《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第10講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第10講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習(xí) 理（含解析）新人教A版（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第10講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p22】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．了解指數(shù)冪的含義、掌握冪的運(yùn)算． 2．理解指數(shù)函數(shù)的概念、理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與其圖象特征并能靈活應(yīng)用． 3．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1.的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】化簡(jiǎn)式子得＝＝＝. 【答案】A 2．已知a>0，化簡(jiǎn)aaa＝________． 【解析】aaa＝a＝a1＝a. 【答案】a 3．1.52.3與1.53.2的大小關(guān)系是1.52.3________1.53.2(用“<”或“>”表示)． 【解析】∵函數(shù)y＝1.5x＝在R上單調(diào)遞增，且2

2、.3<3.2，∴1.52.3<1.53.2. 【答案】< 4．若f(x)＝(2a－1)x是增函數(shù)，那么a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＜ B.＜a＜1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)≥1 【解析】由題意2a－1>1，所以a>1. 【答案】C 5．已知函數(shù)f(x)＝ax－1＋4的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　) A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0) 【解析】函數(shù)f(x)＝ax－1＋4的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P.即這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)不隨a的改變而改變，只需要讓a不起作用即可，令x－1＝0?x＝1，此時(shí)y＝5，故圖象恒過(guò)(1，5)． 【答案】A 【知識(shí)要點(diǎn)】

3、1．根式 (1)概念：如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的n次方根，即若xn＝a(n>1，n∈N*)，則x＝____．式子叫做__根式__，n叫__根指數(shù)__，a叫__被開(kāi)方數(shù)__． (2)根式的性質(zhì)： ①a的n(n>1，n∈N*)次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有一個(gè)n次方根為_(kāi)___；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若a>0，有兩個(gè)互為相反數(shù)的n次方根為_(kāi)_±__，若a＝0，其n次方根為_(kāi)_0__，若a<0，則無(wú)實(shí)數(shù)根． ②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝__a__； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝____． 2．指數(shù)冪的概念 (1)正整數(shù)指數(shù)冪：an＝__a·a·…·an個(gè)a　(n∈N*)．

4、 (2)零指數(shù)冪：a0＝__1__(a≠0)． (3)負(fù)指數(shù)冪：a－b＝____(a≠0)． (4)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝____(a>0，m，n∈N*，n>1)． (5)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 3．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(注意逆用) (1)ar·as＝__ar＋s__(r，s∈Q，a>0)． (2)ar÷as＝__ar－s__(r，s∈Q，a>0)． (3)(ar)s＝__ar·s__(r，s∈Q，a>0)． (4)(ab)r＝__ar·br__(r∈Q，a>0，b>0)． 4．指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì) 定義 形如y＝ax(a>0且a≠1)

5、的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù) 圖象 性質(zhì) (1)定義域：__R__ (2)值域：__(0，＋∞)__ (3)過(guò)點(diǎn)__(0，1)__，即x＝0時(shí)，y＝1 (4)在R上是__增函數(shù)__ 在R上是__減函數(shù)__ (5)x>0時(shí)，__y>1__ x<0時(shí)，__00時(shí)，__01__ 典 例 剖 析　【p22】 考點(diǎn)1　指數(shù)冪的運(yùn)算 求值與化簡(jiǎn)： (1)÷； (2)(1.5)－2＋(－9.6)0－＋＋； (3)(a>0，b>0)． 【解析】(1)原式＝ab＝4a；

6、 (2)原式＝＋1－＋4－π＋π－2＝＋1－＋2＝3. (3)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1＝. 【點(diǎn)評(píng)】指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則： (1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算． (2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)． (4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)． 考點(diǎn)2　指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 (1)若0

7、四象限 D．第二、三、四象限 【解析】因?yàn)?，∴b， ∴a>c，∴b

8、析】設(shè)A(n，2n)，B(m，2m)，則C，因?yàn)锳C平行于y軸，所以n＝，所以A，B(m，2m)，又因?yàn)锳，B，O三點(diǎn)共線，所以kOA＝kOB，所以＝，即n＝m－1，又由n＝，解得n＝1，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)． 【答案】(1，2) (4)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)y＝x2與y＝ax(a>0)的圖象有交點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】當(dāng)a>1時(shí)，如圖①所示，使得兩個(gè)函數(shù)圖象在[1，2]上有交點(diǎn)，需滿足·22≥a2，即1

9、，滿足條件．綜上可知，a∈. 【答案】B 考點(diǎn)3　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)． (1)若f(1)＋f(－1)＝，求f(2)＋f(－2)的值； (2)若函數(shù)f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的差為，求實(shí)數(shù)a的值． 【解析】(1)∵f(x)＝ax，f(1)＋f(－1)＝， ∴f(1)＋f(－1)＝a＋＝，解得a＝2或. 當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2x，f(2)＋f(－2)＝22＋2－2＝； 當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝，f(2)＋f(－2)＝＋＝， 故f(2)＋f(－2)＝. (2)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝ax在[－1，1]上單調(diào)遞增， ∴f(x

10、)max－f(x)min＝f(1)－f(－1)＝a－a－1＝，化簡(jiǎn)得3a2－8a－3＝0， 解得a＝－(舍去)或a＝3. 當(dāng)00，a≠1，b∈R)的圖象如圖所示，則a＋b的取值范圍是________． 【解析】因?yàn)楦鶕?jù)圖象得a>1，f＝0，b<0， 所以＋b＝0，∴a＋b＝a－>1－＝0. 【答案】(0，＋∞) (2)若函數(shù)f

11、(x)＝ax2－2x＋1在(1，3)上是減函數(shù)，則關(guān)于x的不等式ax>1的解集為(　　) A. B．{x|x<1} C. D．{x|x<0} 【解析】因?yàn)閒(x)＝ax2－2x＋1在(1，3)上是減函數(shù)，且t＝x2－2x＋1在(1，3)上是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝at在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，所以01得x<0. 【答案】D (3)對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下結(jié)論： ①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)； ②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)； ③>0； ④f<. 當(dāng)f(x)＝2x時(shí)，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為(

12、　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】當(dāng)f(x)＝2x時(shí)， ①f(x1＋x2)＝2x1＋x2＝2x1·2x2＝f(x1)·f(x2)，①正確； 由①可知②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)不正確； ③>0，說(shuō)明函數(shù)f(x)是增函數(shù)，而f(x)＝2x是增函數(shù)，所以③正確； ④f<，說(shuō)明函數(shù)是凹函數(shù)，而f(x)＝2x是凹函數(shù)，所以④正確． 【答案】A (4)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(　　) A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2

13、a＋2c<2 【解析】作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象如圖中實(shí)線所示， ∵af(c)>f(b)， 結(jié)合圖象知a<0，0f(c)，即1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2. 【答案】D 【點(diǎn)評(píng)】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題解題策略： (1)比較大小問(wèn)題．常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)法． (2)簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的求解問(wèn)題．解決此類問(wèn)題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)

14、行分類討論． (3)解決指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題時(shí)，要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性、周期性)相結(jié)合，同時(shí)要特別注意底數(shù)不確定時(shí)，對(duì)底數(shù)的分類討論． 方 法 總 結(jié)　　【p23】 1．指數(shù)的乘、除運(yùn)算一般要求在同底數(shù)狀態(tài)下進(jìn)行，所以在進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算時(shí)，先將指數(shù)式化為同底數(shù)． 2．解指數(shù)不等式，一般將不等式兩邊化為同底數(shù)的指數(shù)形式，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式求解． 3．當(dāng)?shù)讛?shù)中出現(xiàn)參數(shù)時(shí)，要注意對(duì)底數(shù)的取值范圍加以討論． 4．凡涉及到圖象問(wèn)題，可畫(huà)出草圖，利用數(shù)形結(jié)合求解，往往快捷準(zhǔn)確，特別是對(duì)解填空、選擇題有效． 5．比較兩個(gè)冪值的大小是一種常見(jiàn)的題型，解決這類問(wèn)題，

15、首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，可利用單調(diào)性，如果底數(shù)不同，指數(shù)相同，可利用圖象(見(jiàn)下表)；如果指數(shù)、底數(shù)都不同，可引入中間量. 底的關(guān)系 a>b>1 1>a>b>0 圖象 底大于1時(shí)底大者靠近坐標(biāo)軸 底小于1時(shí)底小者靠近坐標(biāo)軸 6.(1)解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性或值域問(wèn)題時(shí)，要熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，利用換元法轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性或值域問(wèn)題；(2)換元過(guò)程中要注意“元”的取值范圍的變化． 走 進(jìn) 高 考　　【p23】 1．(2017·北京)已知函數(shù)f(x)＝3x－，則f(x)(　　) A．是奇函

16、數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 【解析】f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且3x是增函數(shù)，是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)． 【答案】A 2．(2016·天津)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是________． 【解析】由題意f(x)在(0，＋∞)上遞減，又f(x)是偶函數(shù)，則不等式f(2|a－1|)>f(－)化為f(2|a－1|)>f()，則2|a－1|

17、<，故|a－1|<，解得c>b B．c>a>b C．a(chǎn)>b>c D．b>a>c 【解析】因?yàn)閍＝22.5>1，b＝2.50＝1，c＝<1，所以a>b>c. 【答案】C 2．函數(shù)f(x)＝e1－x2的部分圖象大致是(　　) 【解析】由f(x)＝e1－x2為偶函數(shù)，所以排除A，B，又f(x)＝e1－x2>0，故選C. 【答案】C 3．函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞

18、，－1) D．(－∞，1) 【解析】設(shè)t＝x2－2x＋1，則函數(shù)y＝為減函數(shù)， 根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系知， 要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間， 即求函數(shù)t＝x2－2x＋1的遞減區(qū)間， t＝x2－2x＋1的對(duì)稱軸為x＝1，遞減區(qū)間為(－∞，1)， 則函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，1)． 【答案】D 4．已知0(1－a)b B．(1－a)b>(1－a) C．(1＋a)a>(1＋b)b D．(1－a)a>(1－b)b 【解析】因?yàn)?b

19、，b>， 所以(1－a)<(1－a)b，(1－a)b<(1－a)， 所以A，B兩項(xiàng)均錯(cuò)； 又1<1＋a<1＋b，所以(1＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b， 所以C錯(cuò)； 對(duì)于D，(1－a)a>(1－a)b>(1－b)b， 所以(1－a)a>(1－b)b，故選D. 【答案】D 5．不等式<2－2x的解集是________． 【解析】原不等式可以化為23－x2<2－2x，所以x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3， 所以不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞) 6．化簡(jiǎn)4ab－÷的結(jié)果為_(kāi)_______． 【解析】原式＝4·a

20、－b－－＝－6ab－1＝－. 【答案】－ 7．若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________． 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以1－4m>0，即m<， 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在區(qū)間[－1，2]上的最大值為4，最小值為m， 當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax為增函數(shù)， 所以a－1＝m，a2＝4，解得a＝2，m＝>(舍去)； 當(dāng)0

21、綜上所述，實(shí)數(shù)a＝. 【答案】 8．已知函數(shù)f(x)＝a2x＋1，g(x)＝，其中a>0，且a≠1. (1)若00，得x>－. (2)f(x)≥g(x)?a2x＋1≥＝a2－5x， 當(dāng)01時(shí)，2x＋1≥2－5x?x≥. 故當(dāng)01時(shí)，解集為. B組題 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a>1且a≠2)在區(qū)間(0，＋

22、∞)具有不同的單調(diào)性，則M＝(a－1)0.2與N＝的大小關(guān)系是(　　) A．M＝N B．M≤N C．MN 【解析】由題意，因?yàn)閒(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a>1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)具有不同的單調(diào)性， 則a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1， 所以M>N. 【答案】D 2．已知函數(shù)f(x)＝的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，若函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間[1，2]上同時(shí)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B．[2，4] C.∪[4，＋∞) D．[4，＋∞) 【解析】y＝g(x)＝|2－x－m|，即

23、y＝g(x)＝ ，由兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間[1，2]上同時(shí)單調(diào)遞增，可知m>0，f(x)＝|2x－m|與g(x)＝ 的圖象如圖所示，易知解得≤m≤2. 【答案】A 3．已知函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)?0，＋∞)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________． 【解析】若a>1，當(dāng)x≤7時(shí)，(a－1)x＋4>0不恒成立，不合題意； 若a＝1，則f(x)的值域?yàn)閧1，4}，不合題意； 若0

24、[0，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (3)若a＝1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使m[f(2x)＋2]≥f(x)＋1在R上恒成立． 【解析】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex＋e－x，定義域(－∞，＋∞)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 而f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)． (2)在[0，＋∞)上任取x1、x2，且x10恒成立， 即a