6、x4＝x3(12－x3)＝－(x3－6)2＋36在x3∈(3，4.5)上遞增，即有x1·x2·x3·x4∈.
【答案】D
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將各小題的結(jié)果填在題中橫線上．)
7．某設(shè)備的使用年數(shù)x與所支出的維修總費(fèi)用y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
使用年數(shù)x(單位：年)
2
3
4
5
6
維修總費(fèi)用y(單位：萬元)
1.5
4.5
5.5
6.5
7.5
根據(jù)上表可得回歸直線方程為＝1.3x＋.若該設(shè)備維修總費(fèi)用超過12萬元就報(bào)廢，據(jù)此模型預(yù)測該設(shè)備最多可使用________年．(結(jié)果取整數(shù))
【解析】∵x＝4，y＝5.1，∴5.1
7、＝1.3×4＋，∴＝－0.1，
∴＝1.3x－0.1，由≤12得x≤9.
【答案】9
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋b，若f(x)dx＝2f(x0)，x0>0，則x0等于________．
【解析】∵函數(shù)f(x)＝ax2＋b，f(x)dx＝2f(x0)，
∴dx＝|＝a＋2b，2f(x0)＝2ax＋2b，
∴a＝2ax，∴x0＝.
【答案】
9．設(shè)F1、F2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足(＋)·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且3||＝4||，則雙曲線的離心率為________．
【解析】由于點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則由雙曲線的定義可得|PF1|－
8、|PF2|＝2a，|PF1|＝|PF2|，∴|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，∵(＋)·2＝0，∴(＋)·(2－)＝0，∴2＝.
在△PF1F2中，|OP|＝|OF2|＝|OF1|，則∠F1PF2＝90°，
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即有64a2＋36a2＝4c2，∴c＝5a，∴e＝5.
【答案】5
10．已知函數(shù)f(x)＝其中a∈R，若對任意非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一實(shí)數(shù)x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為________．
【解析】由數(shù)形結(jié)合討論知f(x)在(－∞，0)遞減，在(0，＋∞)遞增，
∴等價(jià)于等價(jià)于
令
9、g(a)＝，則g(a)＝－1(0≤a<1)且g′(a)＝－(0≤a<1)，
∴g(a)在上遞減，在上遞增，
即kmin＝g＝8.
【答案】8
三、解答題(本大題共3小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)
11．(16分)隨著電子產(chǎn)品的不斷更新完善，更多的電子產(chǎn)品逐步走入大家的世界，給大家?guī)砹素S富多彩的生活，但也帶來了一些負(fù)面的影響，某公司隨機(jī)抽取1 000人對某電子產(chǎn)品是否對日常生活有益進(jìn)行了問卷調(diào)查，并對參與調(diào)查的1 000人中的年齡層次以及意見進(jìn)行了分類，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
30歲以下
30歲或
30歲以上
總計(jì)
認(rèn)為某電子產(chǎn)品
對生活有
10、益
400
300
700
認(rèn)為某電子產(chǎn)品
對生活無益
100
200
300
總計(jì)
500
500
1 000
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為電子產(chǎn)品的態(tài)度與年齡有關(guān)系？
(2)為了答謝參與問卷調(diào)查的人員，該公司對參與本次問卷調(diào)查的人員進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動，獎(jiǎng)金額以及發(fā)放的概率如下：
獎(jiǎng)金額
0元(謝謝支持)
10元
20元
概率
0.5
0.4
0.1
現(xiàn)有甲、乙兩人參與了抽獎(jiǎng)活動，記兩人獲得的獎(jiǎng)金總金額為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參與公式：K2＝
臨界值表：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
11、
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】(1)依題意，在本次的實(shí)驗(yàn)中，K2的觀測值
k＝＝47.619>10.828，
故可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為對電子產(chǎn)品的態(tài)度與年齡有關(guān)系．
(2)Y的可能取值為0，10，20，30，40，
P(Y＝0)＝×＝，P(Y＝10)＝××2＝，
P(Y＝20)＝×＋××2＝，
P(Y＝30)＝××2＝，
P(Y＝40)＝×＝，
Y
0
10
20
30
40
P
E(Y)＝
12、12.
12．(16分)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于點(diǎn)H. 將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.
(1)證明：平面D′EF⊥平面ABCD；
(2)求直線CD′與平面ABD′所成角的正弦值．
【解析】(1)∵AE＝CF＝，∴＝，∴EF∥AC.
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D′H.
∵AC＝6，∴AO＝3；
又AB＝5，AO⊥OB，∴OB＝4，∴OH＝·OD＝1，
∴DH＝D′H＝3，
∴＝＋，∴D′H⊥OH.
又∵OH∩EF
13、＝H，∴D′H⊥平面ABCD.
∵D′H?平面D′EF，
∴平面D′EF⊥平面ABCD.
(2)建立如圖坐標(biāo)系H－xyz，則B，C，
D′，A，＝，＝，
設(shè)平面ABD′的法向量n＝，
由得取
∴n＝.
設(shè)直線CD′與平面ABD′所成角為θ，
∵＝，
∴sin θ＝＝＝＝.
13．(18分)如圖，橢圓C：＋＝1的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，＝，四邊形A1B1A2B2是四邊形B1F1B2F2面積的2倍．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)的直線，||＝1，是否存在上述直線l使·＝
14、1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)由|A1B1|＝知a2＋b2＝7，?、?
由S?A1B1A2B2＝2S?B1F1B2F2知a＝2c，?、?
又b2＝a2－c2，?、?
由①②③解得a2＝4，b2＝3.
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
假設(shè)存在直線l使·＝1成立，
(ⅰ)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，
由l與n垂直相交于P點(diǎn)且||＝1，得＝1，
∴m2＝k2＋1.
因?yàn)閨|＝1，·＝1，
∴·＝(＋)·(＋)
＝2＋·＋·＋·＝1＋0＋0－1＝0，
∴x1x2＋
15、y1y2＝0.
將y＝kx＋m代入橢圓方程，得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1＋x2＝，?、?
x1x2＝，?、?
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
∴(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.
將④⑤代入上式并化簡得
4(1＋k2)(m2－3)－8k2m2＋m2(3＋4k2)＝0，
將m2＝1＋k2代入上式并化簡得：
－5(1＋k2)＝0，矛盾，故此時(shí)的直線l不存在．
(ⅱ)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，滿足||的直線l的方程為x＝1，或x＝－1，
當(dāng)x＝1時(shí)，A，B，P的坐標(biāo)分別為，，(1，0)．
∴＝，＝，
∴·＝≠1.
當(dāng)x＝－1時(shí)，同理可得·≠1，
即此時(shí)的直線l也不存在．
綜上可知，使·＝1成立的直線l不存在．
10
（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 綜合試題（四）理（含解析）新人教A版
