8、從而＋＝×3n－1an＝.
(2)由(1)可知bn＝.
Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋×＋n×，
＝1×＋2×＋3×＋…＋×＋n×，
兩式相減得
＝＋＋＋…＋－n×＝2－，
∴Tn＝4－，
∴λ<4－，
若n為偶數(shù)，則λ<4－，∴λ<3；
若n為奇數(shù)，則－λ<4－，∴－λ<2，∴λ>－2，
∴－2<λ<3.
考點(diǎn)3 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an，bn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上．
(1)若a1＝－2，點(diǎn)(a8，4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；
(2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，
9、b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
【解析】(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，
所以2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，
所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函數(shù)f(x)＝2x在點(diǎn)(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，
其在x軸上的截距為a2－.由題意有a2－＝2－，解得a2＝2.
所以d＝a2－a1＝1.從而an＝n，bn＝2n，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋，
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.
10、
所以，Tn＝.
【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列與函數(shù)的綜合的兩個(gè)方面
(1)以數(shù)列的特征量n，an，Sn等為坐標(biāo)的點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系；
(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題．
考點(diǎn)4 數(shù)列模型及應(yīng)用
《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，在其中有道“竹九問題”：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升．問中間二節(jié)欲均容各多少？”意思為：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量之和為4升，上四節(jié)容量之和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻(即每節(jié)容量成等差數(shù)列)．問每節(jié)容量各為多少？在這個(gè)問題中，中間一節(jié)的容量為( )
A.B.C.D.
【解析】由題設(shè)則d＝，
11、故由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a5＝a8－3d＝.
【答案】A
某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年底固定給股東們分紅500萬元．該企業(yè)2016年年底分紅后的資金為1 000萬元．
(1)求該企業(yè)2020年年底分紅后的資金；
(2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元．
【解析】設(shè)an為(2016＋n)年年底分紅后的資金，其中n∈N*，
則a1＝2×1 000－500＝1 500，
a2＝2×1 500－500＝2 500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．
∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，
即數(shù)列{an－500}是
12、首項(xiàng)為a1－500＝1 000，公比為2的等比數(shù)列．
∴an－500＝1 000×2n－1，
∴an＝1 000×2n－1＋500.
(1)a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，
∴該企業(yè)2020年年底分紅后的資金為8 500萬元．
(2)由an>32 500，即2n－1>32，得n>6，
∴該企業(yè)從2022年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元．
【點(diǎn)評(píng)】解數(shù)列應(yīng)用題的建模思路：
從實(shí)際出發(fā)，通過抽象概括建立數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型的解析，再返回實(shí)際中去，其思路框圖為：
方法總結(jié) 【p80】
1．?dāng)?shù)列模型應(yīng)用問題的求解策略
(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意．
13、
(2)依據(jù)問題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應(yīng)用通項(xiàng)公式、數(shù)列性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式求解，或通過探索、歸納、構(gòu)造遞推數(shù)列求解．
(3)驗(yàn)證、反思結(jié)果與實(shí)際是否相符．
2．?dāng)?shù)列綜合問題的求解程序
(1)數(shù)列與函數(shù)綜合問題或應(yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，或以函數(shù)為載體構(gòu)造數(shù)列，應(yīng)用數(shù)列理論求解．
(2)數(shù)列的幾何型綜合問題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后求解問題．
走進(jìn)高考 【p80】
1．(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中
14、的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A．1盞B．3盞 C．5盞D．9盞
【解析】設(shè)塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為x，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有：＝381，解得x＝3，即塔的頂層共有燈3盞．
【答案】B
2．(2017·山東)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1, 1)，P2(x2, 2)，…，Pn＋1(xn＋1, n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所
15、圍成的區(qū)域的面積T.
【解析】(1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q，由已知q>0，
因?yàn)樗詑＝2，x1＝1，
因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝2n－1.
(2)過P1，P2，P3，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Q3，…，Qn＋1，
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1.
記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn.
由題意bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，①
又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n
16、－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，②
①－②得
－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝＋－(2n＋1)×2n－1.
所以Tn＝.
考點(diǎn)集訓(xùn) 【p217】
A組題
1．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點(diǎn)是(b，c)，則ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
【解析】∵曲線的頂點(diǎn)是(1，2)，∴b＝1，c＝2，又∵a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc＝2.
【答案】B
2．某種細(xì)胞開始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，…
17、，按此規(guī)律進(jìn)行下去，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是( )
A．33個(gè)B．65個(gè)C．66個(gè)D．129個(gè)
【解析】設(shè)開始的細(xì)胞數(shù)和每小時(shí)后的細(xì)胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)量為{an}，則即＝2，∴數(shù)列{an－1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an－1＝1×2n－1，an＝2n－1＋1，故6小時(shí)后細(xì)胞的存活數(shù)是a7＝27－1＋1＝65.
【答案】B
3．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg
18、 2＝0.30)( )
A．2021年B．2020年
C．2019年D．2018年
【解析】設(shè)第n年開始超過200萬元，則130×>200，化為(n－2015)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，n－2 015>＝3.8，取n＝2 019，因此開始超過200萬元的年份是2019年．
【答案】C
4．已知函數(shù)f(x)＝cos x，x∈有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，且方程f(x)＝m有兩個(gè)不同的實(shí)根x3，x4，若把這四個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)m＝( )
A.B．－C.D．－
【解析】由題意可知：x1＝，x2＝，且x3，x4只能分布在x1，x2的中間或兩側(cè)，
若x
19、3，x4分布在x1，x2的中間，則公差d＝＝，
故x3，x4分別為、，此時(shí)可求得m＝cos ＝－；
若x3，x4分布在x1，x2的兩側(cè)，則公差d＝－＝π，
故x3，x4分別為－、，不合題意．
【答案】D
5. 《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，問最大的一份為__________．
【解析】設(shè)每人所得面包數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an} ，公差d<0.由題意得即解得a1＝ .
【答案】
6．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2, an＋1＝，bn＝，n∈N*，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn＝
20、__________．
【解析】因?yàn)椋剑剑剑?，所以數(shù)列為以b1＝＝4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即bn＝b1·2n－1＝2n＋1.
【答案】2n＋1
7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8.
(1)確定常數(shù)k，并求an；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<4.
【解析】(1)因?yàn)镾n＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋，又因?yàn)閗∈N*，所以當(dāng)n＝k時(shí)，(Sn)max＝Sk＝＝8，解得k＝4，這時(shí)Sn＝－n2＋4n；
所以a1＝S1＝－×12＋4×1＝，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－n＋，又a1＝S1＝也適合這個(gè)公式，
所
21、以an＝－n＋.
(2)設(shè)bn＝＝，
則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋，①
所以Tn＝＋＋＋…＋，②
①－②得Tn＝1＋＋＋＋…＋－＝2－－＝2－，所以Tn＝4－.
8．設(shè)正數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2＝an＋1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(2)若數(shù)列bn＝，設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，求Tn.
(3)若Tn≤λbn＋1對(duì)一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．
【解析】(1)∵正數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2＝an＋1，
∴a1＝1，Sn＝Sn－1＋an＝Sn－1＋2－1，
∴Sn－1＝(－1)2，
∴－＝1，
∴＝1＋n－1＝n，∴Sn＝
22、n2，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
當(dāng)n＝1時(shí)，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.
(2)bn＝＝＝n＋1，
∴＝＝－，
∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝.
(3)Tn≤λbn＋1對(duì)一切n∈N*恒成立，
∴≤λ(n＋2)，
∴λ≥＝×恒成立，
∵×≤×＝，
當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)取等號(hào)，故實(shí)數(shù)λ的最小值為.
B組題
1．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(2，2n＋1)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為an，則數(shù)列{(n＋1)an}的前n項(xiàng)和為( )
A．n2－1 B．n2＋1
C．n2－nD．n2＋n
【解析】y＝xn＋1，則y′＝(n＋1)
23、xn，所以曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(2，2n＋1)處的切線斜率為(n＋1)2n，則切線方程為y＝(n＋1)2n(x－2)＋2n＋1，即y＝(n＋1)2nx－n·2n＋1.令y＝0，可得x＝，所以an＝，則(n＋1)an＝2n，所以數(shù)列{(n＋1)an}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和為×n＝n2＋n.
【答案】D
2．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足公比q∈N*，an∈N*，且{an}中的任意兩項(xiàng)之積也是該數(shù)列中的一項(xiàng)，若a1＝281，則q的所有可能取值的集合為________．
【解析】根據(jù)題意得對(duì)任意n1，n2∈N*有n∈N*，使an＝an1an2281qn－1＝281
24、qn1－1·281qn2－1，即q＝2，因?yàn)閝∈N*，所以是正整數(shù)1、3、9、27、81，q的所有可能取值的集合為{2，23，29，227，281}．
【答案】{2，23，29，227，281}
3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q>1，且滿足a2＝6, a1a3＋2a2a4＋a3a5＝900，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式λan≤1＋Sn對(duì)一切n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為________．
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a＋2a2a4＋a＝900，即a2＋a4＝30，再結(jié)合a2＝6可得a4＝24，則公比q＝＝2，所以an＝6·2n－2＝3·2n－1，Sn＝＝3·2n－3，
25、故原不等式可化為3λ·2n－1≤3·2n－2，即λ≤2－，又因?yàn)镕＝2－≥2－＝，所以λ≤.
【答案】
4．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N*，點(diǎn)都在函數(shù)f＝x2＋x的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和通項(xiàng)公式an；
(2)若數(shù)列滿足log2bn＝n＋log2，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn；
(3)已知數(shù)列滿足cn＝－.若對(duì)任意n∈N*，存在x0∈，使得c1＋c2＋…＋cn≤f(x)－a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】(1)由題知，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a＋a1，所以a1＝1.
Sn＝a＋an，所以Sn＋1＝a＋an＋1，兩式相減得到
(an＋1＋an)(an
26、＋1－an－1)＝0，
因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列{an}，所以an＋1－an＝1，
數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以an＝n.
(2)由(1)知an＝n，所以bn＝(2n－1)·2n，n∈N*，
因此Tn＝1×21＋3×22＋…＋(2n－1)×2n，①
2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－1)×2n＋1，②
由①－②得到－Tn＝1×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1
＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1
＝－6＋(3－2n)×2n＋1
所以Tn＝6＋(2n－3)×2n＋1.
(3)由(2)知Tn＝6＋×2n＋1，
所以cn＝－＝－
＝－.
令Mn為的前n項(xiàng)和，易得Mn＝－.
因?yàn)閏1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，當(dāng)n≥5時(shí)，
cn＝，
而－＝>0，
得到≤<1，所以當(dāng)n≥5時(shí)，cn<0，
所以Mn≤M4＝－＝－.
又x∈，f－a＝x2＋x－a的最大值為－a.
因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*，存在x0∈，
使得Mn≤f－a成立．
所以－≤－a，由此a≤.
18
（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第37講 數(shù)列的綜合應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）新人教A版
