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1、 第七章圖形與變換第七章圖形與變換 第第23講圖形的相似講圖形的相似考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過關(guān)過關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 成比例線段成比例線段提示提示 在根據(jù)平行線寫成比例線段時一定注意對應(yīng)關(guān)系考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 相似三角形相似三角形 6 6年年8 8考考1 1相似三角形相似三角形拓展拓展 (1)斜邊與直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似；(2)射影定理：如圖，RtABC中，ACB90，CD是斜邊AB上的高則有如下的結(jié)論：CD2ADDB，BC2BDBA，AC2ADAB；ACBCABCD(可用面積來證明)；(3)常見的相似圖形：2 2相似多邊形相似多邊形考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 位似位似 6 6年年1 1考考提示 圖形關(guān)于

2、某點(diǎn)的位似圖形有兩個典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)用類型類型1 1 相似三角形的性質(zhì)與判定的分析運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定的分析運(yùn)用【例1】2017長清區(qū)一模如圖，正方形ABCD中，AB2，E為BC中點(diǎn)，兩個動點(diǎn)M和N分別在邊CD和AD上運(yùn)動且MN1，若ABE與以D，M，N為頂點(diǎn)的三角形相似，則DM為()D【例2】2016達(dá)州中考如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過點(diǎn)O作ODAC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長線于點(diǎn)E，連接BD并延長交AE于點(diǎn)F.(1)求證：AEBCADAB；(2)若半圓O的直徑為10，sinBAC ，求AF的長53思路點(diǎn)撥：(1)只要證明EAD

3、ABC即可解決問題；(2)作DMAB于點(diǎn)M，利用DMAE，得 ，求出DM，BM即可解決問題技法點(diǎn)撥 1.在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；2.尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形；3.判定兩個三角形相似的方法有時可單獨(dú)使用，有時需要綜合運(yùn)用，無論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，條件必須充分變式運(yùn)用 1.2017畢節(jié)中考如圖，在 ABCD中過點(diǎn)A作AEDC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點(diǎn)，且AFED.(1)求證：ABFBEC；(2)若AD5，AB8，sinD

4、，求AF的長54解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ADBC，ADBC.DC180，ABFBEC.AFBAFE180，DAFE，CAFB.ABFBEC.(2)AEDC，ABDC，AEDBAE90，類型類型2 2 位似與坐標(biāo)分析位似與坐標(biāo)分析【例3】2017濱州，15,4分在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為C(2,3)，D(1,0)，現(xiàn)以原點(diǎn)為位似中心，將線段CD放大得到線段AB.若點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)B在x軸上且OB2，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,6)或(4，6)(4,6)或(4，6)如圖，由題意，得位似中心是原點(diǎn)O，位似比為2.OCAC.C(2,3)，A(4,6)或(4，6

5、)技法點(diǎn)撥 1.位似是特殊的相似，滿足相似的所有性質(zhì)，因而遇到位似時可以構(gòu)造相似三角形進(jìn)行解決；2.當(dāng)位似中心不是原點(diǎn)時，不可以直接把坐標(biāo)乘以位似比，而是向x軸或y軸作垂線構(gòu)造相似三角形解決變式運(yùn)用 2.如圖，ABC中，A，B兩個頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0)，以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作ABC的位似圖形ABC，并把ABC的邊長放大到原來的2倍設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2.5如圖，過點(diǎn)B，B分別作BDx軸于點(diǎn)D，BEx軸于點(diǎn)E，BDCBEC90.ABC與ABC是位似圖形，點(diǎn)B，C，B在一條直線上，BCDBCE，BCDBCE，.又 ，.又點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)C的

6、坐標(biāo)是(1,0)，CE3，CD .OD .點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2.5.類型類型3 3 相似三角形與點(diǎn)的存在性分析相似三角形與點(diǎn)的存在性分析【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，頂點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作BDy軸于點(diǎn)D，線段OA，OC的長是一元二次方程x212x360的兩根，BC4 ，BAC45.(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)反比例函數(shù)y 的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，求k的值；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請寫出滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)，并直接寫出其中兩個點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

7、5xk思路分析：(1)解一元二次方程x212x360，求出兩根即可得到點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)B作BEAC，垂足為E，由BAC45可知AEBE，設(shè)BEx，用勾股定理可得CE ，根據(jù)AECEOAOC，解方程求出BE，再由AEOAOE，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出k的值；(3)分類討論，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出點(diǎn)P的坐標(biāo)失分警示失分警示 1.在分析相似三角形，頂點(diǎn)的存在問題中，必須要根據(jù)不同的對應(yīng)關(guān)系分類討論，避免漏解.2.在分類探究中一定要畫出相應(yīng)的圖形進(jìn)行分析解決六年真題六年真題全練全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 相似三角形的分析應(yīng)用相似三角形的分析應(yīng)用12012濱州，10,3分把ABC三邊的

8、長度都擴(kuò)大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值()A不變 B縮小為原來的C擴(kuò)大為原來的3倍 D不能確定31A因?yàn)锳BC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍，所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小不變，所以銳角A的正弦函數(shù)值也不變22017濱州，16,4分鏈接第18講六年真題全練第6題32016濱州，15,4分如圖，矩形ABCD中，AB ，BC ，點(diǎn)E在對角線BD上，且BE1.8，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則 .3642014濱州，15,4分如圖，平行于BC的直線DE把ABC分成的兩部分面積相等，則 52012濱州，18,4分如圖，銳角三角形ABC的邊AB，AC上的高線CE和BF相交于點(diǎn)D，請寫出

9、圖中的兩對相似三角形：BDECDF，ABFACE.(用相似符號連接)BDECDF，ABFACE(1)在BDE和CDF中，BDECDF，BEDCFD90，BDECDF.(2)在ABF和ACE中，AA，AFBAEC90，ABFACE.62017濱州，23,10分如圖，點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，交ABC的外接圓O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)D作直線DM，使BDMDAC.(1)求證：直線DM是O的切線；(2)求證：DE2DFDA.解：(1)如圖所示，連接OD.點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，BADCAD.ODBC.又BDMDAC，DACDBC，BDMDBC.BCDM.ODDM.直線DM是O的切線(2

10、)如圖所示，連接BE.點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，BAECAECBD，ABECBE.BAEABECBDCBE，即BEDEBD.DBDE.DBFDAB，BDFADB，DBFDAB.，即DB2DFDA.DE2DFDA.72014濱州，25,12分如圖，矩形ABCD中，AB20，BC10，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q.(1)求證：APQCDQ;(2)P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點(diǎn)移動，移動時間為t秒當(dāng)t為何值時，DPAC?設(shè)SAPQSDCQy，寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點(diǎn)運(yùn)動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ABCD.12，34.

11、APQCDQ.(2)如圖，當(dāng)DPAC時，4290.又5290，45.又ADCPAD90，ADCPAD.給出t的部分取值，計(jì)算出y的對應(yīng)值列成下表：t012345678910y10095.4891.8288.9186.678583.8583.1582.8682.9383.33t11121314151617181920 y84.038586.2187.6589.2991.1193.1195.2697.56100從表中可以看出：當(dāng)0t8時，y隨t的增大而減??；當(dāng)9t20時，y隨t的增大而增大因此，y在第8秒到第9秒之間時取得最小值82013濱州，24,10分某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視

12、圖如圖所示其中BACD，BC20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm,8cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì))解：如圖，過點(diǎn)C作CMAB，交EF，AD于點(diǎn)N，M，作CPAD，交EF，AD于點(diǎn)Q，P.由題意，得四邊形ABCM是平行四邊形ENAMBC20cm.MDADAM502030(cm)由題意知CP40cm，PQ8cm.CQ32cm.EFAD，CNFCMD.解得NF24cm.EFENNF202444(cm)答：橫梁EF應(yīng)為44cm.猜押預(yù)測 1.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，A(4,0)，B(0,2)，連結(jié)A

13、B并延長到C，連結(jié)CO，若COBCAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()猜押預(yù)測 2.2017虹口區(qū)二模如圖，在 ABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，AFDC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，AF分別交BD于點(diǎn)G，H，且AGAH.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)延長AF，BC相交于點(diǎn)P，求證：BC2DFBP.解：(1)證明：AGAH，AGHAHG.AGHBGE，DHFAHG，BGEDHF.AEBC于點(diǎn)E，AFCD于點(diǎn)F，BD與AE，AF分別相交于點(diǎn)G，H，BEGDFH.EBGFDH，即CBDCDB.BCCD.四邊形ABCD是平行四邊形，平行四邊形ABCD是菱形(2)四邊形ABCD是平行四邊形，ADPB，ABCD

14、.ADHPBH，ABHFDH.得分要領(lǐng) 1.掌握相似三角形的性質(zhì)；2.會適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造相似三角形解決問題；3.熟悉特殊三角形和四邊形的性質(zhì)，能搜集條件證明三角形相似；4.會分類討論，分析三角形相似時，未知頂點(diǎn)的存在性命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 位似位似92017濱州，15,4分鏈接第23講典型例題運(yùn)用例3.猜押預(yù)測 3.2017長沙中考如圖，ABO三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4)，B(6,0)，C(0,0)，以原點(diǎn)O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的 ，可以得到ABO，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)根據(jù)位似變換的性質(zhì)及位似比為，可知A的坐標(biāo)為(1,2)2121得分要領(lǐng) 1.掌握位似的性質(zhì)；2.會根據(jù)位似比確定對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；3.熟悉其它變換中，坐標(biāo)的確定方法