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高考大題分層練 4.三角、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何(D組) 大題集訓(xùn)練,練就慧眼和規(guī)范,占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)! 1.設(shè)△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且b(cosA-3cosC) =(3c-a)cosB. (1)求的值. (2)若cosB=,且△ABC的周長(zhǎng)為14,求b的值. 【解析】(1)因?yàn)閎(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB. 由正弦定理得,=. 即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB, 化簡(jiǎn)可得sin(A+B)=3sin(B+C). 又A+B+C=π,所以sinC=3sinA,因此=. (2)由=得c=3a.由余弦定理及cosB=得 b2=a2+c2-2accosB=a2+9a2-6a2=9a2. 所以b=3a.又a+b+c=14.從而a=2,因此b=6. 2.設(shè)Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=+an-. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)是否存在等比數(shù)列{bn},使a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-1)2n+1+2對(duì)一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論. 【解析】(1)由Sn=+an-得Sn+1=+an+1-, 兩式相減并整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0, 又由于an+1+an>0,則an+1=an+2,故數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 因?yàn)閍1=S1=+a1->0, 所以a1=3,故an=2n+1. (2)當(dāng)n=1,2時(shí),a1b1=22(21-1)+2=6, a1b1+a2b2=23(22-1)+2=26, 可解得b1=2,b2=4, 猜想bn=2n,使a1b1+a2b2+…+anbn=2n+1(2n-1)+2成立. 證明:32+522+723+…+(2n+1)2n=2n+1(2n-1)+2恒成立. 令S=32+522+723+…+(2n+1)2n,① 2S=322+523+724+…+(2n+1)2n+1,② ②-①得:S=(2n+1)2n+1-22n+1+2=(2n-1)2n+1+2, 故存在等比數(shù)列{bn}符合題意. 3.學(xué)校為測(cè)評(píng)班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師的滿意度，采用“100分制”打分的方式來(lái)計(jì)分.現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們對(duì)某教師的滿意度分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉)，規(guī)定若滿意度不低于98分，評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”. (1)求從這10人中隨機(jī)選取3人，至多有1人評(píng)價(jià)該教師是“優(yōu)秀”的概率. (2)以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)班級(jí)的總體數(shù)據(jù)，若從該班任選3人，記ξ表示抽到評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】(1)設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”，至多1人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”記為事件A， 則P(A)=P(A0)+P(A1)=+=. (2)由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3， P(ξ=0)==，P(ξ=1)==， P(ξ=2)==，P(ξ=3)==. 故ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P E(ξ)=0+1+2+3=0.9. 4.如圖，矩形ABCD中，=λ(λ>1)，將其沿AC翻折，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)E的位置，且二面角C -AB-E為直二面角. (1)求證：平面ACE⊥平面BCE. (2)設(shè)F是BE的中點(diǎn)，二面角E-AC-F的平面角的大小為θ，當(dāng)λ∈[2，3]時(shí)，求cosθ的取值范圍. 【解析】(1)因?yàn)槎娼荂-AB-E為直二面角，AB⊥BC， 所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE， 因?yàn)锳E⊥CE，BC∩CE=C，所以AE⊥平面BCE，又因?yàn)锳E?平面ACE， 所以平面ACE⊥平面BCE. (2)方法一：如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 AB=λ，A(0，1，0)， B， C，E，F(xiàn)， 則=(0，1，0)，=， 設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為m=(x，y，z)， 則 取x=1，則m=， 同理平面FAC的一個(gè)法向量為 n=， 所以cosθ===， 因?yàn)棣恕蔥2，3]，所以cosθ∈. 方法二：過(guò)F作FG⊥CE于G，過(guò)G作GH⊥AC于H，連接FH，則FG⊥AC，則二面角E-AC-F的平面角為∠FHG， 因?yàn)锳F=CF==， 所以H為AC的中點(diǎn)， 所以FH==， 由S△CEF=S△BCE，得FG=， 所以GH=， 所以cosθ=，因?yàn)棣恕蔥2，3]， 所以cosθ∈.