9、數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.
2.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.
易錯(cuò)警示 在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類討論.
【思維升華】
1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡運(yùn)算.
2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到
10、底數(shù)的值再進(jìn)行比較.
3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分01兩種情況分類討論.
【易錯(cuò)注意點(diǎn)】
1.對(duì)與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清楚復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，并且一定要注意函數(shù)的定義域.
2.對(duì)可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解題，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.
三、【名校新題】
1.(2019·永州模擬)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝2x－2－x的定義域、單調(diào)性與奇偶性均一致的是( )
A.y＝sin x B.y＝x3
C.y＝ D.y＝log2x
11、【答案】B
【解析】y＝2x－2－x是定義域?yàn)镽的單調(diào)遞增函數(shù)，且是奇函數(shù).而y＝sin x不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；y＝是非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
y＝log2x的定義域是(0，＋∞)，不符合題意；
y＝x3是定義域?yàn)镽的單調(diào)遞增函數(shù)，且是奇函數(shù)符合題意.
2. (2019·衡水中學(xué)檢測(cè))不論a為何值，函數(shù)y＝(a－1)2x－恒過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】(1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函數(shù)y＝(a－1)2x－恒過定點(diǎn).
3.(2019·東北三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ax－1(a>
12、0，a≠1)的圖象恒過點(diǎn)A，下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點(diǎn)A的是( )
A.y＝ B.y＝|x－2|
C.y＝2x－1 D.y＝log2(2x)
【答案】A
【解析】 f(x)過定點(diǎn)A(1，1)，將點(diǎn)A(1，1)代入四個(gè)選項(xiàng)，y＝的圖象不過點(diǎn)A(1，1).
4. (2019·貴陽監(jiān)測(cè))已知函數(shù)f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
【答案】A
【解析】 由于函數(shù)y＝ax的圖象過定點(diǎn)(0,1)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝4＋2＝6，故函數(shù)f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過
13、定點(diǎn)P(1,6)．
5.(2019·南寧調(diào)研)函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，因?yàn)閥＝t是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間就是函數(shù)y＝－x2＋x在[0,1]上的減區(qū)間，故選D.
6.(2019·郴州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ex－，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集為( )
A.∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
【答案】B
【解析】 函數(shù)f(x)＝ex－
14、的定義域?yàn)镽，
∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等價(jià)于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易證f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集為(2，＋∞)．
7.(2019·西安市質(zhì)檢)在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%，專家預(yù)測(cè)經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為( )
【答案】D
【解析】設(shè)原有荒漠化土地面積為b，經(jīng)過x年后荒漠化面積為z，則z＝b(1＋10.4%)x，故y
15、＝＝(1＋10.4%)x，其是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù).其圖象應(yīng)為選項(xiàng)D.
8.(2019·合肥檢測(cè))當(dāng)x∈(－∞，－1]時(shí)，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2)
【答案】D
【解析】原不等式變形為m2－m<，
又y＝在(－∞，－1]上是減函數(shù)，知≥＝2.
故原不等式恒成立等價(jià)于m2－m<2，解得－1
16、8…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為________．
①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；
④f(x)＝x2＋2.
【答案】①④
【解析】：設(shè)g(x)＝exf(x)，對(duì)于①，g(x)＝ex·2－x，
則g′(x)＝(ex·2－x)′＝ex·2－x(1－ln 2)>0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故①符合要求；
對(duì)于②，g(x)＝ex·3－x，
則g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)
17、，故②不符合要求；
對(duì)于③，g(x)＝ex·x3，
則g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，
顯然函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上不單調(diào)，故③不符合要求；
對(duì)于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，
則g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，
所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故④符合要求．
綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為①④.
11. (2019·西安質(zhì)檢)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為________．
【答案】{x|x>4或x<0}
【解析】
18、 ∵f(x)為偶函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝
當(dāng)f(x－2)＞0時(shí)，有或
解得x＞4或x＜0.
∴不等式的解集為{x|x>4或x<0}．
12.(2018·長沙一中月考)已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù).
(1)求a的值；
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明.
【解析】 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)的定義域?yàn)镽；所以f(0)＝＝0，所以a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝＝1－，函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增.
證明：設(shè)x1
19、x2，所以3x1－3x2<0，
所以f(x1)0，函數(shù)f(x)＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，Q.若2p+q＝36pq，則a＝________.
【解析】 因?yàn)閒(x)＝＝，且其圖象經(jīng)過點(diǎn)P，Q，
則f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，則2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因?yàn)閍>0，所以a＝6.
14.已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2x－，
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】 (1)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝0，故f(x)＝無解；
當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
將上式看成關(guān)于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
因?yàn)?x>0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因?yàn)?2t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
因?yàn)閠∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－5，＋∞).
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（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題08 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（含解析）
