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1、能力升級(jí)練(四)　算法與推理證明 一、選擇題 1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的a,b的值分別為56,140,則輸出的a=(　　) A.0 B.7 C.14 D.28 解析第一次循環(huán):a=56,b=140-56=84; 第二次循環(huán):a=56,b=84-56=28; 第三次循環(huán):a=56-28=28,b=28,退出循環(huán),輸出的a=28,故選D. 答案D 2.如圖的程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”,執(zhí)行該程序框圖,若輸入a,b,i的值分別為6,8,0,則輸出的i=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析執(zhí)

2、行程序框圖,a=6,b=8,i=0; i=1,不滿(mǎn)足a>b,不滿(mǎn)足a=b,b=8-6=2; i=2,滿(mǎn)足a>b,a=6-2=4; i=3,滿(mǎn)足a>b,a=4-2=2; i=4,不滿(mǎn)足a>b,滿(mǎn)足a=b, 故輸出的a=2,i=4.故選B. 答案B 3.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,△ABC的面積為S,則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=2Sa+b+c.將此結(jié)論類(lèi)比到空間四面體:設(shè)四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,體積為V,則四面體的內(nèi)切球半徑為(　　) A.VS1+S2+S3+S4 B.2VS1+S2+S3+S4 C.3VS1+S2+S3+S4

3、D.4VS1+S2+S3+S4 解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,球心O到四個(gè)面的距離都是R,則四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn),分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和,即V=13(S1+S2+S3+S4)R,所以R=3VS1+S2+S3+S4. 答案C 4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為(　　) A.43 B.55 C.61 D.81 解析S=1+24=25,n=24-6=18;S=25+18=43,n=18-6=12;S=43+12=55,n=12-6=6;S=55+6=61,n=6-6=0;結(jié)束循環(huán)輸出S=61,選C. 答案C 5.閱讀如圖所示的程序如圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序

4、,若輸出的S為1112,則判斷框中填寫(xiě)的內(nèi)容可以是(　　) A.n=6? B.n<6? C.n≤6? D.n≤8? 解析S=0,n=2,判斷是,S=12,n=4,判斷是,S=12+14=34,n=6,判斷是,S=12+14+16=1112,n=8,判斷否,輸出S,故填n≤6?. 答案C 6.(2018云南昆明七校調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸出S的值為1,則判斷框內(nèi)為(　　) A.i>6? B.i>5? C.i≥3? D.i≥4? 解析依題意,執(zhí)行程序框圖,進(jìn)行第一次循環(huán)時(shí),S=1×(3-1)+1=3,i=1+1=2;進(jìn)行第二次循環(huán)時(shí),S=3×(3-

5、2)+1=4,i=2+1=3;進(jìn)行第三次循環(huán)時(shí),S=4×(3-3)+1=1,i=4,因此當(dāng)輸出的S的值為1時(shí),判斷框內(nèi)為“i≥4?”,故選D. 答案D 7.(2018遼寧大連模擬)下列推理是演繹推理的是(　　) A.由于f(x)=cos x滿(mǎn)足f(-x)=f(x)對(duì)任意的x∈R都成立,推斷f(x)=cos x為偶函數(shù) B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的表達(dá)式 C.由圓x2+y2=1的面積S=πr2,推斷:橢圓x2a2+y2b2=1的面積S=πab D.由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì) 解析由特殊到一般的推理過(guò)程,符合歸納推理的

6、定義;由特殊到與它類(lèi)似的另一個(gè)特殊的推理過(guò)程,符合類(lèi)比推理的定義;由一般到特殊的推理符合演繹推理的定義.A是演繹推理,B是歸納推理,C和D為類(lèi)比推理,故選A. 答案A 8.小明用電腦軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)解題能力測(cè)試,每答完一道題,軟件都會(huì)自動(dòng)計(jì)算并顯示出當(dāng)前的正確率(正確率=已答對(duì)題目數(shù)÷已答題目總數(shù)),小明依次共答了10道題,設(shè)正確率依次為a1,a2,a3,…,a10.現(xiàn)有三種說(shuō)法:①若a1a2>a3>…>a10,則必是第一道題答對(duì),其余題均答錯(cuò);③有可能a5=2a10,其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D

7、.3 解析①②顯然成立,③前5個(gè)全答對(duì),后5個(gè)全答錯(cuò),符合題意,故選D. 答案D 9.(2018安徽合肥模擬)《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī):“挑水砍柴不堪苦,請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無(wú)所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱(chēng)形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…,則按照以上規(guī)律,若99n=99n具有“穿墻術(shù)”,則n=(　　) A.25 B.48 C.63 D.80 解析由223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…,可得若99n=99n具有“穿墻術(shù)”,則n=92-1=80,故選D. 答案

8、D 二、填空題 10.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入的t∈[-1,3],則輸出的S屬于區(qū)間　　　　　.? 解析由程序框圖可知S=3t,t<1,4t-t2,t≥1,故當(dāng)t∈[-1,1)時(shí),S=3t∈[-3,3);當(dāng)t∈[1,3]時(shí)S=4t-t2=-(t-2)2+4∈[3,4],所以輸入的t∈[-1,3],則輸出的S屬于區(qū)間[-3,4]. 答案[-3,4] 11.有三張卡片,分別寫(xiě)有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2.”乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1.”丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5.”則

9、甲的卡片上的數(shù)字是　　　　　.? 解析由丙說(shuō)的話(huà)可知丙的卡片上的數(shù)字一定不是2和3.若丙的卡片上的數(shù)字是1和2,則乙的卡片上的數(shù)字是2和3,甲的卡片上的數(shù)字是1和3,滿(mǎn)足題意;若丙的卡片上的數(shù)字是1和3,則乙的卡片上的數(shù)字是2和3,此時(shí),甲的卡片上的數(shù)字只能是1和2,不滿(mǎn)足題意.故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 答案1和3 12.(2018河南三市聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入m=30,n=18,則輸出的m的值為　　　　　.? 解析如果輸入m=30,n=18,第一次執(zhí)行循環(huán)體后,r=12,m=18,n=12,不滿(mǎn)足輸出條件;第二次執(zhí)行循環(huán)體后,r=6,m=12,n=6,不滿(mǎn)足輸

10、出條件;第三次執(zhí)行循環(huán)體后,r=0,m=6,n=0,滿(mǎn)足輸出條件,故輸出的m值為6. 答案6 13.(2018湖北武漢調(diào)研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí),四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下,甲說(shuō):“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說(shuō):“我沒(méi)有作案,是丙偷的”;丙說(shuō):“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說(shuō):“乙說(shuō)的是事實(shí)”.經(jīng)過(guò)調(diào)查核實(shí),四人中有兩人說(shuō)的是真話(huà),另外兩人說(shuō)的是假話(huà),且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是　　　　　.? 解析這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是四人中有兩人說(shuō)真話(huà),另外兩人說(shuō)了假話(huà),這是解決本題的突破口. 從甲、乙、丙、丁四人的供詞中,可以看出乙、丁兩人的觀點(diǎn)是一致的,因此乙、丁

11、兩人的供詞應(yīng)該是同真或同假(即都是真話(huà)或者都是假話(huà),不會(huì)出現(xiàn)一真一假的情況). 假設(shè)乙、丁兩人說(shuō)的是真話(huà),那么甲、丙兩人說(shuō)的是假話(huà).由乙說(shuō)真話(huà)推出丙是罪犯的結(jié)論.由甲說(shuō)假話(huà)推出乙、丙、丁三人不是罪犯的結(jié)論.顯然這兩個(gè)結(jié)論是相互矛盾的.所以乙、丁兩人說(shuō)的是假話(huà),而甲、丙兩人說(shuō)的是真話(huà).由甲、丙的供述內(nèi)容可以斷定乙是罪犯. 答案乙 三、解答題 14.觀察下列等式: sinπ3-2+sin2π3-2=43×1×2; sinπ5-2+sin2π5-2+sin3π5-2+sin4π5-2=43×2×3; sinπ7-2+sin2π7-2+sin3π7-2+…+sin6π7-2=43×3×4

12、; sinπ9-2+sin2π9-2+sin3π9-2+…+sin8π9-2=43×4×5; …… 照此規(guī)律,計(jì)算sinπ2n+1-2+sin2π2n+1-2+sin3π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2的結(jié)果. 解觀察前4個(gè)等式,由歸納推理可知sinπ2n+1-2+sin2π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2=43n(n+1). 15.“求方程513x+1213x=1的解”,有如下解題思路:設(shè)f(x)=513x+1213x,則f(x)在R上單調(diào)遞減,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2,類(lèi)比上述解題思路,求不等式x6-(x+2)>(x+2)3-x2的解集. 解因?yàn)閤6-(x+2)>(x+2)3-x2, 所以x6+x2>(x+2)3+(x+2), 所以(x2)3+x2>(x+2)3+(x+2). 令f(x)=x3+x, 所以不等式可轉(zhuǎn)化為f(x2)>f(x+2). 因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增, 所以x2>x+2,解得x<-1或x>2.故原不等式的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞). 9