹣5≥0． 　 14．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，0）、B（0，4），對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到△1、△2、△3、△4…，則△2013的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為　（8052，0）　． 【考點(diǎn)】規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)第四個(gè)三角形與第一個(gè)三角形的位置相同可知每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，然后求出一個(gè)循環(huán)組旋轉(zhuǎn)前進(jìn)的長(zhǎng)度，再用2013除以3，根據(jù)商為671可知第2013個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)為循環(huán)組的最后一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，求出即可． 【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣3，0）、B（0，4）， ∴AB==5， 由圖可知，每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，一個(gè)循環(huán)組前進(jìn)的長(zhǎng)度為：4+5+3=12， ∵20133=671， ∴△2013的直角頂點(diǎn)是第671個(gè)循環(huán)組的最后一個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)， ∵67112=8052， ∴△2013的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（8052，0）． 故答案為：（8052，0）． 【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查了，難度不大，仔細(xì)觀察圖形，得到每三個(gè)三角形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是求解的難點(diǎn)． 　 三．（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 15．先化簡(jiǎn)，再求值：（1+），其中x=﹣1． 【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值． 【分析】分式的化簡(jiǎn)，要熟悉混合運(yùn)算的順序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘法運(yùn)算，注意化簡(jiǎn)后，將，代入化簡(jiǎn)后的式子求出即可． 【解答】解： =（+） = = =， 把，代入原式====． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式混合運(yùn)算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘法運(yùn)算是解題關(guān)鍵． 　 16．（1）計(jì)算：（﹣1）2﹣（）（）； （2）已知y=++9，求的值． 【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；二次根式有意義的條件． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式計(jì)算； （2）根據(jù)二次根式有意義的條件得到4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得x=，再計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y的值，然后把x、y的值代入原式后化簡(jiǎn)即可． 【解答】解：（1）原式=3﹣2+1﹣（2﹣3） =4﹣2+1 =5﹣2； （2）根據(jù)題意得4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得x= 所以y=9， 所以原式= = =3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．也考查了二次根式有意義的條件． 　 17．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，E是BC上的一點(diǎn)，且EC=BC=1，試判斷AF與EF是否垂直，并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理． 【分析】分別計(jì)算AF，EF，AE的值，根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)和勾股定理的逆定理可以判定△AEF為直角三角形，即可證明AF⊥EF． 【解答】解：連接AE，AF與EF垂直， ∵ABCD是正方形，EC=BC=1， ∴AD=CD=BC=4，∠D=∠C=∠B=90． ∵F為DC中點(diǎn)， ∴DF=FC=2，BE=3， 由勾股定理可得：AF2=42+22=20，EF2=12+22=5，AE2=32+42=25， AE2=AF2+EF2， ∴AF⊥EF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，本題中判定△AEF為直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 18．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形： （1）使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、2、（在圖（1））中畫(huà)一個(gè)即可）； （2）使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖2）中畫(huà)一個(gè)即可）． 【考點(diǎn)】作圖—代數(shù)計(jì)算作圖． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】（1）兩直角邊長(zhǎng)分別是2和2的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為2，兩直角邊長(zhǎng)為2，1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為． （2）可找一底邊長(zhǎng)為2，高為4的三角形即可． 【解答】解： 【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)找到所求的無(wú)理數(shù)是直角邊長(zhǎng)為哪兩個(gè)有理數(shù)的直角三角形的斜邊長(zhǎng)．三角形的底邊高=面積的2倍． 　 四．（本大題4小題，每小題7分，共28分） 19．如圖，甲輪船以16海里/小時(shí)的速度離開(kāi)港口O向東南方向航行，乙輪船同時(shí)同地向西南方向航行，已知他們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別到達(dá)B、A兩點(diǎn)，且知AB=30海里，問(wèn)乙輪船每小時(shí)航行多少海里？ 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】根據(jù)題目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根據(jù)甲輪船的速度和行駛時(shí)間求得OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求得OA的長(zhǎng)，除以時(shí)間即得到乙輪船的行駛速度． 【解答】解：∵甲輪船向東南方向航行，乙輪船向西南方向航行， ∴AO⊥BO， ∵甲輪船以16海里/小時(shí)的速度航行了一個(gè)半小時(shí)， ∴OB=161.5=24海里，AB=30海里， ∴在Rt△AOB中，AO===18， ∴乙輪船航行的速度為：181.5=12海里． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目提供的方位角判定直角三角形． 　 20．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線交AB于E，交CD于F． 求證：OE=OF． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題；壓軸題． 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易證得△OAE≌△OCF，則可得OE=OF． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC，AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCF， ∵在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（ASA）， ∴OE=OF． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 21．四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分線段BD，∠BAC=90，AC交BD于O， （1）求證：四邊形ABCD是矩形； （2）若AE⊥BD于E，AE=4，DE=2，求BD的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）先用對(duì)角線互相平分判斷出四邊形ABCD是平形四邊形，再由∠BAC=90即可； （2）先求出AD，再用射影定理求解即可． 【解答】（1）∵AB∥CD， ∴∠BQC=∠ACD， ∵AC平分線段BD， ∴BO=DO， 又∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD， ∴AB=CD，四邊形ABCD是平形四邊形， 又∠BAC=90 ∴四邊形ABCD是矩形 （2）由（1）知，四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90 在Rt△ADE中，AE=4，DE=2， ∴AD==2， ∵AE⊥BD于E ∴根據(jù)射影定理得，AD2=DEDB， ∴DB===10． 【點(diǎn)評(píng)】此題是矩形的性質(zhì)和判定，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，射影定理，解本題的關(guān)鍵是四邊形ABCD是平形四邊形，此題也可以不用射影定理，用判定相似三角形． 　 22．△ABC中，中線BE、CF相交于O，M是BO的中點(diǎn)，N是CO的中點(diǎn)， 求證：四邊形MNEF是平行四邊形． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；三角形中位線定理． 【專題】證明題． 【分析】主要考查平行四邊形的判定以及三角形中中位線的運(yùn)用，由中位線定理，可得EF∥BC，MN∥BC，且都等于邊長(zhǎng)BC的一半．分析到此，此題便可解答． 【解答】證明：∵BE，CF是△ABC的中線， ∴EF∥BC且EF=BC， ∵M(jìn)是BO的中點(diǎn)，N是CO的中點(diǎn)， ∴MN∥BC且MN=BC， ∴EF∥MN且EF=MN， ∴四邊形MNEF是平行四邊形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和三角形的中位線定理，三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù)． 　 五、解答題（共2小題，滿分16分） 23．如圖1，在△OAB中，∠OAB=90，∠AOB=30，OB=8．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E． （1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形； （2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）． 【分析】（1）首先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAO=∠DOA=30，進(jìn)而算出∠AEO=60，再證明BC∥AE，CO∥AB，進(jìn)而證出四邊形ABCE是平行四邊形； （2）設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=8﹣x，再利用三角函數(shù)可計(jì)算出AO，再利用勾股定理計(jì)算出OG的長(zhǎng)即可． 【解答】（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn)， ∴AD=OB，OD=BD=OB ∴DO=DA， ∴∠DAO=∠DOA=30，∠EOA=90， ∴∠AEO=60， 又∵△OBC為等邊三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60， ∴BC∥AE， ∵∠BAO=∠COA=90， ∴CO∥AB， ∴四邊形ABCE是平行四邊形； （2）解：設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=8﹣x， 在Rt△ABO中， ∵∠OAB=90，∠AOB=30，BO=8， ∴AO=BO?cos30=8=4， 在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2， x2+（4）2=（8﹣x）2， 解得：x=1， ∴OG=1． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，圖形的翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理． 　 24．如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)D． （1）求證：BE=CF； （2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；證明題． 【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，△AEB可由△AFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=CD； （2）由菱形的性質(zhì)得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AEB=∠ABE，根據(jù)平行線得性質(zhì)得∠ABE=∠BAC=45，所以∠AEB=∠ABE=45，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解． 【解答】（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC， ∵AB=AC， ∴AE=AF， ∴△AEB可由△AFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到， ∴BE=CF； （2）解：∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45， ∴∠AEB=∠ABE=45， ∴△ABE為等腰直角三角形， ∴BE=AC=， ∴BD=BE﹣DE=﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質(zhì)． 　 六、解答題（共1小題，滿分10分） 25．如圖1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無(wú)需寫(xiě)證明過(guò)程） （1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N，其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出猜想，并給予證明； （2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，其余條件不變，探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出猜想． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）連接DF，NF，由四邊形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，證得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，證出△DFN是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論； （2）連接DF，NF，由四邊形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由點(diǎn)E、B、C在同一條直線上，于是得到AD∥CN，求得∠DAM=∠NEM，證得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，證出△DFN是等腰直角三角形，于是結(jié)論得到． 【解答】解：（1）如圖2，DM=FM，DM⊥FM， 證明：連接DF，NF， ∵四邊形ABCD和CGEF是正方形， ∴AD∥BC，BC∥GE， ∴AD∥GE， ∴∠DAM=∠NEM， ∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)， ∴AM=EM， 在△MAD與△MEN中， ， ∴△MAD≌△MEN， ∴DM=MN，AD=EN， ∵AD=CD， ∴CD=NE， ∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90， 在△DCF與△NEF中， ， ∴△DCF≌△NEF， ∴DF=NF，∠CFD=∠EFN， ∵∠EFN+∠NFC=90， ∴∠DFC+∠CFN=90， ∴∠DFN=90， ∴DM⊥FM，DM=FM （2）猜想：DM⊥FM，DM=FM， 證明如下：如圖3，連接DF，NF， 連接DF，NF， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∵點(diǎn)E、B、C在同一條直線上， ∴AD∥CN， ∴∠ADN=∠MNE， 在△MAD與△MEN中， ， ∴△MAD≌△MEN， ∴DM=MN，AD=EN， ∵AD=CD， ∴CD=NE， ∵CF=EF， ∵∠DCF=90+45=135，∠NEF=180﹣45=135， ∴∠DCF=∠NEF， 在△DCF與△NEF中， ， ∴△MAD≌△MEN， ∴DF=NF，∠CFD=∠EFN， ∵∠CFD+∠EFD=90， ∴∠NFE+∠EFD=90， ∴∠DFN=90， ∴DM⊥FM，DM=FM． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，本題中的難點(diǎn)是輔助線的作法，作好輔助線找對(duì)解題的方向是本題解答的關(guān)鍵所在．