《高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習 理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第1講　等差數(shù)列與等比數(shù)列 1．(2016課標全國乙)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100等于(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 答案　C 解析　由等差數(shù)列性質(zhì)，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1， ∴a100＝a10＋90d＝98，故選C. 2．(2016北京)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________. 答案　6 解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0. 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2. ∴S6＝66＋(－2)＝6. 3．(2016江蘇)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________． 答案　20 解析　設等差數(shù)列{an}公差為d，由題意可得： 解得 則a9＝a1＋8d＝－4＋83＝20. 4．(2016課標全國乙)設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為__________． 答案　64 解析　設等比數(shù)列{an}的公比為q， ∴?解得 ∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4) ∵n∈N*， ∴當n＝3或4時，取到最小值－6， 此時取到最大值26＝64， ∴a1a2…an的最大值為64. 1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力. 熱點一　等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算 1．通項公式 等差數(shù)列：an＝a1＋(n－1)d； 等比數(shù)列：an＝a1qn－1. 2．求和公式 等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d； 等比數(shù)列：Sn＝＝(q≠1)． 3．性質(zhì) 若m＋n＝p＋q， 在等差數(shù)列中am＋an＝ap＋aq； 在等比數(shù)列中aman＝apaq. 例1　(1)已知數(shù)列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差數(shù)列，則a5等于(　　) A. B. C. D. (2)已知等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，且a1＋a7＝9，a4＝2，則S8等于(　　) A．15(1＋) B．15 C．15 D．15(1＋)或15(1＋) 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)設等差數(shù)列的公差為d，則＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2. ∴＝＋2d＝10，解得a5＝. (2)由a4＝2，得a1a7＝a＝8，故a1，a7是方程x2－9x＋8＝0的兩根，所以或因為等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，所以公比q>0.當時q＝＝，所以S8＝＝15(1＋)； 當時，q＝＝，所以S8＝＝15.故選D. 思維升華　在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量． 跟蹤演練1　(1)(2015浙江)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________. (2)已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，則log2＝________. 答案　(1)?。?　(2)1 006 解析　(1)∵a2，a3，a7成等比數(shù)列，∴a＝a2a7， 即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴a1＝－d. ∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1，即3a1＋d＝1， ∴a1＝，d＝－1. (2)在等比數(shù)列中，(a1＋a2)q2＝a3＋a4， 即q2＝2，所以a2 013＋a2 014＋a2 015＋a2 016 ＝(a1＋a2＋a3＋a4)q2 012＝321 006， 所以log2＝1 006. 熱點二　等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法 (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法： ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)； ②利用中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法： ①利用定義，證明(n∈N*)為一常數(shù)； ②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2)． 例2　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn (n∈N*)，且滿足an＋Sn＝2n＋1. (1)求證：數(shù)列{an－2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證：＋＋…＋<. 證明　(1)∵an＋Sn＝2n＋1，令n＝1， 得2a1＝3，a1＝. ∵an＋Sn＝2n＋1， ∴an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋1 (n≥2，n∈N*)． 兩式相減，得2an－an－1＝2，整理an＝an－1＋1， an－2＝(an－1－2)(n≥2)， ∴數(shù)列{an－2}是首項為a1－2＝－，公比為的等比數(shù)列， ∴an－2＝－n，∴an＝2－. (2)∵＝ ＝＝－， ∴＋＋…＋ ＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－<. 思維升華　(1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項公式及前n項和公式，但不能作為證明方法． (2)＝q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時還要看各項是否為零． 跟蹤演練2　(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，則an＝________. (2)已知數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若數(shù)列{bn}滿足各項均為正項，并且以(bn，Tn) (n∈N*)為坐標的點都在曲線ay＝x2＋x＋b (a為非零常數(shù))上運動，則稱數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”，則(　　) A．{bn}一定為等比數(shù)列 B．{bn}一定為等差數(shù)列 C．{bn}只從第二項起為等比數(shù)列 D．{bn}只從第二項起為等差數(shù)列 答案　(1)2n＋1－3　(2)B 解析　(1)由已知可得an＋1＋3＝2(an＋3)， 又a1＋3＝4， 故{an＋3}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列． ∴an＋3＝42n－1， ∴an＝2n＋1－3. (2)由已知條件可知，若數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”，設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則數(shù)列{bn}滿足各項均為正項，并且以(bn，Tn)(n∈N*)為坐標的點都在曲線ay＝x2＋x＋b (a為非零常數(shù))上運動，即aTn＝b＋bn＋b，當n＝1時，aT1＝b＋b1＋b?ab1＝b＋b1＋b?b－b1＋b＝0?ab－ab1＋2b＝0， 即b1＝； 當n≥2時，由aTn＝b＋bn＋b， 及aTn－1＝b＋bn－1＋b， 兩式相減得 abn＝(b－b)＋(bn－bn－1) ?(b－b)－(bn＋bn－1)＝0， 由各項均為正項，可得bn－bn－1＝1(n≥2)， 由等差數(shù)列的定義可知{bn}一定為等差數(shù)列． 熱點三　等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題 解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解． 例3　已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn； (2)將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項，記{bn}的前n項和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn6.即實數(shù)λ的取值范圍為(6，＋∞)． 思維升華　(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便． (2)數(shù)列的項或前n項和可以看作關于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題． (3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解． 跟蹤演練3　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設數(shù)列{bn}滿足若bn≤t對于任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍． 解　(1)由已知得Sn＝3an－2，令n＝1，得a1＝1， 又an＋1＝Sn＋1－Sn＝3an＋1－3an?an＋1＝an， 所以數(shù)列{an}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以an＝n－1. (2)由 得 所以bn＋1－bn＝(n＋1)n－nn－1＝(2－n)， 所以(bn)max＝b2＝b3＝，所以t≥. 1．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 押題依據(jù)　等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和是數(shù)列最基本的知識點，也是高考的熱點，可以考查學生靈活變換的能力． 答案　C 解析　∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0， ∴S12>0，S13<0， ∴滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12. 2．已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4－2a＋3a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b12等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 押題依據(jù)　等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識運用的綜合性和靈活性，是高考出題的重點． 答案　C 解析　設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a4－2a＋3a8＝0，所以a7－3d－2a＋3(a7＋d)＝0，即a＝2a7，解得a7＝0(舍去)或a7＝2，所以b7＝a7＝2.因為數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，所以b2b12＝b＝4. 3．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，存在兩項am，an使得 ＝4a1，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D. 押題依據(jù)　本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學生應用數(shù)學的能力，是高考命題的方向． 答案　A 解析　由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(與條件中等比數(shù)列的各項都為正數(shù)矛盾，舍去)，又由＝4a1，得aman＝16a，即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)(＋) ＝(＋＋5)≥(2 ＋5)＝， 當且僅當＝，m＋n＝6， 即n＝2m＝4時取得最小值. 4．定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)： ①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 押題依據(jù)　先定義一個新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺． 答案　C 解析　等比數(shù)列性質(zhì)，anan＋2＝a， ①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝f2(an＋1)； ③f(an)f(an＋2)＝＝＝f2(an＋1)； ④f(an)f(an＋2)＝ln|an|ln|an＋2|≠(ln|an＋1|)2＝f2(an＋1)．故選C. A組　專題通關 1．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則2a10－a12的值為(　　) A．20 B．22 C．24 D．28 答案　C 解析　由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，解得a8＝24，∵a8＋a12＝2a10， ∴2a10－a12＝a8＝24. 2．已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝120，d＝－4，若Sn≤an (n≥2)，則n的最小值為(　　) A．60 B．62 C．70 D．72 答案　B 解析　由題意可知，Sn＝na1＋d＝－2n2＋122n，an＝a1＋(n－1)d＝124－4n，由Sn≤an得－2n2＋126n≤124，解得n≤1或n≥62，又n≥2，∴n≥62，故選B. 3．在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，公比為q，前n項和為Sn，若數(shù)列{Sn＋2}也是等比數(shù)列，則q等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 答案　C 解析　由題意可得q≠1，由數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列，可得S1＋2，S2＋2，S3＋2成等比數(shù)列，所以(S2＋2)2＝(S1＋2)(S3＋2)，所以(6＋4q)2＝24(1＋q＋q2)＋12， ∴q＝3(q＝0舍去)．故選C. 4．(2016四川)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 答案　B 解析　設x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬元，由題可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝log1.12＝≈3.80，因資金需超過200萬，則x取4，即2019年．故選B. 5．函數(shù)f(x)＝若數(shù)列{an}滿足an＝f(n) (n∈N*)，且{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C．(2,3) D．(1,3) 答案　C 解析　因為an＝f(n) (n∈N*)，{an}是遞增數(shù)列， 所以函數(shù)f(x)＝為增函數(shù)需滿足三個條件解不等式組得實數(shù)a的取值范圍是(2,3)，故選C. 6．若數(shù)列{n(n＋4)n}中的最大項是第k項，則k＝________. 答案　4 解析　設最大項為第k項，則有 ∴?故k＝4. 7．數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝ (n∈N*，n≥3)，則a2 017＝________. 答案　2 解析　因為a1＝2，a2＝3，所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝，a7＝＝2，a8＝＝3，…，所以數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列， 所以a2 017＝a3366＋1＝a1＝2. 8．已知數(shù)列{an}的首項為a1＝2，且an＋1＝(a1＋a2＋…＋an) (n∈N*)，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則Sn＝________，an＝________. 答案　2n－1　 解析　由an＋1＝(a1＋a2＋…＋an) (n∈N*)，可得an＋1＝Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝Sn，由此可知數(shù)列{Sn}是一個等比數(shù)列，其中首項S1＝a1＝2，公比為，所以Sn＝2n－1， 由此得an＝ 9．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并且a1，a2＋1，a3是公差為－3的等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝a2n，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，證明：Sn<. (1)解　設等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為a1，a2＋1，a3是公差為－3的等差數(shù)列， 所以 即解得a1＝8，q＝. 所以an＝a1qn－1＝8()n－1＝24－n. (2)證明　因為＝＝， 所以數(shù)列{bn}是以b1＝a2＝4為首項，為公比的等比數(shù)列． 所以Sn＝＝[1－()n]<. 10．(2015四川)設數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記數(shù)列的前n項和為Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值． 解　(1)由已知Sn＝2an－a1， 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)， 從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1. 又因為a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)， 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2， 所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， 故an＝2n. (2)由(1)可得＝， 所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－. 由|Tn－1|＜，得＜， 即2n＞1 000， 因為29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10， 于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值為10. B組　能力提高 11．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21＝S4 000，O為坐標原點，點P(1，an)，Q(2 011，a2 011)，則等于(　　) A．2 011 B．－2 011 C．0 D．1 答案　A 解析　由S21＝S4 000得a22＋a23＋…＋a4 000＝0， 由于a22＋a4 000＝a23＋a3 999＝…＝2a2 011， 所以a22＋a23＋…＋a4 000＝3 979a2 011＝0， 從而a2 011＝0，而＝2 011＋a2 011an＝2 011. 12．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. 答案　50 解析　∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a10a11＋a9a12＝2e5，∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5， ∴l(xiāng)n a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20) ＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50. 13．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝ (n∈N*)，則b2 015＝________. 答案　 解析　∵an＋bn＝1，且bn＋1＝， ∴bn＋1＝，∵a1＝，且a1＋b1＝1， ∴b1＝，∵bn＋1＝，∴－＝－1. 又∵b1＝，∴＝－2. ∴數(shù)列是以－2為首項，－1為公差的等差數(shù)列，∴＝－n－1，∴bn＝. 則b2 015＝. 14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且(a－1)Sn＝a(an－1)(a＞0)(n∈N*)． (1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x}，問是否存在實數(shù)a，使得對于任意的n∈N*，都有Sn∈A？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由． 解　(1)當n＝1時，∵(a－1)S1＝a(a1－1)， ∴a1＝a(a＞0)． 當n≥2時，由(a－1)Sn＝a(an－1)，① 得(a－1)Sn－1＝a(an－1－1)．② ①－②，得(a－1)an＝a(an－an－1)， 整理得＝a(n≥2)， 故{an}是首項為a，公比為a的等比數(shù)列，∴an＝an. (2)①當a＝1時，A＝{1}，Sn＝n，只有n＝1時， Sn∈A，∴a＝1不符合題意． ②當a＞1時，A＝{x|1≤x≤a}，S2＝a＋a2，∴S2?A.即當a＞1時，不存在滿足條件的實數(shù)a. ③當0＜a＜1時，A＝{x|a≤x≤1}． 而Sn＝a＋a2＋…＋an＝(1－an)∈[a，)， 因此對任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需 解得0＜a≤.綜上得實數(shù)a的取值范圍是(0，]．