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專題10.4 圓錐曲線的綜合應用
【三年高考】
1. 【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m
1 D．m>0）的左.右焦點分別為，，離心率為：雙曲線：的左.右焦點分別為，，離心率為.已知=，且.
（Ⅰ）求.的的方程；
（Ⅱ）過做的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點，當直線OM與交于P，Q兩點時，求四邊形APBQ面積的最小值
(2)由(1)可得,因為直線不垂直于軸,所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,則,則,因為在直線上,所以,因為為焦點弦,所以根據(jù)焦點弦弦長公式可得,則直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線可得,則,所以的坐標為,則點到直線的距離為,,因為點在直線的兩端所以,則四邊形面積,因為,所以當時, 四邊形面積取得最小值為.
【三年高考命題回顧】
縱觀前三年各地高考試題, 由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題，主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系是考查的重點和熱點，考查的知識點多，能力要求高，尤其是運算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目.
【2017年高考復習建議與高考命題預測】
由前三年的高考命題形式,橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)綜合問題是高考考試的重點，每年必考，一般是兩小一大的布局，試題難度往往是有一道基礎(chǔ)題，另一道是提高題，難度中等以上，有時作為把關(guān)題．考查方面離心率是重點，其它利用性質(zhì)求圓錐曲線方程，求焦點三角形的周長與面積，求弦長，求圓錐曲線中的最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等．從近三年的高考試題來看，小題中雙曲線的定義、標準方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點，題型大多為選擇題、填空題，難度為中等偏低，主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，考查基本運算能力及等價轉(zhuǎn)化思想，而橢圓、拋物線的性質(zhì)一般，一道小題，一道解答題，難度中等，有時作為把關(guān)題存在，而且三大曲線幾乎年年都考，故預測2017求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系仍是考查的重點和熱點，考查的知識點仍然較多，能力要求高，尤其是運算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，仍是高考中區(qū)分度較大的題目，在備考時，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐曲線問題的常見題型與解法，加大練習力度，提高運算能力和綜合運用知識分析解決問題能力，要特別關(guān)注與向量、導數(shù)等知識的結(jié)合，關(guān)注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學思想在解題中的應用．
【2017年高考考點定位】
高考對圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線間的知識運用；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，這是高考中考查的重點和難點，主要涉及的題型為中點弦問題、最值與取值范圍問題、定點與定值問題、探索性問題，從涉及的知識上講，常與平面向量、函數(shù)與導數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)系，考查知識點多，運算量大，能力要求高，難度大是這種題型的一大特征.
【考點1】求軌跡方程
【備考知識梳理】
1．曲線與方程
在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：
(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；
(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上．那么，這個方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個方程的曲線.
2．直接法求動點的軌跡方程的一般步驟
(1)建系——建立適當?shù)淖鴺讼担?
(2)設(shè)點——設(shè)軌跡上的任一點P(x，y)．
(3)列式——列出動點P所滿足的關(guān)系式．
(4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡．
(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程．
【規(guī)律方法技巧】
1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法；另一類是不知曲線類型常用的方法有：
(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0；
(2)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；
(3)代入法(相關(guān)點法)：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；
(4)參數(shù)法：當動點P(x，y)坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程．
2. 求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等
【考點針對訓練】
1. 【2016江省衢州市高三4月教學質(zhì)量檢測】設(shè)點是曲線上任意一點，其坐標均滿足，則取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 【2016江西省高安中學高三命題中心押題】在平面直角坐標系中，兩點的坐標分別為、，動點滿足:直線與直線的斜率之積為．
（1）求動點的軌跡方程；
（2）設(shè)為動點的軌跡的左右頂點，為直線上的一動點（點不在x軸上），連[交的軌跡于點，連并延長交的軌跡于點，試問直線是否過定點？若成立，請求出該定點坐標，若不成立，請說明理由．
【解析】（1）已知，設(shè)動點的坐標，所以直線的斜率，直線的斜率（），又，所以，即．
（2）設(shè)，又，則，故直線的方程為：，代入橢圓方程并整理得：。由韋達定理：即，，同理可解得：
故直線的方程為，即，故直線恒過定點．
【考點2】圓錐曲線間的綜合
【備考知識梳理】
1.要熟記橢圓的定義、標準方程與幾何性質(zhì).
2.要熟練掌握雙曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì).
3.要熟練掌握拋物線的定義、標準方程與幾何性質(zhì).
【規(guī)律方法技巧】
1. 解圓錐曲線間的綜合問題時，要結(jié)合圖像進行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關(guān)系，實現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化.
2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、簡單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【考點針對訓練】
1. 【2016江西省高安中學高三命題中心模擬】已知拋物線的焦點與雙曲線的一焦點重合，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
2. 【2016屆寧夏六盤山高中高三四?！繖E圓的右焦點為，雙曲線的一條漸近線與橢圓交于兩點，且，則橢圓的離心率為 _____.
【答案】
【考點3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問題
【備考知識梳理】
1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程.
(1) 若≠0，當△＞0時，直線與圓錐曲線有兩個交點.
當△=0時，直線與圓錐曲線有且只有一個公共點，此時直線與雙曲線相切.
當△＜0時，直線與圓錐曲線無公共點.
（2）當=0時，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有一個交點，此時直線與雙曲線的漸近線平行；若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線的對稱軸平行.
（3）設(shè)直線與圓錐曲線的交點A（，），B（，），則，.
2. 直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝.
【規(guī)律方法技巧】
1.在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，常用設(shè)而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立，消去（或）化為關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出直線與圓錐曲線的交點坐標，則交點的橫（縱）坐標即為上述一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關(guān)系，將，表示出來，注意判別式大于零不能丟，然后根據(jù)問題，再通過配湊將其化為關(guān)于與的式子，將，代入再用有關(guān)方法取處理，注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題.
2.再處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題時，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設(shè)為，避免分類討論.
3.定點與定值問題處理方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定點（定值），再證明這個定點（定值）與變量無關(guān).
(2)直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點（定值）.
4.最值問題常見解法有兩種：
（1）幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等.
(2)代數(shù)法：利用相關(guān)知識和方法結(jié)合題中的條件，建立目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式或?qū)?shù)知識求出這個函數(shù)的最值.
5.參數(shù)范圍問題常見解法有兩種：
（1）不等式法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)滿足的不等式（組），通過解不等式（組）解出參數(shù)的范圍，注意判別式大于0不能遺漏.
(2)函數(shù)最值法：利用題中條件和相關(guān)知識，將所討論參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論這個函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍.
6.對探索性問題，先假設(shè)存在，依此為基礎(chǔ)推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在.
7. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的中點弦問題常用點差法和參數(shù)法.
【考點針對訓練】
1.【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知橢圓過點，離心率為，點分別為其左右焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若上存在兩個點，橢圓上有兩個點滿足三點共線，三點共線，且，求四邊形面積的最小值．
2.【2016年河南八市重點高中聯(lián)考】已知橢圓的右焦點為，過作互相垂直的兩條直線分別與相交于和四點.
（1）四邊形能否成為平行四邊形，請說明理由；
（2）求的最小值.
【解析】設(shè)點
(Ⅰ)若四邊形為平行四邊形，則四邊形為菱形，∴與在點處互相平分，又F的坐標為,由橢圓的對稱性知垂直于軸，則垂直于軸，顯然這時不是平行四邊形．∴四邊形不可能成為平行四邊形.
【應試技巧點撥】
１．求圓錐曲線方程的方法
求曲線方程的常見方法：
(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程
(2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求
(3)相關(guān)點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進行求解根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程
(4)參數(shù)法：若動點的坐標()中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程.
注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.
(5)待定系數(shù)法：①頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設(shè)為或()，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時不具有的幾何意義．
②中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，橢圓方程可設(shè)為 ()，雙曲線方程可設(shè)為 ()．這樣可以避免繁瑣的計算．
利用以上設(shè)法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質(zhì)求出參數(shù)，即得方程．
2．最值或范圍問題的解決方法
解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：
(1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；
(2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；
(4)利用判別式求最值；
(5)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值．
3．求定值問題的方法
定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題．
4． 有關(guān)弦的問題
(1)有關(guān)弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算．
①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形：
，.
②當斜率不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)．
(2)弦的中點問題
有關(guān)弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運算．
5.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ).因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求.
6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟：
(1)設(shè)方程及點的坐標；
(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零)；
(3)應用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式；
(4)結(jié)合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解
7.解析幾何解題的基本方法
解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應用問題的解題關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.
8.避免繁復運算的基本方法
可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標系下運算復雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標系下運算復雜的問題，在極坐標系下可能會簡單“所謂尋求”.
9. 解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：
（1）給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交,等于已知過的中點;
（3）給出,等于已知是的中點;
（4）給出,等于已知與的中點三點共線;
（5） 給出以下情形之一：①；②存在實數(shù)；③若存在實數(shù),等于已知三點共線；
（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即；
（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角；
（8）給出,等于已知是的平分線；
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；
（12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；
（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；
（16）在中，給出,等于已知是中邊的中線.
10．定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．
11．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理.
二年模擬
1. 【山西省榆林市高三第二次模擬】已知拋物線的準線與雙曲線交于、兩點，點為拋物線的焦點，若為直角三角形，則雙曲線離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得：而，選C.
2. 【2016年山西四校高三第三次聯(lián)考】已知雙曲線的左、右兩個焦點分別為為其左、右頂點，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且,則雙曲線的離心率
為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 【2016年山西省四校高三聯(lián)考】已知雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研考試】已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點，若，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因為，所以，所以，，則橢圓方程＝1變?yōu)椋O(shè)，又＝3，所以，所以，即．因為在橢圓上，所以 ①，
②． 由①－9②，得，所以，所以，所以，，從而，，所以，，故，故選B．
5. 【2016屆安徽六安一中高三下學期第三次模擬】如圖所示，橢圓的左，右頂點分別為，線段是垂直于橢圓長軸的弦，連接相交于點，則點的軌跡方程為____________．
【答案】
6.【2016屆天津市和平區(qū)高三第四次模擬】已知雙曲線的漸近線上的一點到其右焦點的距離等于2，拋物線過點，則該拋物線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7. 【2016屆湖北省黃岡中學高三5月一?！恳阎c是拋物線與圓在第一象限的公共點，且點到拋物線焦點的距離等于，若拋物線上一動點到其準線與到點的距離之和的最小值為，為坐標原點，則直線被圓所截得的弦長為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因圓的圓心為,半徑為,由題意,又動點到準線的距離與動點到的距離之和即為動點到焦點與動點到的距離之和.若這兩個距離之和最小為,當且僅當這三點共線且為的中點時最小.因,由此可得,代入可得,則很容易用拋物線的定義求得,這時,故,圓心到的距離為,故弦長,應選C.
8. 【2016屆廣西柳州市高三下4月模擬理】在平面直角坐標系中，動點到點的距離與它到直線的距離之比為.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于兩點，與軸、軸分別交于兩點（且
在之間或同時在之外）. 問：是否存在定值，對于滿足條件的任意實數(shù)，都有的面積與的面積相等，若存在，求的值；若不存在，說明理由.
9. 【2016屆陜西省安康市高三第三次聯(lián)考理】如圖, 在平面直角坐標系中, 拋物線的準線與軸交于點,過點的直線與拋物線交于兩點, 設(shè)到準線的距離.
（1）若,求拋物線的標準方程；
（2）若,求證：直線的斜率的平方為定值.
【解析】（1）,設(shè)拋物線的焦點為,,即軸,, 即,得,所以拋物線的方程為.
10.【2016屆山東省臨沂十八中高三三模理】已知已知點是直線上的動點，過作直線，，點，線段的垂直平分線與交于點．
（Ⅰ）求點的軌跡的方程；
（Ⅱ）若點，是直線上兩個不同的點，且的內(nèi)切圓方程為，直線的斜率為，若，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）依題意，點到點的距離等于它到直線的距離，點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線．曲線的方程為．
（Ⅱ）設(shè)點，點，點，直線方程為：，化簡，得．的內(nèi)切圓方程為，圓心到直線的距離為，即．故．易知，上式化簡得，．同理，有,，是關(guān)于的方程的兩根．，． ．，，．直線的斜率，則．．函數(shù)在上單調(diào)遞增，．．．．
11.【2015屆陜西省西安市第一中學高三下學期自主命題二】已知拋物線y2＝8x的焦點F到雙曲線C：漸近線的距離為，點P是拋物線y2 ＝8x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F1（0，c）的距離與到直線x=-2 的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為
A． B． C． D．
【答案】C
12.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】已知直線與拋物線交于A，B兩點，點P為直線l上一動點，M，N是拋物線C上兩個動點，若，， 則△PMN的面積的最大值為 .
【答案】
【解析】由題意知：當直線過原點時，的面積最大，所以直線的方程是，點到直線的距離，由得：或，所以，所以，所以的面積的最大值是，所以答案應填：．
13.【2015屆吉林省東北師大附中高三第四次模擬】我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知是一對相關(guān)曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
14.【2015屆浙江省桐鄉(xiāng)一中高三下學期聯(lián)盟學校高考仿真測試】已知橢圓 的右焦點為，離心率為．設(shè)A，B為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，的中點為M，的中點為N，原點在以線段為直徑的圓上．設(shè)直線AB的斜率為k，若，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，，代入得：，，，那么，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得：，，代入整理得：，解得，，解得，所以，，所以離心率．
15.【2015屆遼寧省師大附中高三模擬】已知拋物線上一點到其焦點的距離為4；橢圓的離心率，且過拋物線的焦點．
（1）求拋物線和橢圓的標準方程；
（2）過點的直線交拋物線于、兩不同點，交軸于點，已知，求證：為定值．
（3）直線交橢圓于，兩不同點，，在軸的射影分別為，，，若點S滿足：，證明：點S在橢圓上．
（Ⅱ）直線的斜率必存在，設(shè)為，設(shè)直線與橢圓交于，則直線的方程為， ，聯(lián)立方程組: 所以，，所以 （*） 由得: 得: ，所以
將（*）代入上式，得
拓展試題以及解析
1. 已知橢圓的離心率，半焦距為，拋物線的準線方程為，則橢圓的標準方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ∵拋物線的準線方程為，∴，即，∵，∴，∴.∴，∴橢圓的標準方程為，選B.
【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是橢圓與 拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學科內(nèi)綜合,故選此題.
2.已知雙曲線一焦點與拋物線的焦點F相同，若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為1，P為雙曲線左支上一動點，Q（1,3），則|PF|+|PQ|的最小值為 （ ）
A. B. C.4 D.
【答案】D
【入選理由】本題主要考查雙曲線的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,本題是雙曲線與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學科內(nèi)綜合,故選此題.
3．已知拋物線C的頂點為原點，對稱軸為x軸，與橢圓交于M，N兩點，M，N兩點關(guān)于x軸對稱，其中M（1,2），過拋物線C焦點的直線與交于在軸上方）兩點，且．則的面積為（ ）
A. B. C. D.3
【答案】A
【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)，三角形面積，解直角三角形等基礎(chǔ)知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是橢圓與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學科內(nèi)綜合,故選此題.
4.已知橢圓C的一焦點與的焦點重合，點在橢圓C上．直線過點，且與橢圓C交于，兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點滿足,點為坐標原點，延長線段與橢圓C交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時直線的方程，若不能，說明理由．
【解析】（1）拋物線的焦點為，故得，解得.
所以橢圓的方程為
（2）四邊形能為平行四邊形，點M為線段AB的中點．
法一：（1）當直線與軸垂直時，直線的方程為滿足題意；（2）當直線與軸不垂直時，設(shè)直線，顯然.，，．將代入得，
故，．于是直線的斜率，即．由直線，過點，得，因此．的方程為．設(shè)點的橫坐標為．由得，即．四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分，即．于是．由，得滿足所以直線的方程為時，四邊形為平行四邊形．綜上所述：直線的方程為或 .
【入選理由】本題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)，拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，探索性命題等基礎(chǔ)知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.
5.已知雙曲線:的漸近線方程為，拋物線的頂點為坐標原點，焦
點在軸上，點為雙曲線與拋物線的一個公共點.
（Ⅰ）求雙曲線與拋物線的方程；
(Ⅱ) 過拋物線的焦點作兩條相互垂直的直線，，與拋物線分別交于點、，、.
(ⅰ)若直線與直線的傾斜角互補（點，不同于點），求直線的斜率；
(ⅱ)是否存在常數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明
理由.
6.已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且．已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且離心率為．
(Ⅰ)求拋物線和橢圓的標準方程；
(Ⅱ)若橢圓的長軸的兩端點為，，點為橢圓上異于，的動點，定直線與直線，分別交于，兩點.請問以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點，若存在，求出定點坐標；若不存在，請說明理由.
【解析】(Ⅰ)設(shè)，代入，得，∴.又，即，∴． ∴拋物線的標準方程為．在橢圓中，，，∴，．∴橢圓的標準方程為．
(Ⅱ)如圖，設(shè)，的斜率分別為，，，則，.∴ ，由：，知，由：，知，∴的中點，∴以為直徑的圓的方程為： .令得，，
∴，∴，即，解得或，
∴存在定點，在以為直徑的圓上.
【入選理由】本題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)，拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的方程等基礎(chǔ)知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.
7.已知是橢圓左右焦點，過的直線交橢圓于兩點，△的周長為8，橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于且，求證原點到直線的距離為定值．
（Ⅱ）當存在時，設(shè)， ，【入選理由】本題主要考查橢圓的定義，標準方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.
8．已知橢圓：的一個焦點與拋物線的焦點相同，為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設(shè)不過原點的直線：與橢圓交于兩點
①若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；
②若直線的斜率是直線斜率的等比中項，求面積的取值范圍.
【解析】（1）由拋物線的方程為得其焦點坐標為，所以可得橢圓中， 當點位于橢圓的短軸端點時的面積最大，此時，所以，又由得，所以橢圓的標準方程為.
【入選理由】本題主要考查橢圓的標準方程，拋物線的方程，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積，等比中項等基礎(chǔ)知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.
高考數(shù)學（精講+精練+精析）專題10_4 圓錐曲線的綜合應用試題 理（含解析）
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