6、列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)4，6，8，10，…；
(2)－，，－，，…；
(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b為實(shí)數(shù))；
(4)9，99，999，9 999，….
【解析】(1)該數(shù)列中各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2(n＋1)，n∈N*.
(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n×，n∈N*.
(3)這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是a，偶數(shù)項(xiàng)是b，所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝
(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，
7、所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，n∈N*.
【點(diǎn)評(píng)】由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式的策略
(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想，具體如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相鄰項(xiàng)的變化特征；
③拆項(xiàng)后的特征；
④各項(xiàng)符號(hào)特征等．
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是利用不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．
考點(diǎn)2 由遞推公式求通項(xiàng)公式
數(shù)列{an}分別滿足下列條件，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)
8、公式：
(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．
(2)a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)．
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
(4)a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
【解析】(1)∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上(n－1)個(gè)式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)．
(2)由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
9、
∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝(n∈N*)．
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3.
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式．
∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．
(4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，又a1＝1，則＝1，
∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝(n∈N*)．
【點(diǎn)評(píng)】已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解．當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)＝f(n)
10、時(shí)，用累乘法求解；當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＋1＝時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列求解．
考點(diǎn)3 an與Sn關(guān)系的應(yīng)用
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解析】(1)令n＝1時(shí)，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
(2)n≥2時(shí)，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
則Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]
＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.
因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1
11、＝S1＝1也滿足上式，
所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，
兩式相減得an＝2an－2an－1－2，
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，
因?yàn)閍1＋2＝3≠0，
所以數(shù)列{an＋2}是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
所以an＋2＝3×2n－1，所以an＝3×2n－1－2，
當(dāng)n＝1時(shí)也成立，
所以an＝3×2n－1－2(n∈N*)．
【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an＝當(dāng)n＝1時(shí)，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n＝1時(shí)，a1若不
12、適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示．
方法總結(jié) 【p72】
1．利用通項(xiàng)公式，應(yīng)用函數(shù)思想是研究數(shù)列特征的基本方法之一，應(yīng)善于運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列，用函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究數(shù)列性質(zhì)．
2．利用遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí)要注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．
3．應(yīng)用公式an＝是求數(shù)列通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系式的常用方法之一，同時(shí)應(yīng)注意驗(yàn)證a1是否符合一般規(guī)律．
走進(jìn)高考 【p72】
1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝__________．
【解析】法一：因?yàn)镾n＝an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
當(dāng)n＝2時(shí)，
13、a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
當(dāng)n＝5時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
當(dāng)n＝6時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
法二：因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
14、，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
【答案】－63
考點(diǎn)集訓(xùn) 【p213】
A組題
1．?dāng)?shù)列1，，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝( )
A.B.C.D.
【解析】由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項(xiàng)為.
【答案】B
2．已知非零數(shù)列{an}的遞推公式為a1＝1，an＝·an－1(n>1)，則a4＝( )
A．3 B．2 C．4 D．1
【解析】依次對(duì)遞推公式中的n賦值，當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝2；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝·a2＝3.當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝·a3＝4.
【答案】C
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝則其前6項(xiàng)之和是( )
A．16 B
15、．20C．33 D．120
【解析】a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.
【答案】C
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝( )
A．1 B．9 C．10 D．55
【解析】根據(jù)題意，在Sn＋Sm＝Sn＋m中，令n＝1，m＝9可得：S1＋S9＝S10，即S10－S9＝S1＝a1＝1，又a10＝S10－S9，即a10＝1.
【答案】A
5．設(shè)數(shù)列，，2，，…，則是這個(gè)數(shù)列的第______項(xiàng)．
【解析】由已知數(shù)列通項(xiàng)公式為
16、an＝，由＝，得n＝14，即為第14項(xiàng)．
【答案】14
6．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＋＋＋…＋＝3n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
【解析】當(dāng)n＝1 時(shí)，有a1＝32＝9. 當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋＋＋…＋＝3n，又a1＋＋＋…＋＋＝3n＋1，兩式相減有＝2×3n，所以有an＝6n，由于a1＝9 不符合通項(xiàng)公式，所以an＝
【答案】an＝
7．設(shè)Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________．
【解析】因?yàn)閍1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，所以S1＝－1，Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝－1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為－1，公差為－1的
17、等差數(shù)列，所以＝－n，所以Sn＝－.
【答案】－
8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；
(2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解析】(1)由n2－5n＋4<0，解得1an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作
18、是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3.
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)．
B組題
1．?dāng)?shù)列{an}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( )
A．(－3，＋∞) B.
C．(－2，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1>an對(duì)任意n∈N*恒成立，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn對(duì)任意n∈N*恒成立，整理得λ>－(2n＋1)對(duì)任意n∈N*恒成立；對(duì)任意n∈N*恒有－(2n＋1)≤－3；所以λ>－3.
【答案】A
2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)an＝n2，其前n項(xiàng)和為Sn，則S
19、30為( )
A．470 B．490 C．495 D．510
【解析】注意到an＝n2cos ，且函數(shù)y＝cos 的最小正周期是3，因此當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋，其中n＝1，4，7，…，
S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)
＝＋＋…＋
＝3×＋×10＝470.
【答案】A
3．若數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝(－1)n＋2 018·a，bn＝2＋，且an
20、2，1) D.
【解析】由an0.
由0
（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第33講 數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式練習(xí) 理（含解析）新人教A版
