《（山東專用）2020年高考數學一輪復習 專題16 定積分與微積分基本定理（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（山東專用）2020年高考數學一輪復習 專題16 定積分與微積分基本定理（含解析）（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題16 定積分與微積分基本定理 一、【知識精講】 1.定積分的概念與幾何意義 (1)定積分的定義 如果函數f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，當n→∞時，上述和式無限接近于某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝ 在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式. (2)定積分的幾何意義 f(x) f(x)

2、dx的幾何意義 f(x)≥0 表示由直線x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積 f(x)＜0 表示由直線x＝a，x＝b，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數 f(x)在[a，b]上有正有負 表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積 2.定積分的性質 (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數). (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b). 3.微積分基本定理 一般地，如果f(x)是在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函

3、數，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)記為F(x)，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a). [微點提醒] 函數f(x)在閉區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則有 (1)若f(x)為偶函數，則f(x)dx＝2f(x)dx. (2)若f(x)為奇函數，則f(x)dx＝0. 二、【典例精練】 考點一　定積分的計算 【例1】 (1)(cos x＋1)dx＝________. (2) （2012山東）設，若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為，則 ． 【答案】　(1)π　(2) 【

4、解析】(1)(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)＝π. (2)【解析】，解得． 【解法小結】　運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點： (1)對被積函數要先化簡，再求積分； (2)若被積函數為分段函數的定積分，依據定積分“對區(qū)間的可加性”，先分段積分再求和； (3)對于含有絕對值符號的被積函數，要先去掉絕對值符號再求積分. 考點二　定積分的幾何意義　 角度1　利用定積分的幾何意義計算定積分 【例2－1】 (1)計算：(2x＋)dx＝________. (2) （2013福建）當時，有如下表達式: 兩邊同時積分得： 從而得到如下等式： 請根據以下材料所蘊含的數學

5、思想方法，計算： =． 【答案】　(1)＋1　(2) 【解析】　(1)由定積分的幾何意義知， dx表示以原點為圓心，以1為半徑的圓的面積的，所以 dx＝，又2xdx＝x2＝1，所以(2x＋)dx＝＋1. (2)由 兩邊同時積分得： 從而得到如下等式： =． 答案角度2　利用定積分計算平面圖形的面積 【例2－2】 （2014山東）直線與曲線在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】由得，、或（舍去），直線與曲線在第一象限內圍成的封閉圖形的面積． 【解法小結】　1.運用定積分的幾何意

6、義求定積分，當被積函數的原函數不易找到時常用此方法求定積分. 2.利用定積分求曲邊梯形面積的基本步驟：畫草圖、解方程得積分上、下限，把面積表示為已知函數的定積分(注意：兩曲線的上、下位置關系，分段表示的面積之間的關系). 考點三　定積分在物理中的應用 【例3】 (1)物體A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直線l上運動，物體B在直線l上，且在物體A的正前方5 m處，同時以v＝10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時間t(s)為(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)設變力F(x)作用在質點M上，使M沿x軸正向從x＝1運動到x＝10，已

7、知F(x)＝x2＋1且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對質點M所做的功為________ J(x的單位：m，力的單位：N). 【答案】　(1)C　(2)342 【解析】(1)因為物體A在t秒內行駛的路程為(3t2＋1)dt，物體B在t秒內行駛的路程為10tdt. 所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5. 整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5. (2)變力F(x)＝x2＋1使質點M沿x軸正向從x＝1運動到x＝10所做的功為 W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J). 【解法小結】　定積分在物理中的兩個應用 (1)變速直線運動

8、的位移：如果變速直線運動物體的速度為v＝v(t)，那么從時刻t＝a到t＝b所經過的位移s＝v(t)dt. (2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a移動到x＝b時，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx. 【思維升華】 1.定積分是一個數值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關. 2.f(x)dx、|f(x)|dx與|f(x)dx|在幾何意義上有不同的含義，由于被積函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可正可負，也就是它的圖象可以在x軸上方、也可以在x軸下方、還可以在x軸的上下兩側，所以f(x)dx表示由x軸、函數

9、f(x)的曲線及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數和；而|f(x)|是非負的，所以|f(x)|dx表示在區(qū)間[a，b]上所有以|f(x)|為曲邊的正曲邊梯形的面積；而|f(x)dx|則是f(x)dx的絕對值，三者的值一般情況下是不相同的. 【易錯注意點】 1.若定積分的被積函數是分段函數，應分段積分然后求和. 2.若積分式子中有幾個不同的參數，則必須先分清誰是被積變量. 3.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結果可以為負. 三、【名校新題】 1.(2019·西安調研)定積分(2x＋ex)dx的值為(　　) A.e＋2 B.e＋1

10、 C.e D.e－1 【答案】C 【解析】　(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e. 2.(2019·鄭州模擬)汽車以v＝(3t＋2) m/s做變速運動時，在第1 s至第2 s之間的1 s內經過的路程是(　　) A. m B.6 m C. m D.7 m 【答案】A 【解析】　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m). 3.(2018·青島月考)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內圍成的封閉圖形的面積S，正確的是(　　) A.S＝(4x－x3)dx B.S＝(x3－4x)dx C.S＝dy D.S＝dy 【答案】A 【解析】

11、　兩函數圖象的交點坐標是(0，0)，(2，8)，故對x積分時，積分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x≥x3，故直線y＝4x與曲線y＝x3所圍成的封閉圖形的面積 S＝(4x－x3)dx. 4.(2019·安陽模擬)若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sin xdx，則a，b，c的大小關系是(　　) A.a

12、2dx,T=0Msin 2xdx,則T的值為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.12 B.-12 C.-1 D.1 【答案】　A　 【解析】先求出M=π4，∴T=0π4sin2xdx=-12cosπ2-1=12 6.(2019屆山東日照一中第二次質量達標檢測)在函數y=cos x,x∈-π2,π2的圖象上有一點P(t,cos t),若該函數的圖象與x軸、直線x=t,圍成圖形(如圖陰影部分)的面積為S,則函數S=g(t)的圖象大致是(　　) 【答案】　B　 【解析】因為g（t）=-π2tcostdt=sint+1，所以圖像是B. 7.(2019屆吉林

13、長春實驗中學上學期期中,6)設f(x)=1π1-x2,x∈[0,1],2-x,x∈(1,2],則02f(x)dx等于(　　) A.34 B.45 C.56 D.0 【答案】　A　 【解析】原式=011π1-x2dx+122-xdx=1π×π4+2×2-222-2×1-12=34 8.(2018山東菏澤第一次模擬)若3x+1xxn(n∈N*)的展開式中含有常數項,且n的最小值為a, 則-aaa2-x2dx=(　　) A.36π B.81π2 C.25π2 D.25π 【答案】　C　 【解析】可求出a=5,由定積分的幾何意義知：所求定積分為半徑為5的半圓的面積，為12π×52=25

14、π2. 9.（荊州市2019屆高三聯考） 已知函數，若函數 的零點都在區(qū)間 內，當取最小值時，等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】：B 【解析】 ，可知當時，成立，又 ，可知當時，成立，所以對任意，，單調遞增，所以函數只有一個零點，，，所以的零點位于區(qū)間，所以函數 的零點位于區(qū)間，即，所以 10.(2019·昆明診斷)若x2dx＝9，則常數a的值為________. 【答案】-3 【解析】　x2dx＝x3＝－a3＝9，∴a3＝－27，a＝－3. 11.(2019·濟南模擬)設a>0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2

15、，則a＝________. 【答案】　 【解析】封閉圖形如圖所示，則dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝. 12.(2019·廣州調研)設f(x)＝則f(x)dx的值為________. 【答案】　＋ 【解析】　f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx ＝π×12＋＝＋. 13.(2019·長春模擬)在平面直角坐標系xOy中，將直線y＝x與直線x＝1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉一周得到一個圓錐，圓錐的體積V圓錐＝πx2dx＝x3＝.據此類比：將曲線y＝2 ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周得到一個旋轉體，該旋轉體的體積V＝________. 【答案】π(e－

16、1) 【解析】　類比已知結論，將曲線y＝2ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周得到旋轉體的體積應為一定積分，被積函數為π(e)2＝πey，積分變量為y，積分區(qū)間為[0，1]，即V＝πeydy＝πey＝π(e－1). 14.(2019屆安徽皖南八校第一次聯考)用min{a,b}表示a,b兩個數中的最小數,設f(x)=min1x,xx≥14,則由函數f(x)的圖象,x軸,直線x=14和直線x=2所圍成的封閉圖形的面積為　　　　.? 【答案】　712+ln 2 【解析】S=141xdx+121xdx=231-1432+ln2-ln1=712+ln2. 15.(2019屆江西新余第四中學月考)由x=-π3,x=π3,y=0,y=cos x四條曲線所圍成的封閉圖形的面積為　　　　.? 【答案】　3 【解析】因為函數y=cosx在-π3，π3上為偶函數，所以所求面積S=20π3cosxdx=2sinπ3=3 16.（黃山市普通高中2019屆高三“八校聯考”）二項式的展開式中的系數為，則________． 【答案】23 【解析】由題意可求出a=1,∴01xdx=23×1=23 8