《（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 第8講 離散型隨機變量的均值與方差練習（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 第8講 離散型隨機變量的均值與方差練習（含解析）（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講 離散型隨機變量的均值與方差 [基礎達標] 1．若隨機變量X的分布列為，其中C為常數(shù)，則下列結論正確的是(　　) X C P 1 A．E(X)＝D(X)＝0 B．E(X)＝C，D(X)＝0 C．E(X)＝0，D(X)＝C D．E(X)＝D(X)＝C 解析：選B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故選B. 2．(2019·稽陽市聯(lián)誼學校高三聯(lián)考)隨機變量ξ的分布列如下，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為(　　) ξ 1 2 3 P a b c A.0 B．1 C．2 D．無法確定，與a，b有關 解析：

2、選B.因為E(ξ)＝2，則a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，聯(lián)立兩式可得a＝c，2a＋b＝1，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1. 3．(2018·高考浙江卷)設0

3、)等于(　　) A．5 B．8 C．10 D．16 解析：選B.因為E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， 所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 5．設擲1枚骰子的點數(shù)為ξ，則(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 解析：選B.隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 從而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5， D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)

4、2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝. 6．如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(　　) A． B． C． D． 解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 7．(2019·嘉興市一中高考適應性考試)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P

5、 p A.2 B．3 C．4 D．5 解析：選C.由題意可得：＋p＋＝1，解得p＝，因為E(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故選C. 8．(2019·嘉興質檢)簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數(shù)學期望為(　　) A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由數(shù)學期望

6、的定義可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25. 9．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為(　　) A． B． C． D． 解析：選B.因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則X～B，所以D(X)＝4××＝. 10．已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1，2)個球放入甲盒中． (1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i＝1，2)； (2

7、)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)，則(　　) A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p10，所以p1>p2. 11．某射擊運動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：

8、 ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，則y的值為____________． 解析：由題意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，兩式聯(lián)立解得y＝0.2. 答案：0.2 12．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，則a的值為__________． 解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，所以a＝2. 答案：2 13．設口袋中有黑球、白球共9個．從中任取2個球，若

9、取到白球個數(shù)的數(shù)學期望為，則口袋中白球的個數(shù)為________． 解析：設白球有m個，則取得白球的數(shù)學期望是×0＋×1＋×2＝， 即＋×2＝， 解得m＝3. 答案：3 14．隨機變量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列．若E(ξ)＝，則D(ξ)的值是________． 解析：由題意可得 解得 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝. 答案： 15．已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －1 0 1 P 那么ξ的數(shù)學期望E(ξ)＝________，設η＝2ξ＋1，則η的數(shù)學期望E(η)＝________．

10、 解析：由離散型隨機變量的期望公式及性質可得， E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－， E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×＋1＝. 答案：－　 16．(2019·浙江新高考沖刺卷)某中學的十佳校園歌手有6名男同學，4名女同學，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班，現(xiàn)從10名同學中隨機選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學來自不同班級的概率為________，設X為選出3名同學中女同學的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學期望為________． 解析：設“選出的3名同學是來自互不相同班級”為事件A，則P(A)＝＝. 隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝k)＝

11、(k＝0，1，2，3)． 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝. 答案：　 17．從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有________種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝________． 解析：①從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC＝48. ②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0＋1×＋2×＝

12、. 答案：48　 [能力提升] 1．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝

13、a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2， 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， 所以或 2．設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 解：(1)由題意得ξ＝

14、2，3，4，5，6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以Eη＝＋＋＝， Dη＝(1－)2·＋(2－)2·＋(3－)2·＝， 化簡得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2. (1)求C1，C2有交點的概率P(A)； (2)求交點個數(shù)的數(shù)學期望E(ξ)．

15、 解：(1)設圓心(0，0)到直線ax－y＋b＝0的距離為d，若C1，C2有交點，則d＝≤?b2≤2(a2＋1)． 當b＝1時，a＝1，2，3，4，5；當b＝2時，a＝1，2，3，4，5；當b＝3時，a＝2，3，4，5；當b＝4時，a＝3，4，5；當b＝5時，a＝4，5.共5＋5＋4＋3＋2＝19種情況， 所以P(A)＝＝. (2)當交點個數(shù)為0時，直線與圓相離，有6種情況； 當交點個數(shù)為1時，直線與圓相切，b2＝2(a2＋1)，只有a＝1，b＝2這1種情況； 當交點個數(shù)為2時，由(1)知直線與圓相交，有18種情況． 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4．(2019·溫州八校

16、聯(lián)考)某公司準備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設中，現(xiàn)有甲、乙兩個建設項目供選擇．若投資甲項目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如下表所示： ξ1 110 120 170 P m 0.4 n 且ξ1的期望E(ξ1)＝120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項目建設材料的成本有關，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進行產(chǎn)品的價格調整，兩次調整相互獨立且調整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p .若乙項目產(chǎn)品價格一年內調整次數(shù)X(次)與ξ2的關系如下表所示： X 0 1 2 ξ2 41.2 117.6

17、204 (1)求m，n的值； (2)求ξ2的分布列； (3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，則選擇投資乙項目，求此時p的取值范圍． 解：(1)由題意得 解得m＝0.5，n＝0.1. (2)ξ2的可能取值為41.2，117.6，204， P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)， P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2， P(ξ2＝204)＝p(1－p)， 所以ξ2的分布列為 ξ2 41.2 117.6 204 P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p) (3)由(2)可得： E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6， 由E(ξ1)＜E(ξ2)， 得120＜－10p2＋10p＋117.6， 解得：0.4＜p＜0.6， 即當選擇投資乙項目時，p的取值范圍是(0.4，0.6)． 10