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高考大題分層練 1.三角、數(shù)列、概率統(tǒng)計、立體幾何(A組) 大題集訓練,練就慧眼和規(guī)范,占領高考制勝點! 1.已知向量a=(cosx+sinx,2sinx),b=(cosx-sinx,cosx),令f(x)=ab. (1)求f(x)的最小正周期. (2)當x∈時,求f(x)的最小值以及取得最小值時x的值. 【解析】f(x)=cos2x-sin2x+2sinxcosx =cos 2x+sin 2x=sin. (1)由最小正周期公式得:T==π. (2)x∈,則2x+∈, 令2x+=,則x=, 所以當x=時,函數(shù)f(x)取得最小值-. 2.已知{an}為等差數(shù)列,且滿足a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)記{an}的前n項和為Sn,若a3,ak+1,Sk成等比數(shù)列,求正整數(shù)k的值. 【解析】(1)設數(shù)列{an}的公差為d,由題意知解得a1=2,d=2, 所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,即an=2n. (2)由(1)得Sn===n(1+n)=n2+n, 所以a3=23=6,ak+1=2(k+1)=2k+2,Sk=k2+k, 因為a3,ak+1,Sk成等比數(shù)列,所以=a3Sk,從而(2k+2)2=6(k2+k),即k2-k-2=0,k∈N*,解得k=2或k=-1(舍去),所以k=2. 3.甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，現(xiàn)在從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，求： (1)摸出3個白球的概率. (2)摸出至少兩個白球的概率. (3)若將摸出至少有兩個白球記為1分，則一個人不放回地摸2次，求得分X的分布列及數(shù)學期望. 【解析】設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i=0，1，2，3)， (1)由題意得P(A3)==. (2)設“摸出至少兩個白球”為事件B，則B=A2∪A3，又P(A2)=+=，且A2，A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=+=. (3)X的所有可能取值為0，1，2. P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)==， 所以X的分布列是 X 0 1 2 P X的數(shù)學期望E(X)=0+1+2=. 4.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點G是EF的中點. (1)證明：AG⊥平面ABCD. (2)若直線BF與平面ACE所成角的正弦值為，求AG的長. 【解析】(1)因為AE=AF，點G是EF的中點， 所以AG⊥EF.又因為EF∥AD，所以AG⊥AD. 因為平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD， AG?平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD. (2)因為AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG，AD，AB兩兩垂直. 以A為原點，以AB，AD，AG分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0)， 設AG=t(t>0)，則E(0，1，t)，F(xiàn)(0，-1，t)， 所以=(-4，-1，t)，=(4，4，0)，=(0，1，t). 設平面ACE的法向量為n=(x，y，z)， 由n=0，n=0，得 令z=1，得n=(t，-t，1). 因為BF與平面ACE所成角的正弦值為， 所以|cos|==， 即=，解得t2=1或t2=. 所以AG=1或AG=.