《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 同步測試卷（十五）空間圖形的有關計算 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 同步測試卷（十五）空間圖形的有關計算 理（含解析）新人教A版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、同步測試卷 理科數(shù)學(十五)　【p313】 (空間圖形的有關計算) 時間：60分鐘　總分：100分 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分．每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，則直線AB和直線CD所成角的余弦值為(　　) A.B．－C.D．－ 【解析】由題得＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)， 而cos〈，〉＝＝＝， 故直線AB和CD所成角的余弦值為. 【答案】A 2．在平行六面體ABCD－EFGH中，若＝x－2y＋3z，，則x＋y＋z等于(　　)

2、 A.B.C.D．1 【解析】在平行六面體ABCD－EFGH中，＝＋＋， ∵＝x－2y＋3z，＝， ∴x＝1，－2y＝1，3z＝1， ∴x＝1，y＝－，z＝， ∴x＋y＋z＝. 【答案】C 3．已知點A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，若向量∥a，且||＝2|a|，則B點的坐標為(　　) A．(－5，6，24) B．(－5，6，24)或(7，－10，－24) C．(－5，16，－24) D．(－5，16，－24)或(7，－16，24) 【解析】設點B(x，y，z)，那么＝(x－1，y＋2，z)，因為∥a，故有＝λa＝(－3λ，4λ，12λ)，得到x＝1－3λ

3、，y＝－2＋4λ，z＝12λ，那么再利用||＝2|a|＝2＝26，得到λ＝2或λ＝－2，進而得到B點坐標為(－5，6，24)或(7，－10，－24)． 【答案】B 4．在空間直角坐標系O－xyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)．若S1，S2，S3分別是三棱錐D－ABC在xOy，yOz，zOx坐標平面上的正投影圖形的面積，則(　　) A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1且S2≠S3 C．S3＝S1且S3≠S2 D．S3＝S2且S3≠S1 【解析】根據(jù)題目條件，在空間直角坐標系O－xyz中作出該三棱錐D－ABC，如圖，顯然S1＝S△ABC＝

4、×2×2＝2，S2＝S3＝×2×＝. 【答案】D 5．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，，兩兩的夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于(　　) A．5 B．6 C．4 D．8 【解析】在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中有，＝＋＋＝＋＋， 所以有||＝|＋＋|， 于是有||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＝25， 所以||＝5. 【答案】A 6．把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，則第四個球的最高點與

5、桌面的距離為(　　) A．2＋B. C．1＋D．3 【解析】四個球心連線是正三棱錐．棱長均為2， ∴ED＝，OD＝ED＝，∴AO＝＝. ∴第四個球的最高點與桌面的距離為OA加上兩個半徑即＋2，故選A. 【答案】A 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將各小題的結果填在題中橫線上．) 7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的二面角的余弦值為________． 【解析】建立空間直角坐標系如圖，設正方體的棱長為2，則D(2，0，0)，A1(0，0，2)，E(0，2，1)，則＝(2，0，－2)，＝(0，2，－1

6、)． 設平面A1ED的法向量為n＝(x，y，z)， 則 則即 令y＝1，得n＝(2，1，2)． 易知平面ABCD的法向量為m＝(0，0，1)， 則cos〈n，m〉＝＝. 即所求二面角的余弦值為. 【答案】 8．已知空間四邊形OABC，點M，N分別是OA，BC的中點，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________． 【解析】如圖所示， ＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)． 【答案】(b＋c－a) 9．如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直線分別為

7、x，y，z軸建立空間直角坐標系，則點E的坐標為________． 【解析】設PD＝a(a＞0)，則A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)， E，∴＝(0，0，a)，＝， ∵cos〈，〉＝， ∴＝a×，∴a＝2. ∴E的坐標為(1，1，1)． 【答案】(1，1，1) 10．已知梯形CEPD如下圖所示，其中PD＝8，CE＝6，A為線段PD的中點，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進行折疊，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當點F滿足＝λ(0<λ<1)時，平面DEF⊥平面PCE，則λ的值為__________． 【解析】因為四邊形ABCD為

8、正方形，且平面PABE⊥平面ABCD，所以PA，AB，AD兩兩垂直，且PA∥BE，所以建立空間直角坐標系(如圖所示)，又因為PD＝8，CE＝6，所以P(0，0，4)，C(4，4，0)，E(4，0，2)，D(0，4，0)，B(4，0，0)， 則F(4λ，0，0)，＝(4，－4，2)，＝(4λ，－4，0)，＝(0，－4，2)，＝(－4，0，2)，設平面DEF的法向量為m＝(x，y，z)，則由得取m＝(1，λ，2λ－2)，平面PCE的法向量為n＝(x，y，z)，則由得取n＝(1，1，2)， 因為平面DEF⊥平面PCE，所以m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝5λ－3＝0，解得λ＝. 【答案】

9、 三、解答題(本大題共3小題，共50分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．) 11.(16分)在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，AD綊BC，AD＝AE＝1，∠ABC＝60°，EF綊AC. (1)證明：AB⊥CF； (2)求二面角B－EF－D的余弦值． 【解析】(1)由題知EA⊥平面ABCD，BA?平面ABCD，∴BA⊥AE. 過點A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，BH＝，∴AB＝1， 在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 60°＝3， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC， 且AC∩E

10、A＝A，∴AB⊥平面ACFE. 又∵CF?平面ACFE，∴AB⊥CF. (2)以A為坐標原點，AB，AC，AE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系， 則B(1，0，0)，E(0，0，1)，F(xiàn)，D， ∴＝(－1，0，1)，＝，＝，＝. 設n＝(x，y，z)為平面BEF的一個法向量， 則令x＝1得n＝(1，0，1)， 同理可求平面DEF的一個法向量m＝(2，0，－1)， ∴cosm，n＝＝， 所以二面角B－EF－D的余弦值為. 12．(16分)已知CD是等邊三角形ABC的AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B. (

11、1)求直線BC與平面DEF所成角的正弦值； (2)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論． 【解析】(1)以點D為坐標原點，直線DB，DC，DA分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標系， 設等邊三角形ABC的邊長為a，則A，B，C，E，F(xiàn)， 設平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 取n＝(3，－，3)． 又因為＝， 設直線BC與平面DEF所成角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝， 即直線BC與平面DEF所成角的正弦值等于. (2)假設在線段BC上存在一點，使AP⊥DE， 令＝λ(0≤λ≤1)， 即＝λ＝， 則P， 于是＝.

12、因為AP⊥DE， 所以·＝·＝0， 整理得λa2－a2＝0， 解得λ＝，符合題意． 故線段BC上存在一點P，使AP⊥DE. 13．(18分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點M，N分別為BC，PA的中點，且AB＝AC＝1，AD＝. (1)證明：MN∥平面PCD； (2)設直線AC與平面PBC所成角為α，當α在內變化時，求二面角P－BC－A取值范圍． 【解析】(1)取PD中點Q，連接NQ、CQ， 因為點M，N分別為BC，PA的中點， 所以NQ∥AD∥CM，NQ＝AD＝CM， ∴四邊形CQNM為平行四邊形，∴MN∥CQ， 又M

13、N?平面PCD，CQ?平面PCD， 所以MN∥平面PCD； (2)法一：連接PM，因為AB＝AC＝1，點M為BC的中點，則AM⊥BC，又PA⊥平面ABCD，則PM⊥BC，所以∠PMA即為二面角P－BC－A的平面角． 又AM∩PM＝M，所以BC⊥平面PAM，則平面PBC⊥平面PAM. 過點A在平面PAM內作AH⊥PM于H，則AH⊥平面PBC. 連接CH，于是∠ACH就是直線AC與平面PBC所成的角，即∠ACH＝α. 在Rt△AHM中，AH＝sin∠AMH； 在Rt△AHC中，CH＝sin α，∴sin∠AMH＝sin α. ∵0＜α＜， ∴0＜sin α＜，0＜sin∠AMH＜

14、. 又0＜∠AMH＜，∴0＜∠AMH＜. 即二面角P－BC－A取值范圍是. 法二：連接PM，因為AB＝AC＝1，點M為BC的中點，則AM⊥BC. 又PA⊥平面ABCD，則PM⊥BC所以∠PMA即為二面角P－BC－A的平面角，設為θ，以AB，AC，AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，M，P， 于是，＝，＝，＝(－1，1，0)． 設平面PBC的一個法向量為n＝(x，y，z)， 則由n·＝0，n·＝0. 得可取n＝， 又＝(0，－1，0)， 于是sin α＝＝＝sin θ， ∵0＜α＜， ∴0＜sin α＜，0＜sin θ＜， 又0＜θ＜，∴0＜θ＜. 即二面角P－BC－A取值范圍是. 備課札記 10