《（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點規(guī)范練28 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點規(guī)范練28 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點規(guī)范練28　平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用 一、基礎(chǔ)鞏固 1.對任意平面向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立的是(　　) A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 2.已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,(a+b)·b=0,則向量a,b的夾角為(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,則

2、|p+q|的值為(　　) A.5 B.13 C.5 D.13 5.在四邊形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),則該四邊形的面積為(　　) A.5 B.25 C.5 D.10 6.在△ABC中,AB邊上的高為CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,則AD=(　　) A.13a-13b B.23a-23b C.35a-35b D.45a-45b 7.設(shè)向量a與b的夾角為θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),則cos θ=(　　) A.-35 B.35 C.55 D.-255 8.設(shè)m,n為非零向量,則“存在負數(shù)λ,使得m=λn”是“

3、m·n<0”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 9.已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為　　　　　.? 10.設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=　　　　　.? 11.設(shè)e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,若a=e1+λe2與b=2e1-3e2垂直,則λ=　　　　　.? 12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9. (1)求向量a與b的夾角θ; (2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.

4、 二、能力提升 13.已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,設(shè)m,n所成的角為θ,cos θ=13.若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為(　　) A.4 B.-4 C.94 D.-94 14.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P為矩形內(nèi)一點,且AP=32,若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R),則λ+3μ的最大值為(　　) A.32 B.62 C.3+34 D.6+324 15.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則PA·(PB+PC)的最小值是(　　) A.-2 B.-32 C.-43 D.-1 16.如圖,在同一個平面內(nèi),向量

5、OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=. 17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是　　　　　.? 三、高考預(yù)測 18.已知非零向量a,b滿足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,則向量b-a在向量a方向上的投影是　　　　　.? 考點規(guī)范練28　平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用 1.B　解析A項,設(shè)向量a與b的夾角為θ,則a·b=|a||b|·cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立; B

6、項,當(dāng)a與b同向時,|a-b|=||a|-|b||;當(dāng)a與b非零且反向時,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||. 故不等式不恒成立; C項,(a+b)2=|a+b|2恒成立; D項,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立. 綜上,選B. 2.B　解析由已知得|a|=|b|=1,a與b的夾角θ=60°, ∴(2a-b)·b=2a·b-b2 =2|a||b|cosθ-|b|2 =2×1×1×cos60°-12=0,故選B. 3.D　解析設(shè)向量a,b的夾角為θ, 則(a+b)·b=a·b+b2=|a|·|b|cosθ+|b|2=0,

7、 即2×1×cosθ=-1,故cosθ=-12. 又θ∈[0°,180°],故θ=120°,故選D. 4.B　解析由題意得2×6+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13. 5.C　解析依題意得,AC·BD=1×(-4)+2×2=0, ∴AC⊥BD.∴四邊形ABCD的面積為12|AC||BD|=12×5×20=5. 6.D　解析∵a·b=0,∴CA⊥CB. ∵|a|=1,|b|=2,∴AB=5. 又CD⊥AB,∴AC2=AD·AB. ∴AD=45=455.∴ADAB=4555=45. ∴AD=45AB=45(CB-CA) =4

8、5(a-b),故選D. 7.A　解析∵向量a與b的夾角為θ, 且a=(-2,1),a+2b=(2,3), ∴b=a+2b-a2=(2,1), ∴cosθ=a·b|a||b|=-4+15×5=-35. 8.A　解析m,n為非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即兩向量反向,夾角是180°,則m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反過來,若m·n<0,則兩向量的夾角為(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在負數(shù)λ,使得m=λn,所以是充分不必要條件.故選A. 9.π6　解析設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b|=232×2=32,且兩個向量夾角范圍是

9、[0,π],故所求的夾角為π6. 10.-23　解析∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0, 解得x=-23. 11.14　解析∵e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量, ∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=12. ∵(e1+λe2)⊥(2e1-3e2), ∴(e1+λe2)·(2e1-3e2)=2e12+(2λ-3)e1·e2-3λe22=2+12(2λ-3)-3λ=0. ∴λ=14. 12.解(1)因為|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9, 所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cosθ-3=9. 解得cosθ=12. 因為θ∈[0,π]

10、,所以θ=π3. (2)由(1)可知a·b=|a||b|cosπ3=1, 所以|a+b|=a2+b2+2a·b=7,a·(a+b)=a2+a·b=5. 所以向量a在a+b方向上的投影為 a·(a+b)|a+b|=57=577. 13.B　解析由4|m|=3|n|,可設(shè)|m|=3k,|n|=4k(k>0), 又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0. 所以t=-4,故選B. 14.B　解析因為AP=λAB+μAD, 所以|AP|2=|λAB+μAD|2. 所以322

11、=λ2|AB|2+μ2|AD|2+2λμAB·AD. 因為AB=1,AD=3,AB⊥AD, 所以34=λ2+3μ2. 又34=λ2+3μ2≥23λμ, 所以(λ+3μ)2=34+23λμ≤34+34=32. 所以λ+3μ的最大值為62,當(dāng)且僅當(dāng)λ=64,μ=24時等號成立. 15. B　解析以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,如圖. 可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0). 設(shè)P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y). 所以PB+PC=(-2x,-2y). 所以PA·

12、(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32≥-32. 當(dāng)點P的坐標(biāo)為0,32時,PA·(PB+PC)取得最小值為-32,故選B. 16.3　解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sinα>0,cosα>0,tanα=sinαcosα,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7210,cosα=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cosα+π4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1, 解得m=54,n=74,所以m+n=3. 17.7　解析設(shè)a與b的夾角為φ,

13、由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,3). 設(shè)e=(cosα,sinα), 則|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+3sinα|≤|cosα|+|cosα|+3|sinα|=2|cosα|+3|sinα|, 當(dāng)cosα與sinα同號時等號成立. 所以2|cosα|+3|sinα|=|2cosα+3sinα|=727cosα+37sinα =7|sin(α+θ)|其中sinθ=27,cosθ=37,取θ為銳角. 顯然7|sin(α+θ)|≤7. 易知當(dāng)α+θ=π2時,|sin(α+θ)|取最大值1,此時α為銳角,sinα,cosα同為正,因此上述不等式中等號能同時取到.故所求最大值為7. 18.-2　解析∵|a+b|=|a-b|, ∴a⊥b,即a·b=0. ∴(b-a)·a=a·b-a2=-4. ∴向量b-a在向量a方向上的投影為(b-a)·a|a|=-42=-2. 7