八年級數(shù)學下學期期末試卷(含解析) 蘇科版3
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2015-2016學年江蘇省揚州市寶應縣八年級(下)期末數(shù)學試卷 一、選擇題(本大題共8小題,每小題3分,共24分) 1.下列銀行標志,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ?。? A. B. C. D. 2.學期結束老師對同學們進行學期綜合評定:甲、乙、丙、丁4名同學的平時成績、期中成績、期末成績如下(單位:分):如果將平時、期中、期末的成績按3:3:4計算總評,那么總評成績最高的是( ?。? 平時 期中 期末 甲 85 90 80 乙 80 85 90 丙 90 70 92 丁 95 90 78 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過點P(3,2),則下列點也在這個函數(shù)圖象上的是( ) A.(﹣3,2) B.(1,﹣6) C.(﹣2,3) D.(﹣2,﹣3) 4.下列根式中,與屬于同類二次根式的是( ) A. B. C. D. 5.如圖,?ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,∠CAB=90,AC=6cm,BD=10cm,則?ABCD的周長為( ?。? A.(4+8)cm B.(2+4)cm C.32cm D.28cm 6.下列等式成立的是( ) A. += B. = C. = D. =﹣ 7.下列一元二次方程中,沒有實數(shù)根的是( ?。? A.x2+x﹣1=0 B.2x2+2x+1=0 C.x2﹣2x+3=0 D.x2+6x=﹣5 8.如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點,∠EBF=45,△EDF的周長為8,則正方形ABCD的邊長為( ) A.2 B.3 C.5 D.4 二、填空題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 9.化簡是 . 10.若代數(shù)式在實數(shù)內范圍有意義,則x的取值范圍為 . 11.已知點A(2,y1),B(1,y2)在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象上,則y1 y2.(選填“>”、“=”、“<”) 12.一只不透明的袋子中裝有10個白球、20個黃球和30個紅球,每個球除顏色外都相同,將球攪勻,從中任意摸出一個球,則下列事件:(1)該球是白球;(2)該球是黃球;(3)該球是紅球,按發(fā)生的可能性大小從小到大依次排序為: (只填寫序號) 13.關于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一個根為0,則m的值為 ?。? 14.如圖,某校根據(jù)學生上學方式的一次抽樣調查結果,繪制出一個未完成的扇形統(tǒng)計圖,若乘車的學生有150人,則據(jù)此估計步行的有 人. 15.如圖,△ABC中,AB=15,AC=13,點D是BC上一點,且AD=12,BD=9,點E、F分別是AB、AC的中點,則△DEF的周長是 ?。? 16.如圖,矩形OABC的頂點A、C坐標分別是(8,0)、(0,4),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象過對角線的交點P并且與AB、BC分別交于D、E兩點,連結OD、OE、DE,則△ODE的面積為 ?。? 17.如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90,AB=AD,AC=4BC,若CD=5,則四邊形ABCD的面積為 . 18.如圖,在△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=2,點A、C分別在x軸、y軸上,當點A在x軸上運動時,點C隨之在y軸上運動,在運動過程中,點B到原點的最大距離是 ?。? 三、解答題(共10題,共96分) 19.化簡或計算: (1) (2)(﹣2). 20.先化簡,再求值: ,其中a是方程x2﹣5x﹣6=0的根. 21.八(2)班組織了一次經(jīng)典朗讀比賽,甲、乙兩隊各10人的比賽成績如下表(10分制): 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 (1)甲隊成績的中位數(shù)是 分,乙隊成績的眾數(shù)是 分; (2)計算乙隊的平均成績和方差; (3)已知甲隊成績的方差是1.4分2,則成績較為整齊的是 隊. 22.已知關于x的方程x2+ax+a+3=0有兩個相等的實數(shù)根,求a的值并求出此時這個方程的根. 23.某中學組織學生去離學校15km的實踐基地取參加實踐活動,志愿者隊伍與學生隊伍同時出發(fā),志愿者隊伍的速度是學生隊伍的速度的1.2倍,結果志愿者隊伍比學生隊伍早到30分鐘,志愿者隊伍和學生隊伍的速度各是每小時多少千米? 24.如圖,一次函數(shù)y1=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象交于A、B兩點,與y軸交于C點,已知A點坐標為(2,1),C點坐標為(0,3) (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式; (2)在x軸上找一點P,使得△PAB的周長最小,請求出點P的坐標. 25.在Rt△ABC中,∠ABC=90,D是BC的中點,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F. (1)證明四邊形ADCF是菱形; (2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積. 26.碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物,裝完貨物所需時間y(h)與裝載速度x(t/h)之間的函數(shù)關系如圖. (1)這批貨物的質量是多少?寫出y與x之間的函數(shù)表達式; (2)中午12:00輪船到達目的地后,接到氣象部門預報,晚上8:00港口將受到臺風影響必須停止卸貨,為確保這批貨物安全卸貨,如果以8t/h的速度卸貨,那么在臺風到來之前能否卸完這批貨?如果要在臺風到來前卸完這批貨,那么每小時至少要卸多少噸的貨? 27.如圖,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動(不與點A、B重合),一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動(不與點C、D重合). (1)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,經(jīng)過多長時間四邊形BPDQ為菱形? (2)若點P為3cm/s的速度移動,點Q以2cm/s的速度移動,經(jīng)過多長時間△DPQ為直角三角形? 28.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90,現(xiàn)在有一足夠大的直角三角板,它的直角頂點D是BC上一點,另兩條直角邊分別交AB、AC于點E、F. (1)如圖1,若DE⊥AB,DF⊥AC,求證:四邊形AEDF是矩形; (2)在(1)條件下,若點D在∠BAC的 角平分線上,試判斷此時四邊形AEDF的形狀,并說明理由; (3)若點D在∠BAC的角平分線上,將直角三角板繞點D旋轉一定的角度,使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點E、F(如圖2),試證明AE+AF=AD. 2015-2016學年江蘇省揚州市寶應縣八年級(下)期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共8小題,每小題3分,共24分) 1.下列銀行標志,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ?。? A. B. C. D. 【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形. 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解. 【解答】解:A、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形; B、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形; C、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形; D、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形. 故選C. 【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180度后兩部分重合. 2.學期結束老師對同學們進行學期綜合評定:甲、乙、丙、丁4名同學的平時成績、期中成績、期末成績如下(單位:分):如果將平時、期中、期末的成績按3:3:4計算總評,那么總評成績最高的是( ) 平時 期中 期末 甲 85 90 80 乙 80 85 90 丙 90 70 92 丁 95 90 78 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【考點】加權平均數(shù). 【分析】利用加權平均數(shù)公式求得各自的成績即可判斷. 【解答】解:甲的成績是=84.5(分), 乙的成績是=85.5(分), 丙的成績是=84.8(分), 丁的成績是=86.7(分). 則成績最高的是?。? 故答案是:D. 【點評】本題考查加權平均數(shù),理解公式是關鍵. 3.反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過點P(3,2),則下列點也在這個函數(shù)圖象上的是( ) A.(﹣3,2) B.(1,﹣6) C.(﹣2,3) D.(﹣2,﹣3) 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征. 【分析】由點P在反比例函數(shù)圖象上可求出k的值,再求出四個選項中點的橫縱坐標之積,比照后即可得出結論. 【解答】解:∵反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象經(jīng)過點P(3,2), ∴k=32=6. A、﹣32=﹣6;B、1(﹣6)=﹣6;C、﹣23=﹣6;D、﹣2(﹣3)=6. 故選D. 【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,解題的關鍵是求出k=6.本題屬于基礎題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)點的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出反比例函數(shù)系數(shù)k的值是關鍵. 4.下列根式中,與屬于同類二次根式的是( ?。? A. B. C. D. 【考點】同類二次根式. 【分析】根據(jù)同類二次根式的定義解答即可. 【解答】解: =2, A、=3,與屬于同類二次根式,故本選項正確; B、=,與不屬于同類二次根式,故本選項錯誤; C、=2,與不屬于同類二次根式,故本選項錯誤; D、=2,與不屬于同類二次根式,故本選項錯誤; 故選A. 【點評】本題主要考查了同類二次根式的定義,即:化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同,這樣的二次根式叫做同類二次根式. 5.如圖,?ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,∠CAB=90,AC=6cm,BD=10cm,則?ABCD的周長為( ?。? A.(4+8)cm B.(2+4)cm C.32cm D.28cm 【考點】平行四邊形的性質. 【分析】由平行四邊形的性質得出AB=CD,AD=BC,OA=AC=3cm,OB=BD=5cm,由勾股定理求出AB,再由勾股定理求出BC,即可得出四邊形ABCD的周長. 【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB=CD,AD=BC,OA=AC=3cm,OB=BD=5m, ∵AC⊥AB, ∴∠BAO=90, ∴AB==4(cm), ∴BC==2, ∴?ABCD的周長=2(AB+BC)=(4+8)cm, 故選A. 【點評】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、平行四邊形周長的計算;熟練掌握平行四邊形的性質和勾股定理,并能進行推理計算是解決問題的關鍵. 6.下列等式成立的是( ?。? A. += B. = C. = D. =﹣ 【考點】分式的混合運算. 【專題】計算題. 【分析】原式各項計算得到結果,即可做出判斷. 【解答】解:A、原式=,錯誤; B、原式不能約分,錯誤; C、原式==,正確; D、原式==﹣,錯誤, 故選C 【點評】此題考查了分式的混合運算,熟練掌握運算法則是解本題的關鍵. 7.下列一元二次方程中,沒有實數(shù)根的是( ?。? A.x2+x﹣1=0 B.2x2+2x+1=0 C.x2﹣2x+3=0 D.x2+6x=﹣5 【考點】根的判別式. 【分析】分別求得每個選項中的根的判別式的值,找到b2﹣4ac<0的即為本題的正確的選項. 【解答】解:A、∵△=1﹣41(﹣1)=9>0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,故本選項錯誤; B、∵△=4﹣421=﹣4<0,∴方程沒有實數(shù)根,故本選項正確; C、∵△=12﹣413=0,∴方程有兩個相等的實數(shù)根,故本選項錯誤; D、∵△=36﹣415=56>0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,故本選項錯誤; 故選B. 【點評】本題考查了根的判別式,一元二次方程根的情況與判別式△的關系: (1)△>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根; (2)△=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根; (3)△<0時,方程沒有實數(shù)根. 8.如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是邊AD、CD上的點,∠EBF=45,△EDF的周長為8,則正方形ABCD的邊長為( ) A.2 B.3 C.5 D.4 【考點】正方形的性質. 【分析】根據(jù)正方形的性質得AB=BC,∠BAE=∠C=90,根據(jù)旋轉的定義,把△ABE繞點A順時針旋轉90可得到△BCG,根據(jù)旋轉的性質得BG=BE,CG=AE,∠GBE=90,∠BAE=∠C=90,∠ABG=∠B=90,于是可判斷點G在CB的延長線上,接著利用“SAS”證明△FBG≌△EBF,得到EF=CF+AE,然后利用三角形周長的定義得到答案. 【解答】解:∵四邊形ABCD為正方形, ∴AB=BC,∠BAE=∠C=90, ∴把△ABE繞點A順時針旋轉90可得到△BCG,如圖, ∴BG=BE,CG=AE,∠GBE=90,∠BAE=∠C=90, ∴點G在DC的延長線上, ∵∠EBF=45, ∴∠FBG=∠EBG﹣∠EBF=45, ∴∠FBG=∠FBE, 在△FBG和△EBF中, ∴△FBG≌△EBF(SAS), ∴FG=EF, 而FG=FC+CG=CF+AE, ∴EF=CF+AE, ∵△DEF的周長=DF+DE+CF+AE=CD+AD=8, ∴AD=4; 故選:D. 【點評】本題考查了旋轉的性質:對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等.也考查了全等三角形的判定與性質和正方形的性質. 二、填空題(本大題共10小題,每小題3分,共30分) 9.化簡是 3?。? 【考點】二次根式的性質與化簡. 【分析】先依據(jù)=|a|進行化簡,然后再去絕對值即可. 【解答】解: =|﹣3|=3. 故答案為:3. 【點評】本題主要考查的是二次根式的性質,掌握二次根式的性質是解題的關鍵. 10.若代數(shù)式在實數(shù)內范圍有意義,則x的取值范圍為 x≤2且x≠ . 【考點】二次根式有意義的條件. 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式,解不等式即可. 【解答】解:由題意得,2﹣x≥0,2x﹣3≠0, 解得,x≤2且x≠, 故答案為:x≤2且x≠. 【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件,掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)、分式分母不為0是解題的關鍵. 11.已知點A(2,y1),B(1,y2)在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象上,則y1 > y2.(選填“>”、“=”、“<”) 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征;反比例函數(shù)的性質. 【分析】先判斷出函數(shù)的增減性,再根據(jù)其坐標特點解答即可. 【解答】解:∵k<0,∴反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第二四象限,且在每個象限內y隨x的增大而增大, 又∵A(2,y1),B(1,y2)在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖象上,且2>1>0,∴y1>y2. 故答案為y1>y2. 【點評】本題考查利用反比例函數(shù)的增減性質判斷圖象上點的坐標特征. 12.一只不透明的袋子中裝有10個白球、20個黃球和30個紅球,每個球除顏色外都相同,將球攪勻,從中任意摸出一個球,則下列事件:(1)該球是白球;(2)該球是黃球;(3)該球是紅球,按發(fā)生的可能性大小從小到大依次排序為: (1)(2)(3)?。ㄖ惶顚懶蛱枺? 【考點】可能性的大?。? 【分析】先求出總球的個數(shù),再根據(jù)概率公式分別求出摸到白球、黃球和紅球的概率,然后進行比較即可. 【解答】解:∵共有10+20+30=60球, ∴摸到白球的概率是: =, 摸到黃球的概率是: =, 摸到紅球的概率是: =, ∴發(fā)生的可能性大小從小到大依次排序為:(1)(2)(3); 故答案為:(1)(2)(3). 【點評】本題考查的是可能性大小的判斷,解決這類題目要注意具體情況具體對待.用到的知識點為:可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比. 13.關于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一個根為0,則m的值為 3?。? 【考點】一元二次方程的解. 【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義、一元二次方程的定義求解.把x=0代入一元二次方程即可得. 【解答】解:一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣2m﹣3=0得,m2﹣2m﹣3=0,解之得,m=﹣1或3, ∵m+1≠0,即m≠﹣1, ∴m=3 故本題答案為m=3. 【點評】本題逆用一元二次方程解的定義易得出a的值,但不能忽視一元二次方程成立的條件m+1≠0,因此在解題時要重視解題思路的逆向分析. 14.如圖,某校根據(jù)學生上學方式的一次抽樣調查結果,繪制出一個未完成的扇形統(tǒng)計圖,若乘車的學生有150人,則據(jù)此估計步行的有 400 人. 【考點】扇形統(tǒng)計圖;用樣本估計總體. 【分析】先求出步行的學生所占的百分比,再用學生總數(shù)乘以步行學生所占的百分比即可估計全校步行上學的學生人數(shù). 【解答】解:該校共有學生是: =1000(人) ∵騎車的學生所占的百分比是100%=35%, ∴步行的學生所占的百分比是1﹣10%﹣15%﹣35%=40%, ∴若該校共有學生700人,則據(jù)此估計步行的有100040%=400(人). 故答案為:400. 【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖及用樣本估計總數(shù)的知識,解題的關鍵是從統(tǒng)計圖中得出步行上學學生所占的百分比. 15.如圖,△ABC中,AB=15,AC=13,點D是BC上一點,且AD=12,BD=9,點E、F分別是AB、AC的中點,則△DEF的周長是 21?。? 【考點】三角形中位線定理. 【分析】可先判定△ABD為直角三角形,再利用勾股定理可求得CD,由三角形中位線定理可求得EF,再根據(jù)直角三角形的性質可分別求得DE和DF,可求得答案. 【解答】解: ∵AB=15,AD=12,BD=9, ∴AD2+BD2=AB2, ∴△ABD和△ACD為直角三角形, 在Rt△ACD中,由勾股定理可得CD===5, ∴BC=BD+CD=9+5=14, ∵E、F分別為AB、AC的中點, ∴EF為△ABC的中位線, ∴EF=BC=7, 在Rt△ABD中,E為AB的中點, ∴DE=AB=, 同理DF=AC=, ∴△DEF的周長=7++=21, 故答案為:21. 【點評】本題主要考查三角中位線定理及直角三角形的判定和性質,由勾股定理的逆定理證得△ABD為直角三角形是解題的關鍵. 16.如圖,矩形OABC的頂點A、C坐標分別是(8,0)、(0,4),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象過對角線的交點P并且與AB、BC分別交于D、E兩點,連結OD、OE、DE,則△ODE的面積為 15?。? 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義. 【分析】設直線AC的解析式為y=ax+b,利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,再由反比例函數(shù)與AC相切求出k值,由此即可找出D、E的坐標,利用分割圖形求面積法即可得出結論. 【解答】解:設直線AC的解析式為y=ax+b, 則,解得:, ∴直線AC的解析式為y=﹣x+4, 將y=代入y=﹣x+4中,整理得:x2﹣8x+2k=0, ∵反比例函數(shù)與直線AC只有一個交點, ∴△=(﹣8)2﹣8k=0,解得:k=8, ∴反比例函數(shù)解析式為y=. 令y=中x=8,則y=1, ∴D(8,1), 令y=中y=4,則x=2, ∴E(2,4). ∴S△ODE=S矩形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD﹣S△BDE=48﹣8﹣8﹣(8﹣2)(4﹣1)=15. 故答案為:15. 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根的判別式以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,解題的關鍵是求出點D、E的坐標.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時,由相切根據(jù)根的判別式找出反比例函數(shù)解析式是關鍵. 17.如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90,AB=AD,AC=4BC,若CD=5,則四邊形ABCD的面積為 10 . 【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理. 【專題】壓軸題. 【分析】作AE⊥AC,DE⊥AE,兩線交于E點,作DF⊥AC垂足為F點,求出∠BAC=∠DAE,根據(jù)AAS證△ABC≌△ADE,推出BC=DE,AC=AE,設BC=a,則DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a,求出CF=3a, 在Rt△CDF中,由勾股定理得出(3a)2+(4a)2=52,求出a=1,根據(jù)S四邊形ABCD=S梯形ACDE求出梯形ACDE的面積即可. 【解答】解:作AE⊥AC,DE⊥AE,兩線交于E點,作DF⊥AC垂足為F點, ∵∠BAD=∠CAE=90, 即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE, ∴∠BAC=∠DAE, 在△ABC和△ADE中 ∵, ∴△ABC≌△ADE(AAS), ∴BC=DE,AC=AE, 設BC=a,則DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a, CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a, 在Rt△CDF中,由勾股定理得:CF2+DF2=CD2, 即(3a)2+(4a)2=52, 解得:a=1, ∴S四邊形ABCD=S梯形ACDE=(DE+AC)DF =(a+4a)4a =10a2 =10. 故答案為:10. 【點評】本題考查了勾股定理,全等三角形的性質和判定,梯形的性質等知識點,關鍵是正確作輔助線,題目綜合性比較強,有一定的難度. 18.如圖,在△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=2,點A、C分別在x軸、y軸上,當點A在x軸上運動時,點C隨之在y軸上運動,在運動過程中,點B到原點的最大距離是 2+2?。? 【考點】勾股定理;直角三角形斜邊上的中線. 【分析】取CD的中點,連接OD、BD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD=AC,利用勾股定理列式求出BD,再根據(jù)三角形的三邊關系判斷出O、D、B三點共線時點B到原點的距離最大. 【解答】解:如圖,取CA的中點D,連接OD、BD, 則OD=CD=AC=4=2, 由勾股定理得,BD==2, 當O、D、B三點共線時點B到原點的距離最大, 所以,點B到原點的最大距離是2+2. 故答案為:2+2. 【點評】本題考查了勾股定理,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質,熟記性質是解題的關鍵. 三、解答題(共10題,共96分) 19.化簡或計算: (1) (2)(﹣2). 【考點】二次根式的混合運算;約分. 【分析】(1)先把分式的分子分母分解因式,然后約分即可; (2)根據(jù)二次根式的乘法運算去掉括號,然后化簡即可. 【解答】解:(1))==﹣; (2)(﹣2), =﹣2, =﹣2. 【點評】本題考查了二次根式的混合運算,分式的約分,熟練掌握二次根式的乘除運算法則是解題的關鍵. 20.先化簡,再求值: ,其中a是方程x2﹣5x﹣6=0的根. 【考點】分式的化簡求值. 【分析】先算括號里面的,再算除法,根據(jù)a是方程x2﹣5x﹣6=0的根得出a2﹣5a=6,代入原式進行計算即可. 【解答】解:原式= =? =, ∵a是方程x2﹣5x﹣6=0的根, ∴a2﹣5a=6, ∴原式==. 【點評】本題考查的是分式的化簡求值,此類題型的特點是:利用方程解的定義找到相等關系,再把所求的代數(shù)式化簡后整理出所找到的相等關系的形式,再把此相等關系整體代入所求代數(shù)式,即可求出代數(shù)式的值. 21.八(2)班組織了一次經(jīng)典朗讀比賽,甲、乙兩隊各10人的比賽成績如下表(10分制): 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 (1)甲隊成績的中位數(shù)是 9.5 分,乙隊成績的眾數(shù)是 10 分; (2)計算乙隊的平均成績和方差; (3)已知甲隊成績的方差是1.4分2,則成績較為整齊的是 乙 隊. 【考點】方差;加權平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù). 【專題】計算題;圖表型. 【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)的定義求出最中間兩個數(shù)的平均數(shù);根據(jù)眾數(shù)的定義找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即可; (2)先求出乙隊的平均成績,再根據(jù)方差公式進行計算; (3)先比較出甲隊和乙隊的方差,再根據(jù)方差的意義即可得出答案. 【解答】解:(1)把甲隊的成績從小到大排列為:7,7,8,9,9,10,10,10,10,10,最中間兩個數(shù)的平均數(shù)是(9+10)2=9.5(分), 則中位數(shù)是9.5分; 乙隊成績中10出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多, 則乙隊成績的眾數(shù)是10分; 故答案為:9.5,10; (2)乙隊的平均成績是:(104+82+7+93)=9, 則方差是:[4(10﹣9)2+2(8﹣9)2+(7﹣9)2+3(9﹣9)2]=1; (3)∵甲隊成績的方差是1.4,乙隊成績的方差是1, ∴成績較為整齊的是乙隊; 故答案為:乙. 【點評】本題考查方差、中位數(shù)和眾數(shù):中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后,最中間的那個數(shù)(或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)),一般地設n個數(shù)據(jù),x1,x2,…xn的平均數(shù)為,則方差S2= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小,方差越大,波動性越大,反之也成立. 22.已知關于x的方程x2+ax+a+3=0有兩個相等的實數(shù)根,求a的值并求出此時這個方程的根. 【考點】根的判別式. 【分析】若方程有兩個相等的實數(shù)根,則方程的△=0,可據(jù)此求出a的值,進而可確定原一元二次方程,從而求出方程的根. 【解答】解:∵方程x2+ax+a+3=0有兩個相等的實數(shù)根, ∴△=a2﹣4(a+3)=a2﹣4a+4﹣16=(a﹣2)2﹣16=0,解得a1=﹣2,a2=6; 當a1=﹣2時,原方程為:x2﹣2x+1=0,解得x1=x2=1; 當a2=6時,原方程為:x2+6x+9=0,解得x1=x2=﹣3. 【點評】考查了根的判別式,總結:一元二次方程根的情況與判別式△的關系: (1)△>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根; (2)△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根; (3)△<0?方程沒有實數(shù)根. 23.某中學組織學生去離學校15km的實踐基地取參加實踐活動,志愿者隊伍與學生隊伍同時出發(fā),志愿者隊伍的速度是學生隊伍的速度的1.2倍,結果志愿者隊伍比學生隊伍早到30分鐘,志愿者隊伍和學生隊伍的速度各是每小時多少千米? 【考點】分式方程的應用. 【分析】首先設學生隊伍的速度為x千米/時,則志愿者隊伍的速度是1.2x千米/時,由題意可知志愿者隊伍用的時間+0.5小時=學生隊伍用的時間. 【解答】解:設學生隊伍的速度為x千米/時,則志愿者隊伍的速度是1.2x千米/時, , 解得:x=5, 經(jīng)檢驗x=5是原方程的解, 1.2x=1.25=6. 答:志愿者隊伍的速度是6千米/時,學生隊伍的速度是5千米/時. 【點評】此題主要考查了分式方程的應用,關鍵是弄懂題意,表示出志愿者隊伍和學生隊伍各走15千米所用的時間,根據(jù)時間關系:志愿者隊伍用的時間+0.5小時=學生隊伍用的時間列出方程解決問題. 24.如圖,一次函數(shù)y1=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象交于A、B兩點,與y軸交于C點,已知A點坐標為(2,1),C點坐標為(0,3) (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式; (2)在x軸上找一點P,使得△PAB的周長最小,請求出點P的坐標. 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題;軸對稱-最短路線問題. 【分析】(1)利用待定系數(shù)法分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式; (2)利用軸對稱的性質作出點B關于x軸的對稱點B′,連接AB′得到點P,利用待定系數(shù)法求解即可. 【解答】解:(1)∵反比例函數(shù)y2=(x>0)的圖象經(jīng)過(2,1), ∴k2=2, ∴反比例函數(shù)的解析式為:y2=, ∵一次函數(shù)y1=k1x+b的圖象經(jīng)過(2,1)和(0,3), ∴, 解得,, ∴一次函數(shù)的解析式為:y1=﹣x+3; (2)作點B關于x軸的對稱點B′,連接AB′交x軸于P,則點P即為所求, , 解得,,, 則點B的坐標為(1,2), 則點B關于x軸的對稱點B′的坐標為(1,﹣2), 設直線AB′的解析式為y=ax+c, , 解得,, 則直線AB′的解析式為y=3x﹣5, 3x﹣5=0, 解得,x=, ∴點p的坐標為(,0). 【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、軸對稱﹣最短路線問題,靈活運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、正確作出點B關于x軸的對稱點B′是解題的關鍵. 25.在Rt△ABC中,∠ABC=90,D是BC的中點,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F. (1)證明四邊形ADCF是菱形; (2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積. 【考點】菱形的判定與性質. 【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出圖形,由E是AD的中點,AF∥BC,易證得△AFE≌△DBE,即可得AF=BD,又由在Rt△ABC中,∠ABC=90,D是BC的中點,可得AD=BD=CD=AF,證得四邊形ADCF是平行四邊形,繼而判定四邊形ADCF是菱形; (2)首先連接DF,易得四邊形ABDF是平行四邊形,即可求得DF的長,然后由菱形的面積等于其對角線積的一半,求得答案. 【解答】(1)證明:如圖,∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DBE, ∵E是AD的中點,AD是BC邊上的中線, ∴AE=DE,BD=CD, 在△AFE和△DBE中, , ∴△AFE≌△DBE(AAS); ∴AF=DB. ∵DB=DC, ∴AF=CD, ∴四邊形ADCF是平行四邊形, ∵∠BAC=90,D是BC的中點, ∴AD=DC=BC, ∴四邊形ADCF是菱形; (2)解:連接DF, ∵AF∥BC,AF=BD, ∴四邊形ABDF是平行四邊形, ∴DF=AB=5, ∵四邊形ADCF是菱形, ∴S=AC?DF=10. 【點評】此題考查了菱形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質.注意根據(jù)題意畫出圖形,結合圖形求解是關鍵. 26.碼頭工人往一艘輪船上裝載貨物,裝完貨物所需時間y(h)與裝載速度x(t/h)之間的函數(shù)關系如圖. (1)這批貨物的質量是多少?寫出y與x之間的函數(shù)表達式; (2)中午12:00輪船到達目的地后,接到氣象部門預報,晚上8:00港口將受到臺風影響必須停止卸貨,為確保這批貨物安全卸貨,如果以8t/h的速度卸貨,那么在臺風到來之前能否卸完這批貨?如果要在臺風到來前卸完這批貨,那么每小時至少要卸多少噸的貨? 【考點】反比例函數(shù)的應用. 【分析】(1)根據(jù)圖象經(jīng)過的點的坐標可以確定貨物總量,然后利用待定系數(shù)法可以確定反比例函數(shù)的解析式; (2)首先設每小時卸貨8噸,然后確定最晚卸貨完的時間,與8:00比較后即可確定是否能夠卸完. 【解答】解:(1)這批貨物的質量為501.6=80噸; 設y與x的函數(shù)關系式為y=, 當x=50時,y=1.6, ∴k=501.6=80, ∴y與x的函數(shù)關系式為y=; (2)設當x=8時,y==10, ∴12:00+10=22:00, 因此晚上8:00不能完成卸貨任務, ∵y=20﹣12=8, ∴8=,解得:x=10, 所以每小時至少要卸貨10噸. 【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應用,解題的關鍵是能夠從實際問題中抽象出反比例函數(shù)模型,難度不大. 27.如圖,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從點A出發(fā)沿AB向點B移動(不與點A、B重合),一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發(fā)沿CD向點D移動(不與點C、D重合). (1)若點P、Q均以3cm/s的速度移動,經(jīng)過多長時間四邊形BPDQ為菱形? (2)若點P為3cm/s的速度移動,點Q以2cm/s的速度移動,經(jīng)過多長時間△DPQ為直角三角形? 【考點】矩形的性質;勾股定理的逆定理;菱形的判定. 【分析】(1)根據(jù)矩形的性質可得出AB∥CD,再由點P、Q移動的速度相同即可得出四邊形BPDQ是平行四邊形,如要四邊形BPDQ是菱形只需BP=DP,設經(jīng)過xs,四邊形BPDQ是菱形,用x表示出BP、DP,由此即可得出關于x的一元二次方程,解方程即可得出結論; (2)由∠PDQ≠90可知△DPQ為直角三角形分兩種情況.①當∠DPQ=90時,過點Q作QM⊥AB于M,利用勾股定理即可得出關于x的一元二次方程,解方程即可求出x值;②當∠DQP=90時,則AP+CQ=16,由此可得出關于x的一元一次方程,解方程即可得出x值.綜上即可得出結論. 【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB∥CD. ∵點P、Q均以3cm/s的速度移動, ∴AP=CQ, ∴BP=DQ, ∴四邊形BPDQ是平行四邊形, ∴當BP=DP時,四邊形BPDQ是菱形. 設經(jīng)過xs,四邊形BPDQ是菱形,則有AP=3xcm,BP=(16﹣3x)cm, 由勾股定理得:DP2=(3x)2+62, ∴DP2=(3x)2+62=(16﹣3x)2, 解得:x=. 答:經(jīng)過s時四邊形BPDQ是菱形. (2)∵點P不與點A重合, ∴∠PDQ≠90, ∴△DPQ為直角三角形分兩種情況: ①當∠DPQ=90時,△DPQ為直角三角形,過點Q作QM⊥AB于M,易得四邊形BCQM為矩形,如圖所示. ∵AP=3xcm,BM=CQ=2xcm,則PM=(16﹣5x)cm,DQ=(16﹣2x)cm, ∴(16﹣5x)2+62+(3x)2+62=(16﹣2x)2, 解得:x1=2,x2=; ②當∠DQP=90時,AP+CQ=16, 所以3x+2x=16,解得:x=. 綜上可知:經(jīng)過2s、s或s時,△DPQ為直角三角形. 【點評】本題考查了矩形的性質、勾股定理得逆定理以及菱形的判定,解題的關鍵是:(1)根據(jù)鄰邊相等找出關于x的一元二次方程;(2)分兩種情況考慮.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)菱形的判定、勾股定理得逆定理得出關于x的方程是關鍵. 28.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90,現(xiàn)在有一足夠大的直角三角板,它的直角頂點D是BC上一點,另兩條直角邊分別交AB、AC于點E、F. (1)如圖1,若DE⊥AB,DF⊥AC,求證:四邊形AEDF是矩形; (2)在(1)條件下,若點D在∠BAC的 角平分線上,試判斷此時四邊形AEDF的形狀,并說明理由; (3)若點D在∠BAC的角平分線上,將直角三角板繞點D旋轉一定的角度,使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點E、F(如圖2),試證明AE+AF=AD. 【考點】四邊形綜合題. 【分析】(1)由垂直的定義得到∠AED=∠AFD=90,根據(jù)矩形的判定定理即可得到結論; (2)根據(jù)角平分線的性質得到DE=DF,根據(jù)正方形的判定定理即可得到矩形AEDF是正方形; (3)作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,證得四邊形AMDN是正方形,由正方形的性質得到AM=DM=DN=AN,∠MDN=∠AMD=90,由余角的性質得到∠NDF=∠EDM,根據(jù)全等三角形的性質得到EM=FN,根據(jù)勾股定理得到AD=AM,由于AM=(AM+AN)=(AE+AF),等量代換即可得到結論. 【解答】解:(1)∵DE⊥AB,BF⊥AC, ∴∠AED=∠AFD=90, ∵∠BAC=90, ∴四邊形AEDF是矩形; (2)四邊形AEDF是正方形, 理由:∵點D在∠BAC的 角平分線上,DE⊥AB,BF⊥AC, ∴DE=DF, ∴矩形AEDF是正方形; (3)作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N, ∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90, ∵點D在∠BAC的 角平分線上, ∴DM=DN, ∴四邊形AMDN是正方形, ∴AM=DM=DN=AN,∠MDN=∠AMD=90, ∴∠MDF+∠NDF=90, ∵∠EDF=90, ∴∠MDF+∠EDM=90, ∴∠NDF=∠EDM, 在△EMD與△END中,, ∴△EMD≌△END, ∴EM=FN, ∵∠AMD=90, ∴AM2+DM2=AD2, ∴AD=AM, ∵AM=(AM+AN)=(AE+AF), ∴AD=(AE+AF), ∴AE+AF=AD. 【點評】本題考查了矩形的判定和性質,直角三角形的性質,正方形的判定和性質,全等三角形的判定和性質,三角形角平分線的性質,正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.- 配套講稿:
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