《小學(xué)奧數(shù)《容斥原理》同步語(yǔ)音》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《小學(xué)奧數(shù)《容斥原理》同步語(yǔ)音（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)容斥原理容斥原理v在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。為容斥原理。容斥原理（第一講）v 一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12

2、人語(yǔ)文得滿分，并且有4人語(yǔ)、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？v15+12-4=23（人）v數(shù)學(xué) 語(yǔ)文v 15 4 12v 數(shù)學(xué)和語(yǔ)文 容斥原理 上題中語(yǔ)文滿分人數(shù)是上題中語(yǔ)文滿分人數(shù)是12，數(shù)學(xué)滿分人數(shù)是，數(shù)學(xué)滿分人數(shù)是15，一門滿分的人數(shù)應(yīng)該是，一門滿分的人數(shù)應(yīng)該是27，但我們重復(fù)，但我們重復(fù)計(jì)算了語(yǔ)文數(shù)學(xué)都是滿分人數(shù)計(jì)算了語(yǔ)文數(shù)學(xué)都是滿分人數(shù)4，所以應(yīng)該減，所以應(yīng)該減去去4，答案就是，答案就是23結(jié)論：（公式一）結(jié)論：（公式一）如果被計(jì)數(shù)的事物有如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，兩類，那么，A類或類或B類事物個(gè)數(shù)類事物個(gè)數(shù)=A類事物個(gè)數(shù)類事物個(gè)數(shù)+B類事物類事物 個(gè)

3、數(shù)個(gè)數(shù)既是既是A類又是類又是B類的事物個(gè)數(shù)。類的事物個(gè)數(shù)。v某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有的有41人，有電腦的有人，有電腦的有34人，二者都人，二者都有的有有的有27人，這個(gè)班有學(xué)生多少人？人，這個(gè)班有學(xué)生多少人？v41+34-27=48人人 v 41 27 34v一個(gè)班有一個(gè)班有45名學(xué)生，訂閱名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)學(xué)報(bào)的有的有15人，訂閱人，訂閱今日少年報(bào)今日少年報(bào)的有的有10人，兩種報(bào)紙都訂閱的有人，兩種報(bào)紙都訂閱的有6人。人。v（1）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)是多少？）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)

4、是多少？v15+10-6=19人人 15 6 10v（2）兩種報(bào)紙都沒(méi)訂閱的有多少人？）兩種報(bào)紙都沒(méi)訂閱的有多少人？v45-19=26人人 容斥原理容斥原理v在在1到到1000的自然數(shù)中，能被的自然數(shù)中，能被3或或5整除的數(shù)共整除的數(shù)共有多少個(gè)？不能被有多少個(gè)？不能被3或或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？整除的數(shù)共有多少個(gè)？v能被能被3整除的個(gè)數(shù)：整除的個(gè)數(shù)：10003=333個(gè)個(gè)1 v能被能被5整除的個(gè)數(shù)：整除的個(gè)數(shù)：10005=200個(gè)個(gè) 能被能被3和和5整除的個(gè)數(shù)：整除的個(gè)數(shù)：100015=66個(gè)個(gè)10所以根據(jù)容斥原理，能被所以根據(jù)容斥原理，能被3或或5整除的數(shù)共有整除的數(shù)共有：333+200-6

5、6=467個(gè)個(gè)不能被不能被3或或5整除的個(gè)數(shù)：整除的個(gè)數(shù)：1000-467=533個(gè)個(gè)v某校選出某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)競(jìng)賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有數(shù)學(xué)競(jìng)賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有16人，人，數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有12人，有人，有5人兩項(xiàng)比人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了。賽都獲獎(jiǎng)了。v（1）共有多少人獲獎(jiǎng)？）共有多少人獲獎(jiǎng)？v16+12-5=23人人v（2）兩項(xiàng)比賽都沒(méi)獲獎(jiǎng)的有多少人？）兩項(xiàng)比賽都沒(méi)獲獎(jiǎng)的有多少人？v50-23=27人人 v習(xí)題習(xí)題v1、四（、四（1）班有）班有40個(gè)學(xué)生，其中個(gè)學(xué)生，其中25人參加人參加數(shù)學(xué)小組，數(shù)學(xué)小組，23人參加航模小組，有人參加航模

6、小組，有19個(gè)人個(gè)人兩個(gè)小組都參加了，那么，有多少人兩個(gè)兩個(gè)小組都參加了，那么，有多少人兩個(gè)小組都沒(méi)有參加？小組都沒(méi)有參加？v25+23-19=29人人 40-29=11人人v2、有、有100位旅客，其中有位旅客，其中有10人既不懂英語(yǔ)人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有又不懂俄語(yǔ)，有75人懂英語(yǔ)，人懂英語(yǔ)，83人懂俄語(yǔ)，人懂俄語(yǔ)，問(wèn)既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？問(wèn)既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？v100-10=90人人 75+83=158人人 158-90=68人人v3、在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第、在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第1、2兩題，其中答對(duì)第兩題，其中答對(duì)第1題的有題的有35人，答對(duì)第人

7、，答對(duì)第2題的題的有有28人，這兩題都答對(duì)的有人，這兩題都答對(duì)的有20人，沒(méi)有人兩題人，沒(méi)有人兩題都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？v35+28-20=42人人v4、一個(gè)俱樂(lè)部里，會(huì)下中國(guó)象棋的有、一個(gè)俱樂(lè)部里，會(huì)下中國(guó)象棋的有69人，會(huì)人，會(huì)下國(guó)際象棋的有下國(guó)際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人，都會(huì)下的有人，都會(huì)下的有30人。這個(gè)俱樂(lè)部里有多少人。這個(gè)俱樂(lè)部里有多少人？人？v69+52-30=91人人 91+12=103人人v5、全班有、全班有50人，不會(huì)騎車的有人，不會(huì)騎車的有23人，不會(huì)人，不會(huì)滑旱冰的有滑旱

8、冰的有35人，兩樣都會(huì)的有人，兩樣都會(huì)的有5人。問(wèn)：人。問(wèn)：兩樣都不會(huì)的有多少人？?jī)蓸佣疾粫?huì)的有多少人？v50-5=45人人 23+35-45=15人人v6、六年級(jí)（、六年級(jí)（2）班有）班有48名學(xué)生，其中會(huì)騎自名學(xué)生，其中會(huì)騎自行車的有行車的有27個(gè)，會(huì)游泳的有個(gè)，會(huì)游泳的有18人，既會(huì)騎自人，既會(huì)騎自行車又會(huì)游泳的有行車又會(huì)游泳的有10人。問(wèn)兩樣都不會(huì)的有人。問(wèn)兩樣都不會(huì)的有多少人？多少人？v27+18-10=35人人 48-35=13人人容斥原理（第二講）容斥原理（第二講）v某校六（某校六（1）班，每人）班，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)練隊(duì)，其中參加足

9、球隊(duì)的有的有25人，參加排球隊(duì)人，參加排球隊(duì)的有的有22人，參加游泳隊(duì)人，參加游泳隊(duì)的有的有34人，足球、排球人，足球、排球都參加的有都參加的有12人，足球、人，足球、游泳都參加的有游泳都參加的有18人，人，排球、游泳都參加的有排球、游泳都參加的有14人，三項(xiàng)都參加的有人，三項(xiàng)都參加的有8人，這個(gè)班有多少人？人，這個(gè)班有多少人？25+22+34-12-18-14+8=45人人v 足球 排球v v 游泳 v如果我們用這七個(gè)字母分別代表各字母所在區(qū)域的學(xué)生人數(shù)，那么根據(jù)題意，我們有以下七條等式：(1)A+D+E+G=25；(2)B+D+F+G=34；(3)C+E+F+G=22；(4)D+G=18；

10、(5)E+G=12；(6)F+G=14；(7)G=8?，F(xiàn)在我們要求的是A+B+C+D+E+F+G=？。如何利用以上資料求得答案？我們利用等式的性質(zhì)來(lái)試試看.v 把頭三條等式加起來(lái)，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G=81?？墒沁@結(jié)果包含了多余的D、E、F和G，必須設(shè)法把多余的部分減去。由于等式(4)(6)各有一個(gè)D、E和F，若從上述結(jié)果減去這三條等式，便可以把多余的D、E和 F減去，得A+B+C+D+E+F=37。可是這么一來(lái)，本來(lái)重復(fù)重現(xiàn)的G卻變被完全減去了，所以最后還得把等式(7)加上去，得最終結(jié)果為A+B+C+D+E+F+G=45，即該班共有45名學(xué)生。v結(jié)論（結(jié)論（公式二）公式

11、二）v如果被計(jì)數(shù)的事物有如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，三類，那么，那么，A類或類或B類或類或C類事物個(gè)數(shù)類事物個(gè)數(shù)=A類類事物個(gè)數(shù)事物個(gè)數(shù)+B類事物個(gè)數(shù)類事物個(gè)數(shù)+C類事物個(gè)類事物個(gè)數(shù)數(shù)既是既是A類又是類又是B類的事物個(gè)數(shù)類的事物個(gè)數(shù)既既是是A類又是類又是C類的事物個(gè)數(shù)類的事物個(gè)數(shù)既是既是B類類又是又是C類的事物個(gè)數(shù)類的事物個(gè)數(shù)+既是既是A類又是類又是B類類而且是而且是C類的事物個(gè)數(shù)。類的事物個(gè)數(shù)。v例1：設(shè)某班每名學(xué)生都要選修至少一種外語(yǔ)，其中選修英語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為25，選修法語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為18，選修德語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為20，同時(shí)選修英語(yǔ)和法語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為8，同時(shí)選修英語(yǔ)和德語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為13

12、，同時(shí)選修法語(yǔ)和德語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)為6，而同時(shí)選修上述三種外語(yǔ)的學(xué)生人數(shù)則為3，問(wèn)該班共有多少名學(xué)生？25+18+20-8-13-6+3=39人v例2、在一個(gè)炎熱的夏日，幾個(gè)小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒(méi)有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問(wèn)：共有幾個(gè)小朋友去了冷飲店？6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人 v分析與解：根據(jù)題意畫圖。6614冰汽?人103雪v例3.某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有10

13、人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)和既參加英語(yǔ)又參加語(yǔ)文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。v 分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。數(shù)英49人質(zhì)3語(yǔ)3020101質(zhì)v 三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)的有x人，既參加語(yǔ)文又參加英語(yǔ)的有y人，可以列出這樣的方程：整理后得：由于x、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為7。v 答：既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的為2人或7人。3020103149xyxy 9v例5.某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語(yǔ)文20人，英語(yǔ)20人，數(shù)學(xué)、英

14、語(yǔ)兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科滿分者7人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科滿分者9人，三科都沒(méi)得滿分者3人。問(wèn)這個(gè)班最多多少人？最少多少人？v 分析與解：根據(jù)題意畫圖。數(shù)英98語(yǔ)20202073v 設(shè)三科都得滿分者為xv 全班人數(shù) v整理后：全班人數(shù)39xv 39+x表示全班人數(shù)，當(dāng)x取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三科都得滿分的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過(guò)兩科得滿分的人數(shù)，即 且 ，由此我們得到 ，另一方面x最小可能是0，即沒(méi)有三科都得滿分的。v 當(dāng)x取最大值7時(shí)，全班有 人，當(dāng)x取最小值0時(shí)，全班有39人。v 答：這個(gè)班最多有46人，最少有39人。2020

15、207893xxx78，()39746x 9x 7試一試v1.某班45名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒(méi)達(dá)優(yōu)秀，求三項(xiàng)都是優(yōu)秀的人數(shù)。v45-1=44 20+18+22-6-7-8=39 44-39=5人v2.某班四年級(jí)時(shí)，五年級(jí)時(shí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)出10名三好學(xué)生，又知四、五年級(jí)連續(xù)三好生4人，五、六年級(jí)連續(xù)三好生3人，四年級(jí)、六年級(jí)兩年評(píng)上三好生的有5人，四、五、六三年沒(méi)評(píng)過(guò)三好生的有20人，問(wèn)這個(gè)班最多有多少名同學(xué)，最少有多少名同學(xué)？v設(shè)三年連續(xù)三好生人數(shù)為x人v 全班人數(shù)=103-5-4-3+X+20v 因?yàn)閤應(yīng)該小于等于3，所以x最大是3，最 小是0v所以這個(gè)班最多有41名同學(xué)，最少有38名同學(xué)