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例1、已知a, b, c是不全相等的正數(shù)， 求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 分析：不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以運用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以運用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc. 證：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc 同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc 當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時取等號，而a, b, c是不全相等的正數(shù) ∴三式不同時取等號，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc本例證法可稱為三合一法，當(dāng)要證的不等式關(guān)于字母具有對稱形式時，我們?？砂哑淇闯墒怯扇舾蓚€結(jié)構(gòu)相同但所含字母較少的不等式相加或相乘而得，我們只要先把減了元的較簡單的不等式證出，即可完成原不等式的證明。 例2、a , b, c?R, 求證：1° 2° 3° 證：1°、法一：, , 兩式相乘即得。 法二：左邊 ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2°、∵ 兩式相乘即得 3°、由上題： ∴，即： 例3、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證： 證明：左－右=2（ab+bc－ac），∵a，b，c成等比數(shù)列，∴ 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以≤，∴ ∴∴ 說明：此題在證明過程中運用了比較法、基本不等式、等比中項性質(zhì)，體現(xiàn)了綜合法證明不等式的特點 例4、制造一個容積為V（定值）的圓柱形容器，試分別就容器有蓋及無蓋兩種情況，求：怎樣選取底半徑與高的比，使用料最??？ 分析：根據(jù)1題中不等式左右的結(jié)構(gòu)特征，考慮運用“基本不等式”來證明.對于2題，抓住容積為定值，建立面積目標(biāo)函數(shù)，求解最值，是本題的思路. 解：設(shè)容器底半徑為r,高為h,則V=πr2h,h=. (1)當(dāng)容器有蓋時，所需用料的面積： S=2πr2+2πrh=2πr2+=2πr2++≥3 當(dāng)且僅當(dāng)2πr2=,即r=,h==2r,取“=”號.故時用料最省. （2）當(dāng)容器無蓋時，所需用料面積：S=πr2+2πrh=πr2+=πr2++≥3 當(dāng)且僅當(dāng)πr2=,r=,h==r.即r=h時用料最省. 作業(yè)補充題： 1、設(shè)a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求證：8abc≤(1-a)(1-b)(1-c). 2、設(shè)a,b,c為一個不等邊三角形的三邊，求證：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b). 3、已知a, b?R+，求證： 第四課時 分析法 【教學(xué)目標(biāo)】 結(jié)合已學(xué)過的實例，了解直接證明的方法——分析法，了解分析法的思考過程與特點。 【教學(xué)重點難】理解分析法的思維過程和特點； 運用分析法證（解）題時，規(guī)范書寫證明過程. 分析法：當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時，我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步分析尋求使這個不等式成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實，從而得出要證的不等式成立，這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法。使用分析法證明時，要注意表述的規(guī)范性，當(dāng)問題比較復(fù)雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合使用，以分析法尋求證明的思路，而用綜合法進行表述，完成證明過程。 例1、求證： 證：分析法： 綜合表述： ∵ ∵21 < 25 只需證明： ∴ 展開得： ∴ 即： ∴ ∴ ∴ 即： 21 < 25（顯然成立） ∴ ∴ 例2、設(shè)x > 0，y > 0，證明不等式： 證一：（分析法）所證不等式即： 即： 即： 只需證： ∵成立 ∴ 證二：（綜合法）∵ ∵x > 0，y > 0， ∴ 例3、已知：a + b + c = 0，求證：ab + bc + ca ≤ 0 證一：（綜合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0 展開得： ∴ab + bc + ca ≤ 0 證二：（分析法）要證ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需證 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 即證： 即： （顯然）∴原式成立 證三：∵a + b + c = 0 ∴- c = a + b ∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = -a2 -b2 -ab = 例4、已知，求證：，并求等號成立的條件。 分析：不等式右邊是常數(shù)，能否用平均值定理？應(yīng)當(dāng)可以。（找條件一正、二定、三相等） 如何把左邊變形為和的形式？多項式的除法或配湊！ 左==（看到了希望！） = （已知） 當(dāng)時，由解出當(dāng)時等號成立。 例5、a>0,b>0,且a +b =1,求證:≤2. 證明: ≤2 (a +)+(b +)+2·≤4 ≤1 ab +≤1 ab +≤1ab≤ ∵a>0,b>0,且a +b =1,∴ab≤()2=成立，故 ≤2. 作業(yè)補充題 1.求證:. 2、若a,b>0,2c>a+b,求證: (1)c2>ab ；（2）c - 0，且x + y >2，則和中至少有一個小于2。 反設(shè)≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 與x + y >2矛盾，∴原式成立 例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：（1）設(shè)a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 （2）若a = 0，則與abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0 例3、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時大于 證：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >, 則三式相乘： (1 - a)b?(1 - b)c?(1 - c)a > ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a?(1 - b)b?(1 - c)c≤ 與①矛盾. ∴(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時大于 二、放縮法： 在證明不等式的時候，在直接證明遇到困難的時候,可以利用不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強為一個易證的不等式，即欲證A>B，我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋€中間量C作為媒介，證明A>C且C>B,從而得到A>B.我們把這種把B放大到C(或把A縮小到C)的方法稱為放縮法.放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對象以及放縮的尺度不易掌握,技巧性較強,這關(guān)系到證明的成敗,往往需要根據(jù)具體的題目經(jīng)過多次的探索和試驗才能成功,因此必須多練. 比較常用的方法時把分母或分子適當(dāng)放大或縮?。p去或加上一個正數(shù)）使不等式簡化易證。 例4、若a, b, c, d?R+，求證： 證：記m = ∵a, b, c, d?R+ ∴ ∴1 < m < 2 即原式成立 例5、當(dāng) n > 2 時，求證： 證：∵n > 2 ∴ ，∴ n > 2時, 例6、求證： 證：∵ ∴ 思考：若把不等式的右邊改成或，你可以證明嗎？ 例7、 求證： 證：∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0, 作業(yè)補充題 1、設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同時大于1 2、設(shè)試證明: 3、設(shè)求證：中至少有一個不小于 4、設(shè)x > 0, y > 0,, ，求證：a < b 5、證明： 6、 證明：lg9?lg11 < 1 7、 證明：若a > b > c, 則 W 第五課時 數(shù)學(xué)歸納法 【教學(xué)目標(biāo)】 1． 使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實質(zhì)． 2． 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題． 3． 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學(xué)思想． 4． 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率． 5． 通過對例題的探究，體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神． 【教學(xué)重點】歸納法意義的認識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析 【教學(xué)難點】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解 【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法 【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué) 【教學(xué)程序】第一階段：輸入階段——創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容 1． 創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維 (1) 不完全歸納法引例： 明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學(xué)寫字．這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的． (2) 完全歸納法對比引例： 有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明． 在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報，用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法． 2． 回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識 （從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，進一步體會歸納意識，同時讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實早已接觸過歸納．） (1) 不完全歸納法實例： 給出等差數(shù)列前四項, 寫出該數(shù)列的通項公式． (2) 完全歸納法實例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況． 3． 借助數(shù)學(xué)史料, 促使學(xué)生思辨 （在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時引導(dǎo)學(xué)生進行思辨：在數(shù)學(xué)中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此．那么，有沒有更好的歸納法呢？） 問題1 已知＝（n∈N）， (1)分別求；；；． (2)由此你能得到一個什么結(jié)論？這個結(jié)論正確嗎？ （培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程．） 問題2 費馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認為，當(dāng)n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了＝4 294 967 297＝6 700 417×641，從而否定了費馬的推測．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立． 問題3 , 當(dāng)n∈N時，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合數(shù)． 第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知結(jié)構(gòu) 4． 搜索生活實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 （在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程．孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者．”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗．） 實例：播放多米諾骨牌錄像 關(guān)鍵：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下． 于是, 我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會全部倒下． 搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊對齊等． 5． 類比數(shù)學(xué)問題, 激起思維浪花 類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項公式： (1) 當(dāng)n＝1時等式成立； (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立, 即, 則=, 即n＝k＋1時等式也成立． 于是, 我們可以下結(jié)論： 等差數(shù)列的通項公式對任何n∈都成立． （布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．） 6． 引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法 證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下： (1) 證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確； (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈，k≥) 時結(jié)論正確, 證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確． 完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確． 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 第三階段：操作階段——鞏固認知結(jié)構(gòu)，充實認知過程 7． 蘊含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識 （本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨立研究數(shù)學(xué)問題的意識和能力．） 例題 在數(shù)列{}中, ＝1, (n∈), 先計算，，的值，再推測通項的公式, 最后證明你的結(jié)論． 8． 基礎(chǔ)反饋練習(xí), 鞏固方法應(yīng)用 （課本例題與等差數(shù)列通項公式的證明差不多，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習(xí)，這樣既考慮到學(xué)生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點．練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項公式的證明，與前者是一個對比與補充．通過這兩個練習(xí)能看到學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況．） (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝． (2)首項是，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是． 9． 師生共同小結(jié), 完成概括提升 (1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法； (2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法； (3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉； (4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想． 10． 布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊 在數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中，證明n＝k＋1時命題成立, 必須要用到n＝k時命題成立這個假設(shè)．這里留一個辨析題給學(xué)生課后討論思考： 用數(shù)學(xué)歸納法證明： (n∈)時, 其中第二步采用下面的證法： 設(shè)n＝k時等式成立, 即, 則當(dāng)n＝k＋1時, ． 你認為上面的證明正確嗎？為什么？ 教后反思： 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設(shè)想強化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機． 2．在教學(xué)方法上，這里運用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強學(xué)生對教學(xué)過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學(xué)生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展． 3．運用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個步驟缺一不可．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時必須要用到n＝k時命題成立這個條件．這些內(nèi)容都將放在下一課時完成，這種理解不僅使我們能夠正確認識數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過程中第二步的設(shè)計指明了思維方向． 17 .